专题12 特殊的平行四边形（9大题型65题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题12 特殊的平行四边形 题型概览 题型01 利用矩形的性质求线段长 题型02 矩形与折叠问题 题型03 矩形的判定 题型04 矩形的判定与性质综合 题型05 利用菱形的性质求解 题型06 菱形的判定 题型07 利用正方形的性质求线段长 题型08 正方形折叠问题 题型09 根据正方形的性质证明 ( 题型01 )利用矩形的性质求线段长 1．（2025·河南平顶山·一模）在矩形中，在线段上取点E，构造以为腰的等腰，连接与交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理等知识.分两种情况：①当为等腰三角形的底边时，②当为等腰三角形的底边时，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求解. 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为等腰三角形的底边时，如图1． ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当为等腰三角形的底边时，如图2．此时点在线段的垂直平分线上． 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 2．（2025·河南三门峡·一模）综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形，O是上一点，连接，存在点O，使得且，我们称四边形是“可等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是_______； 类比探究 （2）如图②，四边形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为G和H．请写出，，之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在中，，，，点B，C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），两点之间的距离为或． 【分析】（1）过点作于点，则，证明，即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到结论； （3）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图（1），过点作于点，则． 矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， 即． 故答案为： （2）． 证明：，． ， ． 四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ． （3），，， ． 由题意，得点，均不可能在边上，故分两种情况讨论． a．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（2），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则． 同理（2）可得， ，． 设，则． ， ， ， 即， 解得， ． b．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（3），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则， ， ， ，， ． 同理可证，． ， ． 连接，则． 综上，，两点之间的距离为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，读懂题意是解题的关键． 3．（2025·河南郑州·一模）如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)能，或，理由见详解 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质即可得到是等腰三角形，再证，得到，即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在上时，；第二种情况，如图所示，点在延长线时，，，即；根据勾股定理，相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，由等腰三角形的判定和性质，勾股定理得到，，由此列式可解；第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，根据等腰三角形的判定和性质得到四边形是矩形，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 4．（2025·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 故选：C． 5．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明； （2）根据等边对等角，可得，，结合即可求解； （3）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得，即，求解即可；当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， 同理，， ∴，且是四边形的对角线， ∴ 四边形是双等腰四边形； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，过点作于点，延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，，，， 设，， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图，当时，过点作于点，    由②可知，， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理设，， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质． 6．（2025·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，是线段上一动点，以为直角顶点在的右侧作等腰直角三角形（点在矩形内部，不含边界），连接，则 ，的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】如图所示，过点F作交于点G，作交于点H，证明出，得到，，然后推出，得到是等腰直角三角形，即可求出；然后得到点F在直线上运动，当时，取得最小值，然后解直角三角形求解即可． 【详解】如图所示，过点F作交于点G，作交于点H ∵在矩形中，是线段上一动点，以为直角顶点在的右侧作等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； ∴ ∴点F在直线上运动 ∴当时，取得最小值 ∴此时 ∴的最小值为． 故答案为：1，． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确做出辅助线构造全等三角形． 7．（2025·河南信阳·一模）在矩形中，，取的中点，连接，，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；①当时，由矩形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，结合勾股定理，即可求解；②当时，同理可证 ，由相似三角形的性质得，结合勾股定理，即可求解； ③由，，此种情况不存在；掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解，并能按直角顶点的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当时， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 由①得： ， ， 同理可证：， ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， ， 同理可求：， 是的中点， ， ； ③， ，此种情况不存在； 综上所述：的长为或． 8．（2025·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，P是的中点，Q为边上的动点，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，在旋转过程中，记点Q的对应点为，则线段长度的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了线段动点最值问题，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，可得，当与重合时，即与重合时，此时取得最大值，结合矩形的性质及勾股定理，即可求解；当点Q与点B重合时最小，即可求解；能找出取得最值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图， P是的中点， ， ， ， 当取得最大值时，最大， 如图， 当与重合时，即与重合时，此时取得最大值， ， 在矩形中，，， 四边形是矩形， ，， ， ； 如图， 当点Q与点B重合时最小． 当点Q与点B重合时， 的最小值为． 综上所述，的最大值为，最小值为2． 故答案为：，2． 9．（2025·河南郑州·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到∠A＝90°，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是CG的中点． ∴是的中位线． ． ∵，，，， ∴，，． 在中 ． ， 故选：A． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形成为解题的关键． 如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，其中；过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，则四边形是矩形；证明可得，；然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可得；设，则，则，然后求得m的值，进而确定点H的坐标；再运用待定系数法求得直线AH的表达式为，最后求得点E的坐标即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，    ∴是等腰直角三角形，其中 过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，即，解得：， ∴， 设，则， ∴ ∴，解得∶， ∴， 设直线的表达式为， 将代入，得，解得： ∴直线AH的表达式为， 令，则，解得：， ∴点E的坐标为． 故选C． ( 题型02 )矩形与折叠问题 11．（2025·河南驻马店·一模）如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、切线的性质等知识；熟练掌握折叠的性质，判断出当与相切时，即，两点重合时，值最大是解题的关键． 12．（2025·河南商丘·一模）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， 故答案为：；； （2）四边形是菱形．理由如下： ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）长的取值范围是． 【提示】如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， ∴长的最大值为； 如图2，当点与点重合时，的长最小， 设，则， ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解得：， ∴长的最小值为， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 13．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； (2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； (3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （3）分两种情况，利用矩形的性质和勾股定理，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即（1）中两个结论仍然成立； （3）解：如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 四边形是矩形，， ， ， ，， 根据折叠可得，， ， 四边形为矩形， ， 设，则，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ； 如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 同理可得四边形为矩形，则， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ； 综上，点的坐标为或． 14．（2025·河南周口·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形的一边．       (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：__________． (2)知识探究 小华对折叠继续探究，当点M在上时，延长交于点Q，如图2． ①若点Q恰好与点C重合时，__________． ②若，求的长． (3)拓展应用 如图3，当矩形变为正方形时，改变点P在边上的位置，若，直接写出的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）①根据折叠的性质，利用直角三角形的性质，即可求解； ②根据折叠的性质，解直角三角形，即可求解． （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，设，分别由勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ， ，， ， ； ， ， ； （2）解：①如图，由折叠可知， ， ； ②由（1）知，，则． 又， ， 又，则， ， ； （3）解：①当点Q在线段上时，连接． ， ． 设，则． 又， 在中，， 解得， ∴； 当点Q在线段上时，连接， ， ． 设，则． 又， 在中， 解得：． ， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理，解直角三角形，三角形的全等的判定与性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 15．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，B点坐标为，矩形与y轴正半轴交于点H，若沿着翻折后点D 的对应点恰好落在对角线上，则点 C 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，矩形与折叠问题，勾股定理，连接，翻折得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的值，进而得到点 C 的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，点A的坐标为，B点坐标为， ∴，，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∵点落在对角线上， ∴， ∴， 设，则， ∵点落在对角线上， ∴ 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，将该矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点F．已知，．则点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得，得出 ,再由折叠的性质可得,得出,再由等腰三角形的判定可得,再由勾股定理可得，再求解可得答案． 【详解】解：，, , 四边形是矩形， ， , 将该矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E， , , , ， ， ， 解得， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查坐标与图形变化对称、矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理及等腰三角形的判定等知识，推导出是解题的关键． 17．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，，点在边上，矩形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，矩形的性质，坐标与图形，由折叠的性质可得，，，再分当点F靠近点C时，，当点F靠近点O时，则，两种情况利用勾股定理先求出的长，进而得到的长，设出的长，进而得到的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， 由折叠的性质可得，，， 恰好是边的三等分点， ∴当点F靠近点C时，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 当点F靠近点O时，则， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或， 故答案为：或． 18．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意，由勾股定理可以得到，进而证明得的长度，即可求得点坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又 ∴ ∴即 ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 19．（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点到、的距离分别记为，，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键．根据题意分两种情况画图：①如图1，当点在矩形内，过点作交于点，交于点，②如图2，当点在矩形外，过点作交于点，交于点，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当点在矩形内， 过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ，， 由折叠可知：，， ， 设， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得； ②如图2，当点在矩形外， 过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形， ， ， ， ，， 由折叠可知：，， ， 设， 由折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得； 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 20．（2025·河南平顶山·一模）如图，矩形中，，，点，分别为，上一个动点，且，以为对称轴将矩形折叠，点，的对应点分别为，，点为上一点，且，当点与点重合时，的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 // / 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，，当点与点重合时，由折叠的性质可得，，，设，则，再由勾股定理计算即可得出的长；连接与交于点，证明，得出，，即点时矩形的对角线的中点，连接，则，连接，由轴对称可得，推出，连接，则由三角形三边关系可得的最大值为，由勾股定理可得，得出，作于点，则，证明，求出，，计算出，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 当点与点重合时，由折叠的性质可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 如图，连接与交于点， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点时矩形的对角线的中点， 连接，则， 连接，由轴对称可得， ∴， 连接，则由三角形三边关系可得的最大值为， ∵，， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：，． 21．（2025·河南周口·一模）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的三角形的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______． (2)折纸2：如图3，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在图3中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． (3)折纸3：如图4，长方形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1)是；12 (2)如图所示： (3)的长为或10 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质知，，得到，即可求解；由的面积，即可求解； （2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，即可求解； （3）求出，证明，即可求解． 【详解】（1）问题1：如图②，设点是纸片下边上的点， 纸片为矩形，则， ， 由折叠的性质知，， ， 的形状为等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：过点作于点，则， 则， 则的面积， 故答案为：； （2）解：以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点， 作图过程如下： （3）过点作于点，交于点， 由题意得：， 点恰好落在的垂直平分线上，故， 在中，， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：， 则． 当点落在矩形内部时， 同理可得，． 故答案为或10． ( 题型03 )矩形的判定 22．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、∵， ， 平行四边形为矩形，不符合题意； B、∵， 平行四边形是矩形，不符合题意； C．∵在中， ∴ ∵， ∴ 平行四边形是矩形，不符合题意； D、∵在中， ∴四边形是菱形，不能证明是矩形，符合题意． 故选：D． 23．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，． (1)在的上方求作一点D，使，且．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接．求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图及矩形的判定是解题的关键． （1）首先以点B圆心、长为半径画弧，然后作，与弧交于点D，则点D即为所求； （2）连接，可证明，得到，再证明，即可得到四边形为平行四边形，最后结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求作的点； （2）证明：连接， 由（1）知，， 又， ， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 24．（2025·河南·一模）如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点．    (1)在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； (2)若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)（答案不唯一），理由见解析； (2)见解析． 【分析】添加：(答案不唯一)，根据等腰三角形的性质可证，根据平行线的性质可证，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形； 延长到，使得，连接，，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可知四边形是菱形且为菱形的一条对角线． 【详解】（1）解：添加：答案不唯一 理由：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：如下图所示，在射线上截取， 连接、， 四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，解决本题的关键是熟练的掌握矩形和菱形的判定定理，依据判定定理添加条件． 25．（2025·河南·一模）如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． ( 题型0 4 )矩形的判定与性质综合 26．（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案． 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 27．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形． 他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，，D为上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，分别延长，相交于点G，连接．    观察发现：（1）①与的数量关系为_______________； ②四边形的形状为_______________； 深入探究：（2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明． 拓展应用：（3）如图2，若射线恰好过的中点O，且，请直接写出的长． 【答案】（1），平行四边形；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）①利用证明即可得到；②证明，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明和，根据等腰三线合一的性质即可得； （3）连接，证明四边形是矩形，得到，再推出，得到是线段的垂直平分线，则，设，再列式计算即可求解． 【详解】解：（1）①； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②四边形是平行四边形；理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；    （2）；理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）②得， ∴， 根据等腰三线合一的性质得； （3）连接，    ∵点O是的中点，四边形是平行四边形 则点O也是的中点， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 28．（2025·河南平顶山·一模）我市鲁山县文殊寺的千年银杏树已有2800年的树龄，身高的聪聪想借助测角仪等工具来测量其中一颗银杏树的高度．如图，聪聪所处位置到台阶起始处的距离为，此时测得大树仰角为，台阶高度为，大树底部到台阶上点的水平距离为，台阶与水平地面夹角为，求银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，在中，求出，可得，在中，即可求出． 【详解】解：由题意知，，，，，，． 由题意可得四边形为矩形，有． ∵，， ∴，，三点在同一条直线上． 在中，， ∵， ∴． 即， ∴． 在中，， ∵， ∴． 答：银杏树的的高度约为． 29．（2025·河南濮阳·一模）小颖在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题： 她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离（参考数据：，，，，结果需精确到）． 【答案】点到点的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先根据题意推得，结合锐角三角函数的性质求出，根据矩形的判定和性质求出，，结合锐角三角函数的性质求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ∴． 故点到点的距离约为． 30．（2025·河南三门峡·一模）为测量三门峡市宝轮寺塔的高度，一位无人机玩家利用无人机在点P处测得其顶点A的俯角，其底端点B的俯角，此时无人机到地面的垂直距离，求宝轮寺塔的高AB．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】的高约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定和性质，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义． 过点A作交于点D，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 【详解】解：如图，过点A作交于点D，如图所示： ， 根据题意得：，， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， 答：的高约为． 31．（2025·河南驻马店·一模）如图，在等腰中，顶角 (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)作于点，再作交于点．求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据作角平分线的做法作图即可． （2）过点作于点，根据含30度直角三角形的性质得出，再证明是矩形，由矩形的性质得出，由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，等量代换可得出，根据等角对等边则，等量代还即可得出． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：如图，过点作于点， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ∴，， ， 由（1）中作图可知，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了作角平分线，矩形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，等角对等边等知识，掌握作角平分线的性质是解题的关键． 32．（2025·河南焦作·一模）【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据解析过程即可求解； （2）过点作于点，作于，则四边形是矩形，根据角平分线性质得到，再证明即可； （3）过点作于点，作于，证明，则，而在中，，则． 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下： 过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 33．（2025·河南焦作·一模）如图1，郑州二七纪念塔位于郑州市中心的二七广场，是为了纪念1923年京汉铁路大罢工而建，如图2，某兴趣小组要测量二七塔的高度，在二七塔前的平地上选择一点，在处用测角仪测得二七塔顶部的仰角为，在点和二七塔之间选择一点，在处用测角仪测得仰角为，已知测角仪的高，求二七塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】二七塔的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，延长交于点．易得，．则四边形为矩形，进而得到．在中易得，再在中解直角三角形可得，再结合列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 由题意可得：，． ∴四边形为矩形， ∴． 设， 在中，， ． 在中，． ， ．解得． ． 答：二七塔的高度约为． ( 题型0 5 )利用菱形的性质求解 34．（2025·河南平顶山·一模）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图；线段垂直平分线的性质，菱形的性质．菱形的性质，结合三角形的内角和定理求出的度数，根据作图得到在的中垂线上，得到，等边对等角，得到的度数，利用角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由作图可知，， ， ． 故选：A． 35．（2025·河南洛阳·一模）图1是两个完全相同的含角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形是菱形（如图2），且长直角边时，平移距离的长是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了的平移变换，菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据菱形的性质，导角得到，然后解求出，根据平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即平移距离， 故选：D． 36．（2025·河南周口·一模）如图①，点O，A在直线上，射线与直线的夹角，四边形是菱形，点O与点B重合，线段于点O．若菱形以每秒4个单位长度的速度沿射线滑行，设菱形落在射线下方部分的面积为S（如图②）．小丽经过研究发现S与滑行时间t的函数关系的图象是由四段函数图象组成的，并正确绘制了如图③所示的图象（E，F，G为相邻两段图象的公共点），则点G的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意得，图③中点E的实际意义是此时点A运动到点O处，根据此时点E的坐标可求出菱形的边长和菱形的高，再由点G的实际含义是此时菱形的点D运动到上，此时的S等于菱形面积，求出此时点A运动的总路程，即可求出运动时间，再求出菱形的面积即可求出点G的坐标． 【详解】解：由题意得，图③中点E的实际意义是此时点A运动到点O处，此时 ， ∴， ∵射线与直线的夹角，线段（设交于H） ∴在中，， ∴； 结合图③可知，点G的实际含义是此时菱形的点D运动到上，此时的S等于菱形面积， 由菱形的性质可得， ∴在中，， ∴ ∵ ∴G点坐标为 故选：B． 37．（2025·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，点B在y轴上，点A的横坐标是，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出，菱形旋转6次回到原来位置，则菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，和第三次位置重合， 过作轴于G，证明是等边三角形，得出，求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求出的坐标，即可求解． 【详解】解∶连接交于D， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形旋转6次回到原来位置， ∵， ∴菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，和第三次位置重合， 如图， 过作轴于G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵旋转三次， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标是， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了点的坐标规律探究，菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识， 掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 38．（2025·河南濮阳·一模）如图，菱形中，是边上一点，把这个菱形放置在边长为的正方形网格中，若点、、在网格的格点上，以为圆心，长为半径画弧，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，先根据勾股定理和勾股定理的逆定理求出，，根据菱形的性质和扇形的面积公式分别求出菱形的面积与扇形的面积，根据阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵点、、在网格的格点上， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 即，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为， 扇形的面积为， 故阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，菱形的性质，扇形的面积，割补法求不规则图形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 39．（2025·河南南阳·一模）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作于点F，连接，若，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，由勾股定理可得，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 40．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 41．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 过点B作轴于点E，证得是等边三角形，得到， ，由是对角线的中点，得到，根据，得到，勾股定理求出，得到，根据旋转的规律得第秒旋转结束时，菱形旋转了，一周是，旋转了周半，此时点D到达了点B的初始位置，即可得到点D的对应点的坐标是． 【详解】解∶如图所示，过点B作轴于点E， 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ，． 是对角线的中点， ． 轴， ． 轴， ． ． ． ． 菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转， 第秒旋转结束时，菱形旋转了． ， 旋转了周半，此时点D到达了点B的初始位置． 点D的对应点的坐标是． 故选∶C． 42．（2025·河南驻马店·一模）下列关于菱形的说法正确的是（   ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，根据菱形的判定定理和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解：．菱形的对角相等，但四个角不一定相等，原说法错误，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直且平分但不一定相等，故该选项不符合题意； ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．四条边相等的四边形是菱形，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． ( 题型0 6 )菱形的判定 43．（2025·河南南阳·一模）如图，已知是矩形的对角线． (1)用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的性质、菱形的判定，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键． （1）以为圆心，以大于的一半为半径画弧，两弧相交于两个交点，过两交点作直线，即可得到的垂直平分线； （2）利用矩形的性质和菱形的判定即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，线段的垂直平分线即为所求： （2）解：四边形为菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 44．（2025·河南周口·一模）如图，四边形是平行四边形，且． (1)使用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交的延长线于点E． (2)在（1）的情形下使用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点F． (3)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)图形见解析 (2)图象见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质； （1）以为圆心，为半径画圆，交的延长线于点E，根据得到，根据平行四边形得到，则，则，即为的平分线； （2）以为圆心，为半径画圆，交的延长线于点，根据和得到四边形是平行四边形，则，即可得到； （3）根据和得到四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，为的平分线； （2）解：如图，作交的延长线于点F． （3）解：由作图可得， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 45．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，． (1)使用无刻度的直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； (2)以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②时，四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定及性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图作出高即可； （2）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出等于半径即可； ②连接，，利用等边三角形的判定方法判定出和为等边三角形，再利用等边三角形的性质和菱形的判定方法判定即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）①证明：∵为直径， ∴点是中点， ∴， 连接，如图： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点在上； ②时，四边形是菱形，理由如下： 连接，如图： 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 46．（2025·河南·一模）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 由菱形的判定：对角线垂直的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形为菱形． 选项A，B，D均不能证明四边形是菱形，故均不符合题意． 故选：C． 47．（2025·河南郑州·一模）如图，在四边形中，，，相交于点O，． (1)找出图中与相等的角，并说明理由． (2)，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质，全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形为平行四边形，从而可得结论． （2）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可． 【详解】（1）证明：．理由如下： ， ， 在与中， ， ∴ ， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2）如图，菱形即为所求． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，且经过点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 则四边形即为所求． 48．（2025·河南·一模）数学活动课上，小陈同学把两个相同的直角三角板拼成了如图1所示的图形，研究发现四边形满足，，，借助学习特殊四边形的经验，小陈同学将两组邻边分别相等，且有一组对角为的四边形叫作“完美筝形”． 【性质探究】 （1）“完美筝形”是__________图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【性质应用】 图1如图2，四边形是“完美筝形”，其中，，，将四边形先折叠成如图3所示的形状，再展开得到图4，，为折痕，，点B的对应点为，点D的对应点为，连接，相交于点O． （2）若图4中的四边形是“完美筝形”． ①判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由； ②求的度数． （3）如图5，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，点G在边上，当四边形是“完美筝形”时，直接写出线段的最大值与最小值． 【答案】（1）轴对称；（2）①四边形是菱形．理由见解析；②；（3）最大值4，最小值 【分析】（1）根据轴对称的性质可直接进行求解； （2）①由题意易得，，，然后可得四边形AECF是平行四边形，进而可得，最后问题可求证；②由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有．，，然后可知当，，此时点E与点A重合时，取得最大值，当点F与点C重合时，取得最小值，进而分类进行求解即可 【详解】解：（1）由题意得：“完美筝形”是轴对称图形； 故答案为：轴对称． （2）①四边形是菱形．理由如下： 四边形是“完美箏形”，且， ，． ．（依据：折叠的性质）， 又， ．（依据：折叠的性质） 四边形是“完美筝形”，且， ． ，． ，． 四边形AECF是平行四边形． 又，，， ． ， 四边形为菱形． ②四边形是菱形， ． 由题得． 设，则． ， ，即， 解得． ，即． （3）解：如解图1，∵四边形是矩形， ∴， 四边形是“完美筝形”，， ．，， 当，，如解图2，此时点E与点A重合时，取得最大值，由题可知四边形是正方形， ∴； 如解图3，当点F与点C重合时，取得最小值， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的判定、矩形的性质、轴对称图形的性质、菱形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的判定、矩形的性质、轴对称图形的性质、菱形的性质与判定及勾股定理是解题的关键 ( 题型0 7 )利用正方形的性质求线段长 49．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接并延长交的延长线于点，已知，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，设，由正方形的性质得，，则，证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 故答案为：4． 50．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为，点在边上，其坐标为，连接AC，BD相交于点，点在上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键；连接，交于点，过点作交于点，根据正方形的性质可得，，根据三线合一可得，进而根据相似三角形的性质得出的坐标，根据中点坐标公式，求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为，点坐标为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴，即 故答案为：． 51．（2025·河南漯河·一模）如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点，点是OC的中点．已知，则DE的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正方形的性质证明，，，，再利用解直三角形求出，，然后根据点是OC的中点，求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，与相交于点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是掌握利上述性质，并能熟练运用． 52．（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ，， 是直角三角形， ， ， 解得：， 正方形的边长为， 点的坐标是， 正方形绕点顺时针旋转，每次旋转， 又， 正方形绕点顺时针旋转次回到出发点， ， 正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称， 将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标． 53．（2025·河南南阳·一模）如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为 ；② °． 【答案】 45 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． ①根据题意以及正方形的性质证明为等腰直角三角形，求出，由勾股定理即可得到答案； ②由题意证明，根据全等三角形的性质和平移的性质得到为等腰直角三角形，即可求出答案． 【详解】解：①连接，如解图所示．由平移，可知，，则四边形为平行四边形． ，． 由正方形的性质，可知，． ． 为等腰直角三角形． ． 在中，由勾股定理， 可得． ②标记角，如解图． 由，，， ， ，． 由平移，得． ． ，， ．由平移，得． ． ． 为等腰直角三角形． ． 54．（2025·河南郑州·一模）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． (1)求证：． (2)如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）． ①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围． ②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）根据正方形，等边三角形的性质证明，即可求解； （2）①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，由含30度角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，由此即可求解； ②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，则，结合二次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形 ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． （2）解：①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则， ∴，则， ∴， 同理，， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴纸盒底面边长为：； ②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y， 则， 当时，y取得最大值． 【点睛】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，二次函数求最值的计算方法，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 55．（2025·河南郑州·一模）如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，交的延长线于点G，正方形的面积是16，若，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：连接，根据正方形的性质以及已知条件可证明可得，进而得到,再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵正方形的中心O，面积是16， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即,解得：， ∴的面积为. 故答案为：1. 56．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 【答案】5或 【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆， ∴当与相切时，最大 如图1，当点P在左侧时， 根据题意得，，， ∵ 过点P作，交的延长线于点H， ∴ ∴， 又∵ ，即 ，， ∴在中，； 如图2，当点P在右侧时， 同理，可得，， ∴ ∴在中，． 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大． 57．（2025·河南洛阳·一模）已知正方形内接于半经为10且圆心角为90°的扇形（即正方形的各定点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．分两种情况：点O为正方形的顶点，点O不是正方形的顶点，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如图1所示，连接，设正方形的边长为x， 则在中，，即，解得； 如图2所示，过O作，交于点H，连接， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ，即， 解得：， ； 综上分析可知：正方形的边长是或，故C正确． 故选：C． ( 题型0 8 )正方形折叠问题 58．（2025·河南省直辖县级单位·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】 在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查正方形的性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）先利用勾股定理求得，利用锐角三角函数求得，进而可求解； （3）分当时和当时两种情况，画出对应图形，同理证明，利用正方形的性质和折叠性质、结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：由正方形得，，， 由折叠性质得， 当时，如图，过A作交于K， ∴， 同（1）证明方法可得， ∴， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 当时，如图，过A作交于K， 同理可证，则， ∴， 综上，折痕的长为或． 59．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ． 【答案】112.5 【分析】本题考查了正方形、折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据正方形、折叠的性质得到，，则，由此得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 60．（2025·河南信阳·一模）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1 的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是 ． 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H，图3中哪条线段与相等？ （在横线上写出该线段），并给出证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段的长 ． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）12或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】解：（1）由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴， 故答案为：； （2）解：线段与相等，理由如下： 证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图2所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． ( 题型0 9 )根据正方形的性质证明 61．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由见解析； （3）或 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：； 解：仍然成立， 理由如下， 由图可知，，， ， ， 由图可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ；. 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 62．（2025·河南漯河·一模）综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图，四边形中，，（或），则四边形叫做“邻等对补四边形”． (1)概念理解 在以下四种图形中：平行四边形，菱形，矩形，正方形．一定是“邻等对补四边形”的是____________．（填写序号） (2)探究发现 如图，在四边形中，，平分，求证：四边形是邻等对补四边形． (3)拓展应用 如图，在中，，，为平面内一点，满足四边形为邻等对补四边形，直线与交于点，若中有一个角为，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“邻等对补四边形”定义逐一判断即可； （）过作交延长线于点，作于点，则，证明，故有，然后根据“邻等对补四边形”定义即可求证； （）分当时和当时两种情况分即可． 【详解】（1）解：平行四边形对角相等，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”； 菱形对角相等，邻边相等，不是“邻等对补四边形”； 矩形对角相等且互补，邻边不相等，不是“邻等对补四边形”； 正方形对角相等且互补，邻边相等，一定是“邻等对补四边形”； 故选：； （2）解：如图，过作交延长线于点，作于点，则， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴四边形是邻等对补四边形； （3）解：如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 综上可知的长为或． 63．（2025·河南南阳·一模）华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）①根据题意作图即可；②过点作交 于点，交 于点，进而证明，从而求解； （3）根据题意判定，进而求解； 【详解】（1）证明：， ， 是正方形， ，， ， ， ， ； ； 故答案为： 该习题不添加辅线，只需证明，即可得到结论； （2）解：①根据题意，作图如下： ②∵四边形为正方形， ，，， 过点作交 于点，交 于点， 则四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：根据题意，过点作交 于点，交 于点，作图如下： 四边形为矩形； ， 四边形为平行四边形； ， ， ， ； ， ， ， ； 64．（2025·河南许昌·一模）课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考：题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出________________，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）2或3 【分析】（1）如图所示，取的中点，连接，则，根据正方形的性质可证，由此即可求解； （2）如图所示，在上取，连接，可证，得到，根据，点是中点，设，则，则，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，交于点，可证，得，设，则，，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，取的中点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴，则， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，在上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵交矩形的外角平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴，， ∵是角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上，如图所示， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 65．（2025·河南信阳·一模）综合与实践 【折一折】 将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）． 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）． 【答案】（1）45，；（2）不变，理由见解析；（3）或 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）先证明，可得，再分两种情况得出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质得． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． ∵， ∴点A到的距离． 故答案为：，a； （2）结论：不变，仍然等于a． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点A到的距离等于a， ∴点A到的距离等于a； （3）∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，； 当时，． 所以的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 特殊的平行四边形 题型概览 题型01 利用矩形的性质求线段长 题型02 矩形与折叠问题 题型03 矩形的判定 题型04 矩形的判定与性质综合 题型05 利用菱形的性质求解 题型06 菱形的判定 题型07 利用正方形的性质求线段长 题型08 正方形折叠问题 题型09 根据正方形的性质证明 ( 题型01 )利用矩形的性质求线段长 1．（2025·河南平顶山·一模）在矩形中，在线段上取点E，构造以为腰的等腰，连接与交于点F．若，，则的长为 ． 2．（2025·河南三门峡·一模）综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形，O是上一点，连接，存在点O，使得且，我们称四边形是“可等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是_______； 类比探究 （2）如图②，四边形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为G和H．请写出，，之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在中，，，，点B，C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 3．（2025·河南郑州·一模）如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 4．（2025·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A． B．5 C．10 D． 5．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 6．（2025·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，是线段上一动点，以为直角顶点在的右侧作等腰直角三角形（点在矩形内部，不含边界），连接，则 ，的最小值为 ． 7．（2025·河南信阳·一模）在矩形中，，取的中点，连接，，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 8．（2025·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，P是的中点，Q为边上的动点，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，在旋转过程中，记点Q的对应点为，则线段长度的最大值是 ，最小值是 ． 9．（2025·河南郑州·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 10．（2025·河南郑州·一模）如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （   ）    A． B． C． D． ( 题型02 )矩形与折叠问题 11．（2025·河南驻马店·一模）如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 12．（2025·河南商丘·一模）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 13．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． (1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； (2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； (3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 14．（2025·河南周口·一模）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形的一边．       (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：__________． (2)知识探究 小华对折叠继续探究，当点M在上时，延长交于点Q，如图2． ①若点Q恰好与点C重合时，__________． ②若，求的长． (3)拓展应用 如图3，当矩形变为正方形时，改变点P在边上的位置，若，直接写出的长． 15．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，B点坐标为，矩形与y轴正半轴交于点H，若沿着翻折后点D 的对应点恰好落在对角线上，则点 C 的坐标为 ． 16．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，将该矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点F．已知，．则点F的坐标为 ． 17．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，，点在边上，矩形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ． 18．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ． 19．（2025·河南驻马店·一模）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点到、的距离分别记为，，若，则的长为 ． 20．（2025·河南平顶山·一模）如图，矩形中，，，点，分别为，上一个动点，且，以为对称轴将矩形折叠，点，的对应点分别为，，点为上一点，且，当点与点重合时，的长为 ，的最大值为 ． 21．（2025·河南周口·一模）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的三角形的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______． (2)折纸2：如图3，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在图3中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． (3)折纸3：如图4，长方形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，求的长． ( 题型03 )矩形的判定 22．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，． (1)在的上方求作一点D，使，且．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接．求证：四边形为矩形． 24．（2025·河南·一模）如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点．    (1)在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； (2)若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 25．（2025·河南·一模）如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． ( 题型0 4 )矩形的判定与性质综合 26．（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 27．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形． 他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，，D为上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，分别延长，相交于点G，连接．    观察发现：（1）①与的数量关系为_______________； ②四边形的形状为_______________； 深入探究：（2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明． 拓展应用：（3）如图2，若射线恰好过的中点O，且，请直接写出的长． 28．（2025·河南平顶山·一模）我市鲁山县文殊寺的千年银杏树已有2800年的树龄，身高的聪聪想借助测角仪等工具来测量其中一颗银杏树的高度．如图，聪聪所处位置到台阶起始处的距离为，此时测得大树仰角为，台阶高度为，大树底部到台阶上点的水平距离为，台阶与水平地面夹角为，求银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 29．（2025·河南濮阳·一模）小颖在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题： 她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离（参考数据：，，，，结果需精确到）． 30．（2025·河南三门峡·一模）为测量三门峡市宝轮寺塔的高度，一位无人机玩家利用无人机在点P处测得其顶点A的俯角，其底端点B的俯角，此时无人机到地面的垂直距离，求宝轮寺塔的高AB．（结果精确到．参考数据：，，，） 31．（2025·河南驻马店·一模）如图，在等腰中，顶角 (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)作于点，再作交于点．求证：． 32．（2025·河南焦作·一模）【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 33．（2025·河南焦作·一模）如图1，郑州二七纪念塔位于郑州市中心的二七广场，是为了纪念1923年京汉铁路大罢工而建，如图2，某兴趣小组要测量二七塔的高度，在二七塔前的平地上选择一点，在处用测角仪测得二七塔顶部的仰角为，在点和二七塔之间选择一点，在处用测角仪测得仰角为，已知测角仪的高，求二七塔的高度．（结果精确到，参考数据：） ( 题型0 5 )利用菱形的性质求解 34．（2025·河南平顶山·一模）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（2025·河南洛阳·一模）图1是两个完全相同的含角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形是菱形（如图2），且长直角边时，平移距离的长是（    ） A． B．1 C． D． 36．（2025·河南周口·一模）如图①，点O，A在直线上，射线与直线的夹角，四边形是菱形，点O与点B重合，线段于点O．若菱形以每秒4个单位长度的速度沿射线滑行，设菱形落在射线下方部分的面积为S（如图②）．小丽经过研究发现S与滑行时间t的函数关系的图象是由四段函数图象组成的，并正确绘制了如图③所示的图象（E，F，G为相邻两段图象的公共点），则点G的坐标为（   ）． A． B． C． D． 37．（2025·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，点B在y轴上，点A的横坐标是，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是 ． 38．（2025·河南濮阳·一模）如图，菱形中，是边上一点，把这个菱形放置在边长为的正方形网格中，若点、、在网格的格点上，以为圆心，长为半径画弧，图中阴影部分的面积为 ． 39．（2025·河南南阳·一模）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点B作于点F，连接，若，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 40．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 41．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 42．（2025·河南驻马店·一模）下列关于菱形的说法正确的是（   ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 ( 题型0 6 )菱形的判定 43．（2025·河南南阳·一模）如图，已知是矩形的对角线． (1)用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 44．（2025·河南周口·一模）如图，四边形是平行四边形，且． (1)使用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交的延长线于点E． (2)在（1）的情形下使用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点F． (3)求证：四边形是菱形． 45．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，． (1)使用无刻度的直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； (2)以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 46．（2025·河南·一模）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河南郑州·一模）如图，在四边形中，，，相交于点O，． (1)找出图中与相等的角，并说明理由． (2)，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． 48．（2025·河南·一模）数学活动课上，小陈同学把两个相同的直角三角板拼成了如图1所示的图形，研究发现四边形满足，，，借助学习特殊四边形的经验，小陈同学将两组邻边分别相等，且有一组对角为的四边形叫作“完美筝形”． 【性质探究】 （1）“完美筝形”是__________图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【性质应用】 图1如图2，四边形是“完美筝形”，其中，，，将四边形先折叠成如图3所示的形状，再展开得到图4，，为折痕，，点B的对应点为，点D的对应点为，连接，相交于点O． （2）若图4中的四边形是“完美筝形”． ①判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由； ②求的度数． （3）如图5，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，点G在边上，当四边形是“完美筝形”时，直接写出线段的最大值与最小值． ( 题型0 7 )利用正方形的性质求线段长 49．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接并延长交的延长线于点，已知，，则的长为 ． 50．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为，点在边上，其坐标为，连接AC，BD相交于点，点在上，且，则点的坐标为 ． 51．（2025·河南漯河·一模）如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点，点是OC的中点．已知，则DE的长度为（   ） A． B． C． D． 52．（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 53．（2025·河南南阳·一模）如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为 ；② °． 54．（2025·河南郑州·一模）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． (1)求证：． (2)如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）． ①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围． ②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 55．（2025·河南郑州·一模）如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，交的延长线于点G，正方形的面积是16，若，则的面积为 ． 56．（2025·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 57．（2025·河南洛阳·一模）已知正方形内接于半经为10且圆心角为90°的扇形（即正方形的各定点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是（   ） A． B． C．或 D．或 ( 题型0 8 )正方形折叠问题 58．（2025·河南省直辖县级单位·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】 在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 59．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ． 60．（2025·河南信阳·一模）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1 的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是 ． 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H，图3中哪条线段与相等？ （在横线上写出该线段），并给出证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段的长 ． ( 题型0 9 )根据正方形的性质证明 61．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 62．（2025·河南漯河·一模）综合与实践 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 如图，四边形中，，（或），则四边形叫做“邻等对补四边形”． (1)概念理解 在以下四种图形中：平行四边形，菱形，矩形，正方形．一定是“邻等对补四边形”的是____________．（填写序号） (2)探究发现 如图，在四边形中，，平分，求证：四边形是邻等对补四边形． (3)拓展应用 如图，在中，，，为平面内一点，满足四边形为邻等对补四边形，直线与交于点，若中有一个角为，请直接写出的长． 63．（2025·河南南阳·一模）华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 64．（2025·河南许昌·一模）课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考：题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出________________，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 65．（2025·河南信阳·一模）综合与实践 【折一折】 将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）． 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$