衔接点03 列方程解应用题-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

衔接点03 列方程解应用题 学习要求 1 知识衔接 2 题型探究 3 题型1、找等量关系与列方程 3 题型2、古代数学文化问题 7 题型3、行程问题 10 题型4、工程问题 19 题型5、年龄问题 28 题型6、数字与日历问题 32 题型7、牛吃草问题 39 题型8、销售问题 43 题型9、分段计价问题 49 基础通关 57 拓展提优 68 小学阶段 初中阶段 主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接指引 为了后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式型数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出其中的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、找等量关系与列方程 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1．（2024·福建·小升初模拟）下图为赵阿姨在狂欢购物节的支出情况，则以下等量关系式正确数的有（    ）。 ①服饰支出数码支出    ②服饰支出食品支出 ③数码支出食品支出    ④数码支出服饰支出 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察可知，赵阿姨在狂欢购物节数码支出可以平均分成5份，服饰支出相当于数码支出的，而服饰支出平均分成8份，食品支出相当于服饰支出的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，推论结果。 【详解】据分析可得：数码支出×＝服饰支出 服饰支出×＝食品支出 数码支出××＝数码支出×＝数码支出×＝食品支出 数码支出×＝数码支出×＝服饰支出 即①错误， ②③④正确。 故答案为：C 例2．（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 ( ) ＝ 根据上面的数量关系式列出方程： 。 【答案】 “丰春”号的速度×时间 － “振兴”号的速度×时间 两船相距的路程 32×7.5－7.5＝30 【分析】根据“路程＝速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了7.5千米，“振兴”号7.5小时行驶了（32×7.5）千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程。 【详解】数量关系式：“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间＝两船相距的路程 根据上面的数量关系式列出方程：32×7.5－7.5＝30。 例3．（2025·河南·小升初模拟）“阅读理解、分析解答、回顾反思”是解决问题的三步骤，请你按照你的理解来看图解决问题（如下图所示）。 （1）阅读理解：从图中知道全天参加活动的有（    ）人和（    ）。 （2）分析解答：等量关系式是（    ）。 列方程解答： （3）回顾反思：（怎样知道你的解答是正确的？） 【答案】（1）784；下午参加活动的人数是上午的（1＋） （2）上午参加活动的人数＋下午参加活动的人数＝全天参加活动的人数 列方程解答见详解 （3）上午参加活动的人数加上下午参加活动的人数是784人，且它们的比是3∶4，说明解答是正确的。 【分析】（1）把上午参加活动的人数看作单位“1”，下午参加活动的人数是上午的（1＋），全天参加活动的有784人。据此解答。 （2）设上午参加活动的有x人，则下午参加活动的人数是（1＋）x，等量关系式是：上午参加活动的人数＋下午参加活动的人数＝全天参加活动的人数，据此列方程解答。 （3）上午参加活动的人数与下午参加活动的人数比是3∶4，根据求出的x的值，用上午参加活动的人数加上下午参加活动的人数，看是否等于784人，如果等于784人，，且它们的等于3∶4，说明是正确的，否则不正确。 【详解】（1）从图中知道全天参加活动的有784人和下午参加活动的人数是上午的（1＋）。 （2）解：设上午参加活动的有x人。 等量关系式是：上午参加活动的人数＋下午参加活动的人数＝全天参加活动的人数。 x＋（1＋）x＝784 x＋x＝784 x＝784 x＝784× x＝336 336×（1＋） ＝336× ＝448（人） 答：上午参加活动的有336人，下午参加活动的有448人。 （3）336＋448＝784（人） 336∶448 ＝（336÷112）∶（448÷112） ＝3∶4 因为上午参加活动的人数加上下午参加活动的人数是784人，且它们的比是3∶4，说明解答是正确的。 变式1．（2025·浙江·小升初模拟）甲、乙两根水泥柱，埋入地下的部分长度相同，露出地面的部分如图所示。根据信息写出等量关系： 。 【答案】 甲的总长度×（1－）＝乙的总长度×（1－） 【分析】由于甲在地面上的长度占全长的，那么埋入地下的部分占全长的1－；乙露出的部分长度占全长的，那么埋入地下的长度占全长的1－；根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，则甲埋入地下的长度：甲的总长度×（1－），乙埋入地下的长度：乙的总长度×（1－）；埋入地下部分的长度相同，据此即可写出等量关系。 【详解】由分析可知： 等量关系：甲的总长度×（1－）＝乙的总长度×（1－） 变式2．（2024·江苏淮安·小升初模拟）甲乙两个粮仓，甲仓存粮800吨，乙存粮x吨，从甲仓运50吨放入乙仓，两仓同样多。表示题中等量关系方程是（    ）。 A．x＋50＝800 B．x－50＝800 C．x＋50＝800－50 D．50x＝800 【答案】C 【分析】根据题意知，从甲仓运50吨到乙仓后，两仓同样多。甲仓减去50吨＝乙仓加上50吨。据此即可解答。 【详解】已知：甲仓存粮800吨，乙存粮x吨。根据分析可得：x＋50＝800－50。 故答案为：C 【点睛】找等量关系式必须读懂题意，分析甲乙两个粮仓之间的关系才能准确列出等量关系。 变式3．（2024·山东·小升初模拟）看图列式计算。 数量关系式： 方程： 【答案】 （1＋）×驴的数量＝牛的数量 （1＋）x＝56；x＝35 【分析】把驴的数量看作单位“1”，牛的数量比驴多，则牛的数量占驴的（1＋），已知一个数，求比这个数多几分之几的数是多少用分数乘法计算，驴的数量×牛的数量占驴数量的分率＝牛的数量，据此解答。 【详解】分析可知，（1＋）×驴的数量＝牛的数量 （1＋）x＝56 解：x＝56 x＝56÷ x＝35 所以，驴有35头。 题型2、古代数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1．（2025·广西·三模）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该问题中的牧童有x个，根据“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”，结合这堆杏的个数不变，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设该问题中的牧童有x个， 根据题意得：． 故选：D． 例2．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗，列出方程即可． 【详解】解：设客人是人，由题意，得：； 故选B． 例3．（2025·贵州贵阳·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据甲的路程减去100等于乙在和甲相同时间内所走的路程，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，甲走的时间为：，故可列方程为： ； 故选A． 变式1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？甲、乙两人所列方程如下，甲：设木长为尺，根据题意可列方程为；乙：设绳长为尺，根据题意可列方程为．下列选项判断正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：若设木长为尺，根据题意得； 若设绳长为尺，根据题意得， 故甲、乙都对， 故选：C． 变式2．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．由每7家共出钱，会差钱，每9家共出钱，又多了钱，设牛价是x钱，列方程即可． 【详解】解：依题意得，可列方程为， 故选：C． 变式3．（2025·河北秦皇岛·一模）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （   ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设太仓到上林的距离是里，根据题意可得往返1次的时间为天，再根据5天往返3次建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设太仓到上林的距离是里， 由题意得：， 解得， 即太仓到上林的距离是里， 故选：A． 题型3、行程问题 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1．（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解） 【答案】货车的速度是63千米/时；客车的速度是77千米/时 【分析】已知路程和相遇时间，以及两车速度差，通过设货车速度为x千米/时，利用客车与货车速度关系表示出客车速度；再依据相遇问题“路程＝速度和×相遇时间”这一公式列出方程求解。 【详解】解：设货车速度为x千米/时，则客车速度为（x＋14）千米/时。 （x＋x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6÷6＝840÷6 2x＋14＝140 2x＋14－14＝140－14 2x＝126 2x÷2＝126÷2 x＝63 x＋14＝63＋14＝77 答：货车的速度是63千米/时，客车的速度是77千米/时。 例2．（2024·四川成都·小升初真题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？ 【答案】每小时27千米 【分析】家到火车站的距离是不变的，设从家出发正点到达火车站的时间是小时，根据时速30千米和18千米两种情况下路程相等列方程，解出正点到达火车站的时间，从而计算出家到火车站的距离，再用距离除以提前10分钟时所需要的时间就是摩托车应该行驶的速度。 【详解】解：设从家出发正点到达火车站的时间是小时， （千米） 答：此时摩托车的速度应该是每小时27千米。 【点睛】本题考查路程问题的基本公式“路程＝速度×时间”，解题思路是应用路程不变列方程求解。 例3．（2024·四川成都·小升初真题）两地相距3600米，甲、乙两人同时从这两地相向而行，15分钟相遇。如果甲将自己的速度提高，乙将自己的速度降低，再从两地同时相向出发，则两人12分钟相遇。那么乙单独行完全程需要多少分钟？ 【答案】50分钟 【分析】根据速度和＝路程和÷相遇时间，用即可求出原来两人的速度和，也就是米/分；用即可求出变化后的速度和，也就是米/分，假设乙原来每分钟行x米，则甲原来每分钟行米；如果甲将自己的速度提高，也就是甲现在的速度是原来的，把甲原来的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知甲变化后的速度是；如果乙将自己的速度降低，也就是乙现在的速度是原来的，把乙原来的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知乙变化后的速度是，甲现在的速度＋乙现在的速度＝米/分，据此可列方程为，然后解出方程即可，进而求出用全程除以乙的速度，即可求出乙单独行完全程需要的时间。 【详解】（米/分） （米/分） 解：设乙每分钟行x米，则甲每分钟行米。 （分） 答：乙单独行完全程需要50分钟。 【点睛】本题可用列方程解决问题，关键是逐步分析，找到速度如何变化以及速度、路程和时间三者之间的关系。 例4．（24-25七年级下·山西临汾·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【答案】(1)12分钟 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解； （1）设两人出发后分钟相遇，根据两人的速度及距离为千米列出等式求解即可； （2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分钟相遇，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：设两人出发后分钟相遇． 由题意得，， 解得． 答：两人出发后12分钟相遇． （2）解：设两人在出发后分钟相遇． 当时，，且小聪跑步速度大于小明跑步速度， 两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇． 由题意得，． 解得． 两人在出发后分钟相遇． 例5．（2024·全国·小升初模拟）一列火车以20米每秒的速度通过一座大桥，火车从上桥到完全通过用了1分钟时间，火车完全在桥上的时间是40秒钟，请问大桥长多少米？ 【答案】1000米 【分析】由题意可知火车从上桥到完全通过用了1分钟时间所走的路程是车身长加上桥长，可得车身长就是1分钟时间所走的路程减去桥长，再由火车完全在桥上的时间是40秒钟，所走的路程是桥长减去车身长度，可得车身长就是桥长减去40秒所走的路程，先设大桥长x米，列出方程解出即可。 【详解】解：设大桥长x米，由题可得： 20×60－x＝x－40×20 1200－x＝x－800 x－800＋x＝1200－x＋x 2x－800＝1200 2x－800＋800＝1200＋800 2x＝2000 2x÷2＝2000÷2 x＝1000 答：大桥长1000米。 【点睛】此题关键是明白从上桥到完全通过用了1分钟时间，所走路程等于车身长加上桥长；火车完全在桥上的时间是40秒钟，所走的路程是桥长减去车身长度，再根据大桥长度、车身长度与所走的路程之间关系列方程解答。 例6．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（   ）小时 A．10 B．9 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设静水速度为x千米/时，再根据静水速度=顺水速度-水流速度，静水速度=逆水速度+水流速度，即可列出方程并求解出静水速度，接着根据时间=路程÷速度，即可求出答案． 【详解】解：设静水速度为x千米/时， 由题可列方程：， 解得：， （小时）， 故选：A． 例7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若顺流航速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查用一元一次方程解实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程进行计算即可． 【详解】解：设A港和B港相距千米， ， 解得， 故答案为：． 变式1．（2024·河北·小升初模拟）甲、乙两艘轮船沿同一航线从相距540千米的两港同时出发，已知甲船速度是每小时24千米，乙船速度是每小时30千米，那么经过多少小时两船相距54千米？ 【答案】9小时或11小时 【分析】设经过x小时两船相距54千米，根据路程＝速度×时间；分两种情况，一种是还没相遇时，相距54千米；用甲船行驶的速度×甲船行驶的时间，求出甲车行驶的路程；用乙船行驶的速度×乙船行驶的时间，求出乙船行驶的路程，甲船行驶的路程＋乙船行驶的路程＝两船相距的距离－54千米，列方程：24x＋30x＝540－54，解方程；另一种是甲船和乙船相遇后又向前行驶一段时间后，两船相距54千米，此时两船走的路程比两港的距离多了54千米，则甲船行驶的路程＋乙船行驶的路程＝两地相距的距离＋54千米，列方程：30x＋24x＝540＋54，解方程，即可解答。 【详解】解：设经过x小时两船相距54千米。 24x＋30x＝540－54 54x＝486 54x÷54＝486÷54 x＝9 24x＋30x＝540＋54 54x＝594 54x÷54＝594÷54 x＝11 答：经过9小时或11小时两船相距54千米。 【点睛】本题主要考查相遇问题，要注意分两种情况进行讨论。 变式2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）小明一家人去电影院看电影《哪吒（2）》，路上预计用时25分钟，但由于堵车，结果实际车速比预计的每小时慢10千米，且路上多用了5分钟．设预计车速为x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题列一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设预计车速为x千米/时，由实际车速比预计的每小时慢了10千米可得出实际车速为千米时，利用路程速度时间，结合路程不变，即可得出关于x的一元一次方程即可解答． 【详解】解：设预计车速为x千米/时，则实际车速为千米时， 依题意得：， 故选：D． 变式3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【答案】(1)4分钟 (2)分钟 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键． （1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，小明分钟走的路程分钟走的路程爸爸追上小明所走路程，列出方程求解即可求解． （2）设爸爸出发y分钟追上小明，爸爸与小明相遇时爸爸的路程小明分钟的路程，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸追上小明用了x分钟，依题意得 ， 解得． 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，由题意得∶ ， 解得， 答： 爸爸出发分钟追上小明． 变式4．（2025·四川·小升初模拟）市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ （2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 【答案】（1）24千米（2）六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【详解】（1）解：设后队出发x小时后追赶上前队， 6x＝4＋4x 6x－4x＝4＋4x－4x 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 12×2＝24（千米） 答：后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米。 （2）分三种情况 ①后队未出发前队出发走了2千米，用的时间是2÷4＝0.5（小时） 即六（1）班出发0.5小时，两队相距2千米； ②后队出发还未追及上前队，设后队需y小时两队相距2千米 （6－4）y＝2 2y＝2 2y÷2＝2÷2 y＝1 1＋1＝2（小时） 即六（1）班出发2小时，两队再次相距2千米； ③后队与前队相遇之后，设前队再需z小时，两队相距2千米， （6－4）z＝2 2z＝2 2z÷2＝2÷2 z＝1 1＋2＋1＝4（小时） 即六（1）班出发4小时，两队第三次相距2千米。 答：六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【点睛】本题考查追及问题，速度差×追及时间＝路程差，以及分情况讨论问题的解题方法。 变式5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）一列火车匀速行驶，经过一条长700米的隧道，从车头进入隧道到完全驶出隧道共用时30秒．在隧道顶部有一盏灯，火车头到达这盏灯的位置到火车尾离开这盏灯的位置用时10秒，则火车行驶的速度是 米/秒． 【答案】35 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这列火车行驶的速度是米/秒，则这列火车的长度为米，再根据“经过一条长米的隧道，从车头进入隧道到完全驶出隧道共用时秒”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这列火车行驶的速度是米/秒， 则这列火车的长度为米， 由题意得：， 解得， 即这列火车行驶的速度是米/秒， 故答案为：． 变式6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用，若水流速度为，船在静水中的速度为．已知甲、丙两地间的距离为，求甲、乙两地间的距离．（提示：分丙地在甲、乙两地之间和不在甲、乙两地之间两种情况求解） 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程，根据题意列方程是解题的关键； 根据题意设甲、乙两地间的距离为，分两种情况，分别求解即可； 【详解】解：设甲、乙两地间的距离为， 根据题意分两种情况： ①丙地在甲、乙两地之间，则， 解得； ②丙地不在甲、乙两地之间，则 ， 解得， 综上所述，甲、乙两地间的距离为或； 题型4、工程问题 【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1．（2025·北京·小升初模拟）北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 【答案】200米 【分析】由题意可知，工作总量不变，那么每天修的长度和需要的天数成反比例，实际需要的天数×实际每天修的长度＝原计划需要的天数×原计划每天修的长度，据此解答。 【详解】解：设天天工程队每天要修x米。 （50－10）x＝160×50 40x＝160×50 40x＝8000 x＝8000÷40 x＝200 答：天天工程队每天要修200米。 例2．（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为1÷12＝，设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x，根据工作量＝工作效率×工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为8x，乙队单独做3天的工作量为（－x）×3，根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作量＋乙队单独做3天的工作量＝”列方程求出甲队的工作效率，再用减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝ 解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x。 8x＋（－x）×3＝ 8x＋－3x＝ 5x＋＝ 5x＋－＝－ 5x＝－ 5x＝ ×5x＝× x＝ 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×20 ＝20（天） 答：乙队20天可以修完这条路。 例3．（2024·四川成都·小升初真题）一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元。实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，由另一个队继续到工程完成。结算时，共支出甲、乙两队工程费用86.5万元。那么甲、乙两队合作了( )天。 【答案】26 【分析】本题设甲乙合干的天数是x天，其实甲乙各干了x天，就可以表示出甲的工作量，从而也可以求出乙的工作量，在相应的工作量下可以表示出各自的费用，把费用加在一起就是86.5万元，依此即可求解。 【详解】解：设甲乙合干的天数是x天，则甲队工作x天，甲队完成的工作量为，乙队完成的工作量为（1－）。 根据题意得： 100×＋80×（1－）＝86.5 x＋80－x＝86.5 x＋80＝86.5 x＋80－80＝86.5－80 x＝6.5 x÷＝6.5÷ x＝6.5×4 x＝26 甲乙共合作了26天。 【点睛】本题考查用方程解决工程问题，需联系工程问题的基本公式解答。 例4．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 【答案】(1)乙管开了小时； (2)三管一起开放，小时注满一空水池． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）设乙管开放了小时，由题意可知，等量关系为：甲工作量乙工作量总工作量，列出方程，解出的值； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水，然后根据等量关系：甲工作量乙工作量丙的工作量总工作量，列出方程，解出的值． 【详解】（1）解：（1）设乙管开放了小时， 则：， 解得：， 答：乙管开了小时； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水， 则；， 解得：， 答：三管齐开，小时可将一空池注满． 例5．（2024·四川绵阳·小升初真题）一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 【答案】20天 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲乙两队合做10天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；设乙单独做这项工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙两队的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三队1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根据工作总量＝工作效率×工作时间；用余下的工程乙需要的天数×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三队1天的工作量＝工作总量，列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。 【详解】解：设乙单独做这项工程要x天完成。 （－＋＋－）×1＋16.5×＝1 （＋－）＋＝1 －＋＝1 ＋＝1 ＝1－ ＝ 31x＝15.5×40 31x＝620 x＝620÷31 x＝20 答：乙单独做这项工程要20天完成。 【点睛】明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，是解答本题的关键。 变式1．（2025·江西·小升初模拟）甲、乙两个工程队合作挖一条长420米的隧道，甲、乙两队同时从隧道两端向中间挖。乙工程队的速度是甲工程队的1.5倍，7天后这个隧道全部挖完。甲、乙两个工程队分别每天挖多少米？（用方程解答） 【答案】甲工程队：24米；乙工程队：36米 【分析】设甲工程队每天挖x米，乙工程队的速度是甲工程队的1.5倍，则乙工程队每天挖1.5x米，甲工程队7天挖7x米，乙工程队7天挖1.5x×7米，甲工程队挖的长度＋乙工程队挖的长度＝隧道的长度，列方程：7x＋1.5x×7＝420，解方程，即可解答。 【详解】解：设甲工程队每天挖x米，则乙工程队每天挖1.5x米。 7x＋1.5x×7＝420 7x＋10.5x＝420 17.5x＝420 17.5x÷17.5＝420÷17.5 x＝24 乙工程队：24×1.5＝36（米） 答：甲工程队每天挖24米，乙工程队每天挖36米。 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）某工程要求按期完成，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为天，则方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了工程问题．理解题意列出方程是解题的关键． 工程问题的基本公式是：工作总量工作效率工作时间．甲队单独完成需天，则甲队的工作效率是，乙队单独完成需天，则乙队的工作效率是．根据甲队先单独做的工作量加上甲乙两队合作的工作量等于工作总量（设为1）来列方程． 【详解】解：甲队单独做的工作量： 甲队单独做40天，甲队的给工作效率是， 那么甲队单独做的工作量为． 两队合作的工作量： 因为工期是天，甲队已经做了4天，所以两队合作的天数是天， 甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，那么两队合作的工作量为，即． 所以该方程可列为：． 故选D． 变式3．（2024·四川绵阳·小升初真题）A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】（1）甲队：50千米/小时，乙队：30千米/小时 （2）11小时 【分析】（1）设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了2.5小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和＝两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可。 （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作0.5小时，完成了总量的，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷0.5求出甲的效率。设乙的效率为y，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：6－0.5＝5.5（小时），根据工作效率×工作时间＝工作总量，甲队工作量＋乙队工作量＝1，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间。 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。 9：00－7：00＝2（小时） 2小时＋0.5小时＝2.5小时 2×（x＋5）＋2.5x＝176－1 2×x＋2×5＋2.5x＝175 3x＋10＋2.5x＝175 5.5x＝175－10 5.5x＝165 x＝165÷5.5 x＝30 30×＋5 ＝45＋5 ＝50（千米/小时） 答：甲队的行进速度是50千米/小时，乙队的行进速度是30千米/小时。 （1）÷0.5＝÷＝×2＝ 解：设乙的工作效率为y。 ×6＋（6－0.5）y＝1 0.5＋5.5y＝1 5.5y＝1－0.5 5.5y＝0.5 y＝0.5÷5.5 y＝ 1÷＝11（小时） 答：乙队单独疏通这条公路的效率是11小时。 【点睛】本题主要考查工程问题，关键是掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键。 变式4．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水． (1)若同时开放甲、乙两个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管（保持甲管始终进水），则注满水池甲管总共开放了几小时？ 【答案】(1)同时开放甲、乙两个水管，2小时可注满水池 (2)注满水池甲管总共开放了小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设三个水管同时开放小时可注满水池，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设注满水池甲管总共开放了小时，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设三个水管同时开放小时可注满水池， 根据题意得， 解得， 所以同时开放甲、乙两个水管，2小时可注满水池； （2）解：设注满水池甲管总共开放了小时， 依题意得， 解得， 所以注满水池甲管总共开放了小时． 变式5．（2024·四川绵阳·小升初真题）一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有( )人。（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 【答案】36 【详解】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1。 解：设这批工人有人。 ＋（1－）＝（＋＋4×2）×1.5 ＋＝（＋＋8）×1.5 ＝（＋8）×1.5 ＝×1.5＋8×1.5 ＝＋12 －＝12 ＝12 ＝12÷ ＝12×3 ＝36 这批工人共有36人。 题型5、年龄问题 【解题技巧】“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1．（2024·山东青岛·小升初真题）爸爸比小磊大28岁，爸爸今年的年龄是小磊的3倍。小磊今年几岁？ 【答案】14岁 【分析】根据“爸爸今年的年龄是小磊的3倍”，可以设小磊今年岁，则爸爸今年3x岁； 根据“爸爸比小磊大28岁”可得出等量关系：爸爸今年的年龄－小磊今年的年龄＝爸爸比小磊大的年龄，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设小磊今年岁，则爸爸今年岁。 －＝28 ＝28 ÷2＝28÷2 ＝14 答：小磊今年14岁。 例2．（2024·河北·小升初模拟）祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 【答案】祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁 【分析】根据题意，设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁，祖父的年龄＋儿子的年龄＋孙子的年龄＝100，据此列方程求解即可。 【详解】解：设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁， 祖父：（岁） 儿子：（岁） 答：祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁。 例3．（2024·陕西·小升初模拟）小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 【答案】49岁 【分析】根据题意，爸爸今年比小明大42－8＝34（岁），那么若干年后，爸爸仍然比小明大34岁。设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁，根据“爸爸的年龄－小明的年龄＝34岁”列方程求出若干年后小明的年龄，再求出爸爸那时的年龄。 【详解】解：设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁。 4x－11－x＝42－8 3x－11＝34 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 爸爸：15×4－11 ＝60－11 ＝49（岁） 答：那时爸爸的年龄是49岁。 【点睛】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。明确“若干年后，爸爸仍然比小明大34岁”，然后找出等量关系式是解题的关键。 例4．（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 【答案】 54 29 【分析】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差＋4＝儿子现在的年龄，年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，所以爸爸＋儿子的年龄＝79＋4＝83，设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是（83－x）岁，再根据年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，列出方程解决问题。 【详解】解：设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是79＋4－x＝（83－x）岁，根据题意可得方程： x－（83－x）＋x＝79 x－83＋x＋x＝79 3x－83＋83＝79＋83 3x＝162 3x÷3＝162÷3 x＝54 83－54＝29（岁） 现在爸爸54岁，儿子29岁。 【点睛】解决本题的关键是明确年龄差不变，再列方程解答。 例5．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁 【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。 3×13＝39（岁） 9＋13＋39＝61（岁） （70－61）÷3＝9÷3＝3（岁） 妹妹：9＋3＝12（岁） 哥哥：13＋3＝16（岁） 爸爸：39＋3＝42（岁） 答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。 变式1．（2025·全国·小升初模拟）爸爸比小丽大36岁，今年爸爸的年龄正好是小丽的4倍。今年爸爸和小丽各多少岁？（列方程解决问题） 【答案】48岁；12岁 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算。根据等量关系，今年小丽的年龄×4＝今年爸爸的年龄，设今年小丽的年龄为未知数再列方程，利用等式的性质解方程即可。 【详解】解：设今年小丽x岁，则爸爸今年是（36＋x）岁。 4x＝36＋x 4x－x＝36 3x＝36 3x÷3＝36÷3 x＝12 36＋x＝36＋12＝48（岁）   答：今年爸爸48岁，今年小丽12岁。 变式2．（2024·陕西西安·小升初模拟）马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】先设马丁的女儿岁，然后根据题意可知，分别表示出其他三人的年龄，即儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。再根据把他们的年龄都加起来，正好等于祖母的年龄，列方程解答，进而求出马丁的年龄。 【详解】解：设马丁的女儿岁，则儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。 马丁的年龄：（岁） 答：马丁30岁。 变式3．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）姐姐7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，当姐姐 岁时，正好是妹妹年龄的3倍． 【答案】18 【分析】由姐姐7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，可得出姐姐和妹妹差12岁，设当姐姐x岁时，正好是妹妹年龄的3倍，由姐姐的年龄是妹妹年龄的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设当姐姐x岁时，正好是妹妹年龄的3倍， 根据题意得：， 解得：， ∴当姐姐18岁时，正好是妹妹年龄的3倍． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 变式4．（2024·全国·小升初模拟）学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。”老师的年龄是 岁。 【答案】27 【分析】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差＋3＝学生现在的年龄；年龄差＋老师现在的年龄＝39岁；所以老师＋学生＝42岁，设老师今年岁数为x岁，则学生的岁数为（42－x）岁，再根据年龄差＋老师现在的年龄＝39岁，列方程：x－（42－x）＋x＝39，解方程，即可解答。 【详解】解：设老师今年x岁，因为老师和学生的年龄和是39＋3＝42（岁），则学生的岁数是（42－x）岁。 x－（42－x）＋x＝39 x－42＋x＋x＝39 3x－42＝39 3x－42＋42＝39＋42 3x＝81 3x÷3＝81÷3 x＝27 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。”老师的年龄是27岁。 题型6、数字与日历问题 【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1．（2024·全国·小升初模拟）一个两位数，十位数字比个位数字少2，如果把这两个数字对调位置，所得的新的两位数与原数的和是154，求原数是多少？ 【答案】68 【分析】设个位上的数字为，则十位上的数字为，根据所得的新的两位数与原数的和是154即可建立方程，得出答案。 【详解】解：设个位上的数字为，则十位上的数字为。 8－2＝6 所以这个两位数为68。 答：原数是68。 例2．（2024·全国·小升初模拟）有一个三位数，如果把数字4写在它的前面可得到一个四位数，写在后面也能得到一个四位数，已知这两个四位数的差是2889，求原来的三位数是多少？ 【答案】123或765 【分析】本题可以用方程来解决。设这个三位数是x，则把数字4写在它的前面得到一个四位数为：4000＋x；把数字4写在它的后面得到一个四位数为：10x＋4。最后再根据这两个四位数的差是2889即可列出方程求解。 【详解】解：设这个三位数是x，则把数字4写在它的前面得到一个四位数为4000＋x，把数字4写在它的后面得到一个四位数为10x＋4。 由题意可知： 或者 答：原来的三位数是123或765。 例3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）把这个数填入的正方形方格中，不管是把横着的个数相加，还是把竖着的个数相加，或者把斜着的个数相加，个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程进行求解即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 例4．（24-25七年级上·湖北随州·期末）小元同学在年月的日历上圈出了三个数，b，c，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1.根据题意可列方程求解． 【详解】解：A、设最小的数是，，解得，观察日历可知存在，故本选项不合题意； B、设最小的数是，，解得：，观察日历可知不存在，故本选项符合题意； C、设最小的数是，，解得：，观察日历可知存在，故本选项不合题意； D、设最小的数是，，解得，观察日历可知存在，故本选项不合题意． 故选：B 例5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)若“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不可以；理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 变式1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且个位上的数字和十位上的数字之和是这个两位数的，则这个两位数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据个位上的数字和十位上的数字之和是这个两位数的，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意，得：， 解得：， ∴这个两位数是36； 故答案为：36． 变式2．（2024·全国·小升初模拟）有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位，其余数字顺序不变，所得新六位数是原数的4倍，原六位数是多少？ 【答案】153846 【分析】令这个六位数的前5个数字组成的五位数为x，利用位置原理，分别去表示出原来的六位数的大小和变化后新六位数的大小，利用题目中的等量关系，建立方程，即可作答。 【详解】解：设原六位数中前五个数字组成的五位数为x。 （10x＋6）×4＝x＋600000 40x＋24＝x＋600000 40x－x＝600000－24 39x＝599976 x＝15384 所以原六位数是153846。 答：原六位数是153846。 变式3．（2025·陕西榆林·二模）幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幻方的计算，理解题目中幻方的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴“德”盖住的数字是3， 故答案为：3 ． 变式4．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55、不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．35 B．60 C．88 D．105 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、， 所以这五个数的和为， 若，解得，此时左上数字为空，不符合题意； 若，解得，此时右上和右下数字为空，不符合题意； 若，解得，不是整数，不符合题意； 若，解得，符合题意； 故选：D． 变式5．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 题型7、牛吃草问题 【解题技巧】解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1．（2024·全国·小升初模拟）一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 【答案】40头 【分析】设1头牛1天吃1份草，根据题中的两种情况，先求出原草量和草的增长速度，然后考虑题目的问题。 【详解】解：设1头牛1天吃1份草； （份/天） （份） 设原有x头牛； 答：这群牛原来有40头。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，对于这种牛数量变化的情况，可以用方程求解，整体考虑问题。 例2．（2024·全国·小升初模拟）物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，如果当时开设两个收银台，付款开始几小时就没有顾客排队了？ 【答案】0.8小时 【分析】如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，4小时可以应付320名顾客，而4小时来了240名顾客，那么原有80名顾客，如果是两个收银台，可以设所需时间为未知数，列方程求解。 【详解】解：设开设两个收银台，付款开始x小时就没有顾客排队； （名） 答：开设两个收银台，付款开始0.8小时就没有顾客排队。 【点睛】本题考查的是生活中的牛吃草问题，找出对应关系，按照一般的牛吃草问题求解即可。 例3．（2024·全国·竞赛）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完（    ）。 A．10小时 B．9小时 C．8小时 D．7小时 【答案】A 【分析】可假设1台抽水机1小时抽水量为“1”，抽水机在一定时间内抽水量包含两类：池中原有量；池中一定时间内新涌出的量。可先求出5台抽水机40小时的抽水量及10台抽水机15小时的抽水量，并利用抽水量之差除以时间之差，求出泉水每小时新涌出的量；再计算出池中原有水量；最后设14台抽水机x小时把水抽完，结合数量关系式：14台抽水机x小时抽水量＝池中原有水量＋x小时泉水新涌出的量，列方程，解答即可。 【详解】由分析得： 假设1台抽水机1小时抽水量为“1”， 5台抽水机40小时抽水量＝5×40×1＝200 10台抽水机15小时＝10×15×1＝150 泉水每小时新涌出的量：（200－150）÷（40－15） ＝50÷25 ＝2 池中原有水量：200－40×2 ＝200－80 ＝120 解：设14台抽水机x小时可以把水抽完。 14x＝120＋2x 12x＝120 x＝10 故答案为：A。 【点睛】这属于“牛吃草问题”，题意较为复杂，需经过反复实验及总结方能掌握，解决这类问题的思维模式及数量关系常可运用到现实生活中某种场合下所发生的问题中去。例如合理开放火车站检票口问题，合理调度运输车辆运送仓库货物问题。 变式1．（2024·全国·竞赛）有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加6只，这样又吃了2天，便将草吃完，问原有的羊有几只？ 【答案】20只 【分析】设1只羊1天吃1份草，根据题目给出的两种情况，求出原草量和草的增长速度，然后设原有羊的数量为未知数，根据所吃草等于原草加上增长的草，列方程求解。 【详解】解：设1只羊1天吃1份草； （份/天） （份） 设原有的羊有x只； 答：原有的羊有20只。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，求出原草量和草的增长速度是求解问题的关键。 变式2．（2024·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 【答案】3 【分析】据已知条件，一个窗口8分钟一共放走了25×8＝200（人），8分钟内共来了10×8＝80（人），所以原来有200－80＝120（人）；开两个窗口则每分钟可放25×2＝50（人），则可设x分钟后就暂时无人排队了，x分钟共来人10x人，可得方程：50x－10x＝120，解此方程即可。 【详解】原来有： 25×8－10×8 ＝200－80 ＝120（人） 设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，则得方程： （25×2）x－10x＝120 解：50x－10x＝120 40x＝120 x＝120÷40 x＝3 所以开始检票3分钟后就暂时无人排队了。 【点睛】此题的解题关键是要先求出原来等着的有多少人，再找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 变式3．（2024六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 【答案】156 【详解】解：设扶梯每分钟走x个台阶。 3x＋3×35＝4x＋4×22 3x＋105＝4x＋88 3x＋105－3x＝4x＋88－3x 105＝x＋88 105－88＝x＋88－88 17＝x x＝17 3×17＋3×35 ＝51＋105 ＝156（级） 这个自动扶梯共有156级台阶露在外面。 题型8、销售问题 【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1．（2024六年级·全国·竞赛）一件产品，每件成本价为400元，售价510元，预计明年若售价降低，销售量将提高，要使利润不变，成本应降低( )元。 【答案】10.4 【分析】本题可以用方程来解决，设成本应降低x元，将原来的销量看作单位“1”，根据“利润＝售价－成本”分别求出今年和明年的利润，根据利润不变可以列出方程，从而解决问题。 【详解】解：设成本应降低x元。 因此成本应降低10.4元。 例2．（2024六年级·全国·竞赛）某百货商店销售一批服装，商店按的利润定价。当卖出这批服装的多30件时不仅收回了全部成本，还获得预计利润的一半。这批服装一共有多少件？ 【答案】180件 【分析】可以假设每件服装的成本是100元，商店按20%的利润定价，就是每件的利润是成本的20%，求一个数的百分之几是多少用乘法得出每件服装的利润是20元，此时预计的利润＝每件利润×件数。售价＝成本＋利润，也就是120元。 根据当卖出这批服装的多30件时不仅收回了全部成本，还获得预计利润的一半，可以设这批服装一共有x件，此时卖出的件数是（75%x＋30），总的销售额＝卖出的件数×每件的售价＝120（75%x＋30）＝全部的成本＋预计利润的一半＝100x＋20x÷2，列出方程得出件数。 【详解】解：设每件服装的成本是100元。 每件利润：100×20%＝20（元） 100＋20＝120（元） 设这批服装一共有x件。 120（75%x＋30）＝100x＋20x÷2 120×75%x＋120×30＝100x＋10x 90x＋3600＝110x 110x－90x＝3600 20x＝3600 x＝3600÷20 x＝180 答：这批服装一共有180件。 例3．（2024六年级·全国·竞赛）甲、乙两种商品成本共2200元。甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价，后来在顾客的要求下，两种商品按定价打9折，结果仍获利122元。问：甲、乙两种商品成本各多少元？ 【答案】甲是1000元，乙是1200元。 【分析】本题可以用方程来解决。先设甲店的成本价为x元，根据甲、乙两种商品成本共2200元则可以表示出乙店的成本价。然后根据“定价＝进价×（1＋利润率）”可以求出甲店和乙店的定价，再用定价乘90%即可求出两件商品的售价。最后获利122元即可列出方程即可解决。 【详解】解：设甲店的成本价为x元，则乙店的成本价为（2200－x）元。 2200－1000=1200（元） 答：甲的成本是1000元，乙的成本是1200元。 例4．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】70元 【详解】减价：100×5%＝100×0.05＝5（元） 多订购的件数：5÷1×4＝20（件） 降价后共订购：80＋20＝100（件） 解：设原来每件商品的利润为元。 （－5）×100－80＝100 100－500－80＝100 20－500＝100 20＝100＋500 20＝600 ＝600÷20 ＝30 100－30＝70（元） 答：这种商品的成本是70元。 例5．（2024·河南周口·小升初真题）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 【答案】（1）甲超市352元；乙超市360元（2）不划算 【详解】（1）一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款：400×88%＝400×0.88＝352（元） 乙超市实付款：400×90%＝400×0.9＝360（元） 答：甲超市实付款是352元，乙超市实付款是360元。 （2）500×90%＝500×0.9＝450（元） 在乙超市购物实付款482元，482＞450，所以该顾客购物实际金额超过500元。 解：设该顾客原购物总金额为元。 500×（1－10%）＋（－500）×80%＝482 500×0.9＋（－500）×0.8＝482 450＋0.8－400＝482 50＋0.8＝482 0.8＝482－50 0.8＝432 ＝432÷0.8 ＝540 若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为：540×88%＝540×0.88＝475.2（元） 475.2元＜482元答：该顾客的选择不划算。 变式1．（2024六年级·全国·竞赛）某种电器上半月按定价1000元的价格出售，共销售50台，下半月降价，这样销售量增加了，所获利润比上半月多500元，这种电器每台的成本是( )。 【答案】650元 【分析】本题可以用方程解决，设这种电器每台的成本是x元。先分别表示出上半月的利润和下半月的利润，根据下半月所获利润比上半月多500元即可列出方程，从而解决此题。 【详解】解：设这种电器每台的成本是x元。 因此这种电器每台的成本是650元。 变式2．（2024六年级·全国·竞赛）一种商品，甲店的进货价比乙店便宜。甲店按的利润销售，乙店按的利润销售，甲店的定价比乙店便宜1.05元。甲店的售价是多少元？ 【答案】31.35元 【分析】本题可以用方程来解决。先设乙店的进货价为x元，根据甲店的进货价比乙店便宜则可以表示出甲店的进货价。然后根据“定价＝进价×（1＋利润率）”可以求出甲店和乙店的定价，最后根据甲店的定价比乙店便宜1.05元即可列出方程即可解决。 【详解】解：设乙店的进货价为x元。 甲店售价： （元） 答：甲店的售价是31.35元。 变式3．（2024六年级·全国·竞赛）某商场在一促销期间，将一件商品降价出售，如果减去定价的出售，那么盈利215元；如果减去定价的出售，那么亏损125元，此商品的购入价是多少元？ 【答案】2845元 【分析】本题可以采用方程来解决，设此商品的定价为x元。如果减去定价的出售，那么盈利215元，即可表示出此商品的成本为：；如果减去定价的出售，那么亏损125元，则同样可表示出此商品的成本为：；最后根据成本不会发生变化即可列出方程，从而求出定价，再去推算成本。 【详解】解：设此商品的定价为x元。 成本： （元） 答：此商品的购入价是2845元。 变式4．（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 【答案】标价200元；六折 【详解】（1）解：设每件衣服的标价是元。 50%＋20＝80%－40 80%－50%＝20＋40 0.3＝60 ＝60÷0.3 ＝200 （2）200×50%＋20 ＝200×0.5＋20 ＝100＋20 ＝120（元） 120÷200×100% ＝0.6×100% ＝60% 60%＝六折 答：每件衣服的标价是200元，要保证不亏，最多能打六折。 变式5．（23-24六年级下·河南郑州·期末）甲、乙两个超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市 乙超市 全场商品一律优惠15%。 购物不超过200元，不优惠； 购物超过200元而不超过500元，一律九折； 购物超过500元，其中的500元优惠10%，超过的部分打七五折。 已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实际付款相同？ （2）李叔叔在乙超市购物实际付款480元。试问李叔叔的选择划算吗？试着说明你的理由。 【答案】（1）750元（2）不划算；理由见详解 【详解】（1）解：设当购物总额是元时，甲乙两家超市实际付款相同。 （1－15%）＝500×（1－10%）＋（－500）×75% （1－0.15）＝500×（1－0.1）＋（－500）×0.75 0.85＝500×0.9＋0.75－500×0.75 0.85＝450＋0.75－375 0.85－0.75＝450－375 0.1＝75 ＝75÷0.1 ＝750 答：当购物总额是750元时，甲乙两家超市实际付款相同。 （2）500×（1－10%）＝500×（1－0.1）＝500×0.9＝450（元） 480－450＝30（元） 30÷75%＝30÷0.75＝40（元） 原价：500＋40＝540（元） 甲超市：540×（1－15%）＝540×（1－0.15）＝540×0.85＝459（元） 459＜480，选择不划算。 答：李叔叔的选择不划算。理由：根据在乙超市购买需480元，求出商品的原价，进而求出在甲超市购买需459元，比在乙超市购买便宜，所以在乙超市购买不划算。 题型9、分段计价问题 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】（1）14.95元 （2）4.3千米 【分析】（1）晚上9时属于17：00~00：00这个时间段，起步价是6元，先用6.5千米减去2.3千米，求出超出2.3千米的距离是6.5－2.3＝4.2千米，4.2千米按照5千米计费，用起步价加上超出4.2千米的钱数，也就是每千米1.55元，再用所用的时间减去7即可求出超出的时长，再成0.3即可求出超出时长的费用，再加上超出起步时长的费用即可。 （2）设本次里程最长x千米，起步价加上里程加数减去2.3千米乘每千米的计费标准就等于支付的钱数，列方程：6＋（x－2.3）×2.4＝10.8，解方程，即可解答。 【详解】（1）6.5－2.3＝4.2（千米） 4.2千米≈5千米 6＋5×1.55＋（11－7）×0.3 ＝6＋7.75＋4×0.3 ＝13.75＋1.2 ＝14.95（元） 答：李叔叔需要支付14.95元。 （2）设李叔叔本次里程最长x千米。 6＋（x－2.3）×2.4＝10.8 6＋（x－2.3）×2.4－6＝10.8－6 （x－2.3）×2.4＝4.8 （x－2.3）×2.4÷2.4＝4.8÷2.4 x－2.3＝2 x－2.3＋2.3＝2＋2.3 x＝4.3 答：李叔叔本次里程最长4.3千米。 例2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)40吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨． ①当， 可得， 解得； ②当， 可得， 解得 (舍去)． 即小王家11月份用水13吨． 例3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 【答案】(1)，元/千瓦时 (2)该户居民六月份的用电量为千瓦时 【分析】本题考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）根据题意列方程求解，进而求解超出部分的电费单价； （2）设该户居民六月份的用电量为千瓦时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 所以超出部分的电费单价是 (元千瓦时)； （2）解：因为， 所以该户居民六月份的用电量超过千瓦时； 设该户居民六月份的用电量为千瓦时， 根据题意，得， 解得， 故该户居民六月份的用电量为千瓦时． 变式1．（2024·全国·小升初模拟）某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购物不超过200元，不予折扣； ②一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。 王叔叔第一次购物付了482元，第二次购物付了170元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省多少钱？ 【答案】34元 【分析】当购物为超过200但不超过500元时，最大的优惠是买了500元的物品。则需要花500×90%＝450元，王叔叔第一次付了482元， 则可以得出王叔叔第一次购物享受了第三种优惠方式。设他第一次所购物品的原价是元，根据数量关系式：500元的九折的价格＋超过500元的8折价格＝482元，列出方程求出原价。而第二次购物170元则原价没有超过200元的。算出原价后发现价格和是符合第三种优惠方式的，再按照第三种优惠方式算出价格。两种价格进行比较算出省的钱。 【详解】500×90%＝450（元） 482元＞450 设他第一次所购物品的原价是元。 （元） ＝ ＝ ＝（元） ＝ ＝（元） 答：可比两次分别购买省34元。 变式2．（24-25六年级下·山东东营·期中）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影，到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案 一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是 原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人）， 优惠方案一所需费用 元；优惠方案二所需费用 元；他选择优惠方案 （填“一”或“二”）划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付费用相等，求成人、学生各多少人？ 【答案】(1)410；250；二 (2)成人有20人，学生有10人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据两种收费方案分别计算，比较即可求解； （2）设学生人数为x人时，两种方案车费一样多，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：选择优惠方案一所需费用为： (元)； 选择优惠方案二所需费用为： (元)． ， ∴他选择优惠方案二划算； （2）解：设学生有x人，则成人有人， 根据题意得： ， 解得： ， 答：成人有20人，学生有10人； 变式3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2017年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表．若2017年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过150千瓦时 a 超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 超过300千瓦时的部分 (1)上表中，_______，若居民乙用电200千瓦时，应交电费______元； (2)若某用户某月用电量超过300千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示应交的电费为 元 ； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电位于第二档，其当月的平均电价为元/千瓦时，该用户用电为多少千瓦时？ 【答案】(1)； (2)元 (3)250千瓦时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式,正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）根据结合应交电费60元即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；再由，结合应交电费超出150千瓦时的部分即可求出结论； （2）根据应交电费超出300千瓦时的部分，即可得出结论； （3）设该居民用电m千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时为元，由m在第二档及第三档考虑，根据总电费等于均价乘以数量即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出m值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 若居民乙用电200千瓦时，， 应交电费（元）． 故答案为：；； （2）解：当时， 应交的电费（元）； （3）解：设该居民用电m千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时为元， 当该居民用电处于第二档时， ， 解得：； 答：该用户用电250千瓦时． 1．（2025·北京·小升初模拟）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。 根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数 ②足球队人数田径队人数 ③篮球队人数田径队人数 ④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 【答案】C 【分析】看图可知，将篮球队人数看作单位“1”，足球队人数是篮球队的；将足球队人数看作单位“1”，田径队人数是足球队的，田径队人数是篮球队人数的，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，逐个进行分析。 【详解】①＝，田径队人数是篮球队人数的，足球队人数田径队人数，原等量关系错误； ②足球队人数田径队人数，等量关系正确； ③篮球队人数田径队人数，等量关系正确； ④篮球队人数田径队人数，等量关系正确。 其中正确的只有②③④。 故答案为：C 2．（2025·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有间房，则可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房”，结合客人人数不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 3．（2025·江苏连云港·一模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了一元一次方程的实际应用．设杏有个，根据3人一组，每组5个杏，则多10个杏；4人一组，每组8个杏，则多2个杏，由人数相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设杏有个，根据题意得：， 故选：B． 4．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 5．（2024·河北·小升初模拟）哥哥比弟弟大10岁，5年前哥哥的年龄是弟弟的3倍，弟弟现在的年龄是（    ） A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．5岁 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设弟弟现在的年龄是岁，则哥哥现在岁，根据“5年前哥哥的年龄是弟弟的3倍”，列式，计算即可作答． 【详解】解：依题意，设弟弟现在的年龄是岁，则哥哥现在岁， 故 解得 ∴弟弟现在的年龄是10岁 故选：A 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 【答案】120千米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，则未开通高速公路之前的道路为千米，根据速度等于路程乘以时间为等量关系列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米， 则未开通高速公路之前的道路为千米， 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两个城市之间高速公路的距离是120千米 7．（2025·上海·小升初模拟）、两地相距150千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米，若两车分别从、两地同时同向而行，出发时甲车在乙车后面，经过多长时间甲车与乙车相距10千米？ 【答案】当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设经过x小时，甲车与乙车相距10千米，分两车相遇前相距10千米和相遇后相距10千米，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】解：设经过x小时，甲车与乙车相距10千米， 当两车相遇前相距10千米时，则， 解得； 当两车相遇后相距10千米时，则， 解得； 综上所述，当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米， 答：当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米． 8．（2025·陕西宝鸡·二模）小方和小胡值日并打扫教室卫生，小方单独打扫完教室卫生，需20分钟，小胡单独打扫完教室卫生，需16分钟．因小胡要先将数学作业本交到老师办公室，故先由小方单独打扫2分钟，余下的再由两人一起完成，求小胡需要花多长时间打扫完教室的卫生． 【答案】小胡需要花8分钟打扫完教室的卫生 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设小胡需要花分钟打扫完教室的卫生，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设小胡需要花分钟打扫完教室的卫生， 由题意得，， 解得：， 答：小胡需要花8分钟打扫完教室的卫生． 9．（2024·全国·小升初模拟）在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数比原来的数大6倍，求原来的这个两位数。 【答案】15 【分析】本题可以设未知数来解决。设原来这个两位数的十位数字是x ，个位数字是y。根据题意可知：。然后解方程即可。 【详解】解：设原来这个两位数的十位数字是x ，个位数字是y。 因为x、y均为0-10之间的自然数，且x≠0， 所以 答：原来的这个两位数是15。 10．（2024·全国·竞赛）把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好是原来四位数的35倍。原来的四位数是多少？ 【答案】2000 【分析】令原四位数为x，利用位置原理，去表示出得到的五位数，然后结合等量关系，建立方程，即可得出答案。 【详解】解：设原四位数是x。 60000＋x＋8000＝35x 35x－x＝68000 34x＝68000 x＝2000 答：原来的四位数是2000。 11．（23-24七年级上·全国·课堂例题）甲、乙两人年龄不等，已知当甲是乙现在的年龄时，乙6岁；当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁，求今年甲的年龄． 【答案】今年甲的年龄是16岁 【分析】设甲与乙的年龄差是岁，根据“当甲是乙现在的年龄时，乙6岁”可知甲与乙的年龄差是乙现在的年龄减去6岁；根据“当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁”可知甲与乙的年龄差是21岁减去甲现在的年龄；也就是从6岁到乙现在的年龄，从乙现在的年龄到甲现在的年龄，从甲现在的年龄到21岁，三段年龄差相等，从而列出方程求解即可． 【详解】解：设甲与乙的年龄差是岁． 根据题意，得， 解得． (岁)． 答：今年甲的年龄是16岁． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系列方程是解题的关键． 12．（2025·山东·小升初模拟）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图，计算，首先把乘数和分别写在方格的上面和右面，然后以的每位数字分别乘以的每位数字，将结果记入对应的格子中（如的写在下面的方格里，十位写在斜线的上面，个位写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是，即．如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次方程，根据“铺地锦”定义得出，然后解方程即可，通过读懂题意，理解“铺地锦”的运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据“铺地锦”定义可知，如图， ∴， ∴， 故选：． 13．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据框最中间的数，表示出其余个数是解决问题的关键． （1）根据框最中间的数，表示出其余个数，再列出个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，，然后根据数的位置解答即可． 【详解】（1）解：解：∵框最中间的数为a，则其余4个数分别为，，，， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， 结合日历表，得出当正中间的数为17时，右上角、右下角的数不存在，所以这5个数的和不能等于85． 14．（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 【答案】12 【详解】求每周新长草量（20×10－24×6）÷（10－6）＝（200－144）÷4＝56÷4＝14（份） 求牧场原有的草量24×6－14×6＝144－84＝60（份） 计算可供19头牛吃的周数 解：设可供19头牛吃x周。 19x＝60＋14x 19x－14x＝60＋14x－14x 5x÷5＝60÷5 5x×＝60× x＝12 可供19头牛吃12周。 15．（2024六年级·全国·竞赛）用不同的布料做成的甲、乙两套西服，成本一共300元。甲西服按的利润定价，乙西服按的利润定价。为促进销售，又均按定价的出售，结果甲、乙两套西服卖出后共获得40.2元的利润。那么甲西服的成本是多少元？ 【答案】180元 【分析】根据题意，设甲套运动装的成本是x元，则乙套运动装的成本是（300－x）元。然后分别求出两套服装的售价是多少；最后根据“两套服装的售价－两套服装的成本价＝40.2”列出方程，即可求出甲套运动装的成本是多少。 【详解】解：设甲套运动装的成本是x元，则乙套运动装的成本是（300－x）元。 答：甲西服的成本是180元。 16．（2024六年级下·江苏·专题练习）父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲79岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁。 【答案】54 分析： 【详解】解：设女儿现在的年龄是x岁。 x＋2（x－4）＝79 x＋2x－8＝79 3x＝87 x＝29 29－4＋29＝54（岁） 17．（2024六年级·全国·竞赛）李师傅以2元钱1个苹果的价格买进苹果若干个，以5元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以3.8元钱2个苹果的价格将剩下的苹果卖出，不过最后他不仅赚了21元钱，还剩下了2个苹果，那么他买了多少个苹果？ 【答案】124个 【分析】根据题意可知，李师傅盈利21元和2个苹果，苹果的成本是每个2元，即李师傅实际盈利25元。 当以5元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，每个苹果的价格是2.5元，根据每个苹果的成本是2元，得出卖出一半的苹果中每个苹果盈利是0.5元。 以3.8元钱2个苹果的价格将剩下的苹果卖出时，每个苹果的价格是1.9元，得出每个苹果亏了0.1元，根据题意只卖出了剩下一半少2个。 故设李师傅买进2x个苹果，根据数量关系式：以2.5元卖出苹果个数的利润－以1.9元卖出苹果个数的（x－2）的亏的钱＝总盈利的钱。列出方程求出x，再乘2即可得出苹果的数量。 【详解】解：设李师傅买进2x个苹果。 （5÷2－2）x－（3.8÷2－2）×（x－2）＝21＋2×2 （2.5－2）x－（2－1.9）×（x－2）＝21＋2×2 0.5x－0.1（x－2）＝21＋4 0.5x－0.1x＋0.2＝25 0.4x＝25－0.2 0.4x＝24.8 x＝24.8÷0.4 x＝62 2×62＝124（个） 答：他买了124个苹果。 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月份应缴纳电费元，求小刚家七月份的用电量． 【答案】(1)五， (2) (3) 【分析】本题主要考查正负数的实际意义、列代数式和解一元一次方程的知识点，掌握以上知识是解题的关键： （1）根据正负数表示的意义，结合表格找到最多的加上基础量进行计算即可解答； （2）根据表格求出用电量，结合收费标准列式计算即可得到答案； （3）根据收费标准，判断出小刚家七月份用电量超过了度，再设小刚家七月份的用电量为度，利用前两档满额计算加上第三档的即可得到答案； 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度）， 故答案为：五，； （2）解：小刚家一月份用电：（度）， 小刚家一月份应交纳电费：（元）， 故答案为：； （3）解：居民每月用电量为度时，电费为：（元）， 居民每月用电量为度时，电费为：（元）， ∵， ∴小刚家七月份用电量超过了度， 设小刚家七月份的用电量为度， 即：， 解得：， 答：小刚家七月份的用电量为度； 1．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两班的学生于上午8：00出发，到距学校27千米的一个动物园参观。现有一辆汽车，每次只能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达，合理安排步行和乘车。若步行速度为4千米/时，汽车速度为60千米/时，那么两个班最早几时几分同时到达？ 【答案】9时9分 【分析】设学校到甲班下车的地方的距离是x千米，甲班下车后，汽车开回去接乙班，并将乙班送到动物园时正好甲班也到达动物园。甲乙两班步行的距离都是（27－x）千米，所以甲乙步行的时间都是小时。汽车行驶的距离则是千米。根据乙班步行的时间等于车子从出发到与乙相遇的时间列方程解答。 【详解】解：设学校到甲班下车的地方的距离是x千米，则 所用时间： （小时） 8时＋1.15小时 ＝8时＋（1时＋0.15×60分） ＝8时＋（1时＋9分） ＝9时9分 答：两个班最早9时9分同时到达。 【点睛】本题考查了用方程解决实际问题，熟练的运用速度、时间、路程之间的数量关系找到等量关系是解决问题的关键。 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）一个水池有甲、乙两个水管，单开甲管6小时可以将空池注满，单开乙管4小时可以将空池注满．现在水池里有的水，开放乙管2小时后，再把甲管打开，此时两管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【答案】再过小时可以把水池注 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设再过小时可以把水池注满，则甲管开放了小时，乙管开放了小时．再根据把水池注满建立方程求解即可． 【详解】解；设再过小时可以把水池注满，则甲管开放了小时，乙管开放了小时． 根据题意得， 解得． 答：再过小时可以把水池注满． 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是 ． 【答案】20121 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据原数是一个五位整数，在它的某位数字前加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，小数点后面有两位小数，得出一定是在百位和十位之间加的小数点．也就是所得的数的小数点向左移动了两位，即缩小了100倍．设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据这两个数的差为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：20121． 4．（24-25七年级下·四川内江·期中）小明、小张分别从A、B两地同时骑自行车相向而行，2小时后在途中相遇，相遇后，小明、小张骑自行车的速度都提高了，当小明到达B地后立刻以提高后的速度沿原路返回，小张到达A地后立刻以提高后的速度沿原路返回，小明、小张两人在开始出发后的又再次相遇，则A、B两地的路程是 ． 【答案】72 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到正确的等量关系是本题的关键． 设第一次相遇时，甲、乙的速度和为，由第一次到第二次相遇的过程中甲、乙的路程和是第一次相遇时甲、乙路程和的两倍，可列方程，即可求解． 【详解】解：设第一次相遇时，甲、乙的速度和为，由题意得∶ ， 解得：． ∴A、B两地的路程是：． 故答案为：72． 5．（2024·全国·竞赛）有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的三个连续自然数，这六个数字的和恰好等于末尾的两位数，求这个六位数。 【答案】789333 【分析】令后三个数字都是x，结合位置原理，表示出前三个数字的和，再利用前三个数是连续的自然数，去表示出前三个数中间的数，利用因数与倍数的关系即可得出答案。 【详解】解：令后三个数字都是x； 则这六个数字的和为：10x＋x＝11x 前三个数字和为：11x－3x＝8x 第2个数字为：8x÷3＝x 因为第2个数为自然数，因此x为自然数，即x必定为3的倍数，再结合这个数最大智能是9，得出x＝3 所以第2个数是×3＝8 所以这个六位数是789333。 答：这个六位数是789333。 【点睛】本题主要考查位置原理表示数的大小，以及整数在数字中的应用。理解并能熟练运用位置原理，是解题的关键。 6．（2025·浙江杭州·小升初模拟）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ （1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； （2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多。 【答案】（1）250元；（2）方案一盈利较多 【详解】（1）5×11＋5×9＋5×17＋5×13＝5×（11＋9＋17＋13）＝5×50＝250（元） 答：经销商能盈利250元。 （2）设甲店A种水果x箱，B种水果y箱；则则乙店A种水果有（10－x）箱，B种水果有（10－y）箱。 11x＋17y＝9（10－x）＋13（10－y） 11x＋17y＝90－9x＋130－13y 11x＋9x＋17y＋13y＝90＋130 20x＋30y＝220 2x＋3y＝22 因为整箱配货可得三种方案：①x＝8，y＝2；②x＝5，y＝4；③x＝2，y＝6； 三种方案盈利分别为： ①当x＝8，y＝2时，两店盈利为： （11×8＋17×2）×2＝122×2＝244（元） ②当x＝5，y＝4时，两店盈利为： （11×5＋17×4）×2＝123×2＝246（元） ③当x＝2，y＝6时，两店盈利为： （11×2＋17×6）×2＝124×2＝248（元） 250元＞248元＞246元＞244元。 答：方案一盈利较多。 7．（23-24七年级上·重庆·期末）利用方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 【答案】(1)15 (2)16 【分析】（1）设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为，根据每名一级技工比二级技工一天多铺2瓷砖列方程求解即可； （2）设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为， 根据题意可知： ，解得：． 答：每个宿舍需要铺瓷砖为15． （2）解：设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为， 原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为， 原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为10， ，解得：， ． 答：每名二级技工每天需要铺16瓷砖才能按时完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意、理清等量关系、列出方程是解题的关键． 8．（2024七年级·全国·专题练习）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完．现向这个空水池注水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟．两管同时开了多少时间？ 【答案】小时． 【分析】方法1  将水池中的水的总量看作“1”，则注水管的注水速度为，出水管的出水速度为． 根据等量关系：关闭注水管前水池中的水量＝关闭注水管后水池中的水量，可以设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示： 方法2  将一水池中的水的总量看作“1”，则注水管的注水速度为，出水管的出水速度为． 根据等量关系：注水管注水量＝排水管排水量，可以设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示： 【详解】【方法1】设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示： 由题意，列方程，得 ． 所以两管同时开放小时． 【方法2】设两管同时开放x小时，并画出下面的线段图，如图所示： 由题意，列方程得 ． 所以两管同时开放小时． 【方法点拨】用方程的思想解决实际问题时，关键问题是从哪个角度来思考．本题的实质是在一个空的水池注水后又放水，最后又是一个空的水池．解题时，我们可以从两个角度来分析：一是注水管关闭以前池水不断增多，注水管关闭以后池水不断减少，即关闭注水管前水池中的水量＝关闭注水管后水池中的水量；二是将注水管和出水管独立起来分析，即注水管注水量＝排水管排水量． 上述问题中的注水量，注水速度、注水时间和工程问题中的工作量、工作效率、工作时间相对应，解工程问题时也可以类比此题来分析解决． 9．（2025六年级下·重庆·培优）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择。某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）。 TAXI（出租车）起步价：14元 超公里费：不足3公里按3公里计，超过3公里2.4元/公里 滴滴快车 起步价：12元 里程费：2.5元/公里 时长费：0.4元/分钟 神州专车 起步价：10元 里程费：2.8元/公里 时长费：0.5元/分钟 （1）如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们的费用分别是多少元？ （2）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （3）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车从甲地到丙地，结果到达目的地时收费相同，求甲、丙两地间的里程数。 【答案】（1）他们的费用分别是30.8元，43元，45.5元（2）甲、乙两地间的里程数为12千米 （3）甲、丙两地间的里程数为5千米或30千米。 【详解】（1）乘坐TAXI（出租车）的费用为14＋2.4×（10－3）＝30.8（元）； 乘坐滴滴快车的费用为12＋2.5×10＋0.460＝43（元）； 乘坐神州专车的费用为10＋2.8×10＋0.560＝45.5（元）。 答：他们的费用分别是30.8元，43元，45.5元； （2）设甲、乙两地间的里程数为x千米， 根据题意得：12＋2.5x＋0.4×60×[14＋2.4（x－3）]＝13.6，解得：x＝12 答：甲、乙两地间的里程数为12千米； （3）设甲、丙两地间的里程数为y千米， 当0＜y≤8时，12＋2.5y＋0.4×60×（10＋2.8y＋0.5×60×）×0.8＋5.3，解得：y＝5 当y＞8时，12＋2.5y＋0.4×60×6.5＝（10＋2.8y＋0.5×60×）×0.8＋5.3，解得：y＝30 答：甲、丙两地间的里程数为5千米或30千米。 10．（2025七年级上·重庆·专题练习）11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资＋奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 【答案】(1)1盒饼干售价为370元 (2)每盒糖果的进价为250元 (3)当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和正确列方程并求解． （1）设1盒饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，根据购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元，建立一元一次方程，求解即可； （2）根据题意得12月份1盒饼干售价为410元，1盒糖果的售价为400元，饼干销售量为500盒，糖果的销售量为盒，根据总销售额等于总成本，建立一元一次方程，求解即可； （3）由销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元，可计算出月成交销售额为376000元，设购进饼干的数量为m盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额为376000元，建立一元一次方程，求解出m的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盒饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，由题意得， ， 解得：， 答：1盒饼干售价为370元． （2）解：12月份1盒饼干售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干销售量为500盒，糖果的销售量为（盒）， 设每盒饼干的进价为y元，则每盒糖果的进价为元，由题意得， ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为250元． （3）解：由题意得， （元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， ①当饼干的数量大于1500盒，糖果的数量小于500盒时， 此时饼干的总进价为， 糖果的总进价为， ∴， 解得：， （盒）； ②当饼干的数量大于1000盒小于1500盒，糖果的数量大于500盒小于1000盒时， 此时饼干的总进价为， 糖果的总进价为：， ∴， 解得：， （盒）； 综上，购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒；或购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒； 当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利： （元）； 当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利： （元）， 答：当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元． 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点03 列方程解应用题 学习要求 1 知识衔接 2 题型探究 3 题型1、找等量关系与列方程 3 题型2、古代数学文化问题 5 题型3、行程问题 6 题型4、工程问题 8 题型5、年龄问题 10 题型6、数字与日历问题 11 题型7、牛吃草问题 13 题型8、销售问题 14 题型9、分段计价问题 16 基础通关 18 拓展提优 22 小学阶段 初中阶段 主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接指引 为了后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式型数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出其中的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、找等量关系与列方程 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1．（2024·福建·小升初模拟）下图为赵阿姨在狂欢购物节的支出情况，则以下等量关系式正确数的有（    ）。 ①服饰支出数码支出    ②服饰支出食品支出 ③数码支出食品支出    ④数码支出服饰支出 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 ( ) ＝ 根据上面的数量关系式列出方程： 。 例3．（2025·河南·小升初模拟）“阅读理解、分析解答、回顾反思”是解决问题的三步骤，请你按照你的理解来看图解决问题（如下图所示）。 （1）阅读理解：从图中知道全天参加活动的有（    ）人和（    ）。 （2）分析解答：等量关系式是（    ）。 列方程解答： （3）回顾反思：（怎样知道你的解答是正确的？） 变式1．（2025·浙江·小升初模拟）甲、乙两根水泥柱，埋入地下的部分长度相同，露出地面的部分如图所示。根据信息写出等量关系： 。 变式2．（2024·江苏淮安·小升初模拟）甲乙两个粮仓，甲仓存粮800吨，乙存粮x吨，从甲仓运50吨放入乙仓，两仓同样多。表示题中等量关系方程是（    ）。 A．x＋50＝800 B．x－50＝800 C．x＋50＝800－50 D．50x＝800 变式3．（2024·山东·小升初模拟）看图列式计算。 数量关系式： 方程： 题型2、古代数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1．（2025·广西·三模）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·四川成都·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 例3．（2025·贵州贵阳·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？甲、乙两人所列方程如下，甲：设木长为尺，根据题意可列方程为；乙：设绳长为尺，根据题意可列方程为．下列选项判断正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 变式2．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·河北秦皇岛·一模）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （   ） A．里 B．里 C．里 D．里 题型3、行程问题 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1．（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解） 例2．（2024·四川成都·小升初真题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？ 例3．（2024·四川成都·小升初真题）两地相距3600米，甲、乙两人同时从这两地相向而行，15分钟相遇。如果甲将自己的速度提高，乙将自己的速度降低，再从两地同时相向出发，则两人12分钟相遇。那么乙单独行完全程需要多少分钟？ 例4．（24-25七年级下·山西临汾·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 例5．（2024·全国·小升初模拟）一列火车以20米每秒的速度通过一座大桥，火车从上桥到完全通过用了1分钟时间，火车完全在桥上的时间是40秒钟，请问大桥长多少米？ 例6．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（   ）小时 A．10 B．9 C．8 D．12 例7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若顺流航速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 千米． 变式1．（2024·河北·小升初模拟）甲、乙两艘轮船沿同一航线从相距540千米的两港同时出发，已知甲船速度是每小时24千米，乙船速度是每小时30千米，那么经过多少小时两船相距54千米？ 变式2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）小明一家人去电影院看电影《哪吒（2）》，路上预计用时25分钟，但由于堵车，结果实际车速比预计的每小时慢10千米，且路上多用了5分钟．设预计车速为x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 变式4．（2025·四川·小升初模拟）市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ （2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 变式5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）一列火车匀速行驶，经过一条长700米的隧道，从车头进入隧道到完全驶出隧道共用时30秒．在隧道顶部有一盏灯，火车头到达这盏灯的位置到火车尾离开这盏灯的位置用时10秒，则火车行驶的速度是 米/秒． 变式6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用，若水流速度为，船在静水中的速度为．已知甲、丙两地间的距离为，求甲、乙两地间的距离．（提示：分丙地在甲、乙两地之间和不在甲、乙两地之间两种情况求解） 题型4、工程问题 【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1．（2025·北京·小升初模拟）北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 例2．（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 例3．（2024·四川成都·小升初真题）一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元。实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，由另一个队继续到工程完成。结算时，共支出甲、乙两队工程费用86.5万元。那么甲、乙两队合作了( )天。 例4．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 例5．（2024·四川绵阳·小升初真题）一项工程甲乙两队合做10天完成。乙丙两队合做8天完成。现在甲乙丙三队合做1天后，余下的工程乙还要16.5天完成，乙单独做这项工程要几天完成？ 变式1．（2025·江西·小升初模拟）甲、乙两个工程队合作挖一条长420米的隧道，甲、乙两队同时从隧道两端向中间挖。乙工程队的速度是甲工程队的1.5倍，7天后这个隧道全部挖完。甲、乙两个工程队分别每天挖多少米？（用方程解答） 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）某工程要求按期完成，甲队单独完成需天，乙队单独完成需天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为天，则方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2024·四川绵阳·小升初真题）A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 变式4．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水． (1)若同时开放甲、乙两个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管（保持甲管始终进水），则注满水池甲管总共开放了几小时？ 变式5．（2024·四川绵阳·小升初真题）一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有( )人。（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 题型5、年龄问题 【解题技巧】“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1．（2024·山东青岛·小升初真题）爸爸比小磊大28岁，爸爸今年的年龄是小磊的3倍。小磊今年几岁？ 例2．（2024·河北·小升初模拟）祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 例3．（2024·陕西·小升初模拟）小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 例4．（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 例5．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 变式1．（2025·全国·小升初模拟）爸爸比小丽大36岁，今年爸爸的年龄正好是小丽的4倍。今年爸爸和小丽各多少岁？（列方程解决问题） 变式2．（2024·陕西西安·小升初模拟）马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 变式3．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）姐姐7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，当姐姐 岁时，正好是妹妹年龄的3倍． 变式4．（2024·全国·小升初模拟）学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。”老师的年龄是 岁。 题型6、数字与日历问题 【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1．（2024·全国·小升初模拟）一个两位数，十位数字比个位数字少2，如果把这两个数字对调位置，所得的新的两位数与原数的和是154，求原数是多少？ 例2．（2024·全国·小升初模拟）有一个三位数，如果把数字4写在它的前面可得到一个四位数，写在后面也能得到一个四位数，已知这两个四位数的差是2889，求原来的三位数是多少？ 例3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）把这个数填入的正方形方格中，不管是把横着的个数相加，还是把竖着的个数相加，或者把斜着的个数相加，个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中的值为（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·湖北随州·期末）小元同学在年月的日历上圈出了三个数，b，c，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级下·山西临汾·期中）如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)若“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 变式1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且个位上的数字和十位上的数字之和是这个两位数的，则这个两位数是 ． 变式2．（2024·全国·小升初模拟）有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位，其余数字顺序不变，所得新六位数是原数的4倍，原六位数是多少？ 变式3．（2025·陕西榆林·二模）幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是 ． 变式4．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55、不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．35 B．60 C．88 D．105 变式5．（2025·湖南张家界·一模）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 题型7、牛吃草问题 【解题技巧】解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1．（2024·全国·小升初模拟）一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 例2．（2024·全国·小升初模拟）物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，如果当时开设两个收银台，付款开始几小时就没有顾客排队了？ 例3．（2024·全国·竞赛）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完（    ）。 A．10小时 B．9小时 C．8小时 D．7小时 变式1．（2024·全国·竞赛）有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加6只，这样又吃了2天，便将草吃完，问原有的羊有几只？ 变式2．（2024·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 变式3．（2024六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 题型8、销售问题 【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1．（2024六年级·全国·竞赛）一件产品，每件成本价为400元，售价510元，预计明年若售价降低，销售量将提高，要使利润不变，成本应降低( )元。 例2．（2024六年级·全国·竞赛）某百货商店销售一批服装，商店按的利润定价。当卖出这批服装的多30件时不仅收回了全部成本，还获得预计利润的一半。这批服装一共有多少件？ 例3．（2024六年级·全国·竞赛）甲、乙两种商品成本共2200元。甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价，后来在顾客的要求下，两种商品按定价打9折，结果仍获利122元。问：甲、乙两种商品成本各多少元？ 例4．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 例5．（2024·河南周口·小升初真题）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 变式1．（2024六年级·全国·竞赛）某种电器上半月按定价1000元的价格出售，共销售50台，下半月降价，这样销售量增加了，所获利润比上半月多500元，这种电器每台的成本是( )。 变式2．（2024六年级·全国·竞赛）一种商品，甲店的进货价比乙店便宜。甲店按的利润销售，乙店按的利润销售，甲店的定价比乙店便宜1.05元。甲店的售价是多少元？ 变式3．（2024六年级·全国·竞赛）某商场在一促销期间，将一件商品降价出售，如果减去定价的出售，那么盈利215元；如果减去定价的出售，那么亏损125元，此商品的购入价是多少元？ 变式4．（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 变式5．（23-24六年级下·河南郑州·期末）甲、乙两个超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市 乙超市 全场商品一律优惠15%。 购物不超过200元，不优惠； 购物超过200元而不超过500元，一律九折； 购物超过500元，其中的500元优惠10%，超过的部分打七五折。 已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实际付款相同？ （2）李叔叔在乙超市购物实际付款480元。试问李叔叔的选择划算吗？试着说明你的理由。 题型9、分段计价问题 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 例2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 例3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 变式1．（2024·全国·小升初模拟）某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购物不超过200元，不予折扣； ②一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。 王叔叔第一次购物付了482元，第二次购物付了170元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省多少钱？ 变式2．（24-25六年级下·山东东营·期中）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影，到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案 一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是 原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人）， 优惠方案一所需费用 元；优惠方案二所需费用 元；他选择优惠方案 （填“一”或“二”）划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付费用相等，求成人、学生各多少人？ 变式3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2017年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表．若2017年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过150千瓦时 a 超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 超过300千瓦时的部分 (1)上表中，_______，若居民乙用电200千瓦时，应交电费______元； (2)若某用户某月用电量超过300千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示应交的电费为 元 ； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电位于第二档，其当月的平均电价为元/千瓦时，该用户用电为多少千瓦时？ 1．（2025·北京·小升初模拟）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。 根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数 ②足球队人数田径队人数 ③篮球队人数田径队人数 ④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 2．（2025·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有间房，则可列出方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·一模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·小升初模拟）哥哥比弟弟大10岁，5年前哥哥的年龄是弟弟的3倍，弟弟现在的年龄是（    ） A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．5岁 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 7．（2025·上海·小升初模拟）、两地相距150千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米，若两车分别从、两地同时同向而行，出发时甲车在乙车后面，经过多长时间甲车与乙车相距10千米？ 8．（2025·陕西宝鸡·二模）小方和小胡值日并打扫教室卫生，小方单独打扫完教室卫生，需20分钟，小胡单独打扫完教室卫生，需16分钟．因小胡要先将数学作业本交到老师办公室，故先由小方单独打扫2分钟，余下的再由两人一起完成，求小胡需要花多长时间打扫完教室的卫生． 9．（2024·全国·小升初模拟）在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数比原来的数大6倍，求原来的这个两位数。 10．（2024·全国·竞赛）把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好是原来四位数的35倍。原来的四位数是多少？ 11．（23-24七年级上·全国·课堂例题）甲、乙两人年龄不等，已知当甲是乙现在的年龄时，乙6岁；当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁，求今年甲的年龄． 12．（2025·山东·小升初模拟）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图，计算，首先把乘数和分别写在方格的上面和右面，然后以的每位数字分别乘以的每位数字，将结果记入对应的格子中（如的写在下面的方格里，十位写在斜线的上面，个位写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是，即．如图，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 14．（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 15．（2024六年级·全国·竞赛）用不同的布料做成的甲、乙两套西服，成本一共300元。甲西服按的利润定价，乙西服按的利润定价。为促进销售，又均按定价的出售，结果甲、乙两套西服卖出后共获得40.2元的利润。那么甲西服的成本是多少元？ 16．（2024六年级下·江苏·专题练习）父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲79岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁。 17．（2024六年级·全国·竞赛）李师傅以2元钱1个苹果的价格买进苹果若干个，以5元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以3.8元钱2个苹果的价格将剩下的苹果卖出，不过最后他不仅赚了21元钱，还剩下了2个苹果，那么他买了多少个苹果？ 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月份应缴纳电费元，求小刚家七月份的用电量． 1．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两班的学生于上午8：00出发，到距学校27千米的一个动物园参观。现有一辆汽车，每次只能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达，合理安排步行和乘车。若步行速度为4千米/时，汽车速度为60千米/时，那么两个班最早几时几分同时到达？ 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）一个水池有甲、乙两个水管，单开甲管6小时可以将空池注满，单开乙管4小时可以将空池注满．现在水池里有的水，开放乙管2小时后，再把甲管打开，此时两管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是 ． 4．（24-25七年级下·四川内江·期中）小明、小张分别从A、B两地同时骑自行车相向而行，2小时后在途中相遇，相遇后，小明、小张骑自行车的速度都提高了，当小明到达B地后立刻以提高后的速度沿原路返回，小张到达A地后立刻以提高后的速度沿原路返回，小明、小张两人在开始出发后的又再次相遇，则A、B两地的路程是 ． 5．（2024·全国·竞赛）有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的三个连续自然数，这六个数字的和恰好等于末尾的两位数，求这个六位数。 6．（2025·浙江杭州·小升初模拟）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ （1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； （2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多。 7．（23-24七年级上·重庆·期末）利用方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 8．（2024七年级·全国·专题练习）一个水池设有注水管和排水管，单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完．现向这个空水池注水，将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时开放的时间少10分钟．两管同时开了多少时间？ 9．（2025六年级下·重庆·培优）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择。某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）。 TAXI（出租车）起步价：14元 超公里费：不足3公里按3公里计，超过3公里2.4元/公里 滴滴快车 起步价：12元 里程费：2.5元/公里 时长费：0.4元/分钟 神州专车 起步价：10元 里程费：2.8元/公里 时长费：0.5元/分钟 （1）如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们的费用分别是多少元？ （2）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （3）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车从甲地到丙地，结果到达目的地时收费相同，求甲、丙两地间的里程数。 10．（2025七年级上·重庆·专题练习）11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资＋奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 37 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$