专题21 与圆有关的压轴题（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题21 与圆有关的压轴题 1．（2025·河南洛阳·一模）《义务教育数学课程标准（2022年版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外的一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 王丽所在数学小组经过思考与探索，想出了两种作法，具体如表： 作法一 作法二 ①连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径作弧，以点P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． ①连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径作弧，交直线于点B；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． 做法一 做法二 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∴直线是的切线．（依据：________） 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． (1)“作法一”中的“依据”是指_________________________________． (2)请根据作法二的作图步骤，给出证明过程； (3)在作法二给出的图形中，记交于点E．若的半径为3，，则的长为______________． 【答案】(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据尺规作图可证，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知：“作法一”中的“依据”是指经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2）证明：在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线． （3）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 2．（2025·河南焦作·一模）顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图是的直径，为的切线，在上取一点，连接．   ，． 是的直径，． 为的切线，． ．， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定．连接并延长，交于点，连接．求得，推出，据此即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接并延长，交于点，连接．   为的直径． ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． 3．（2025·河南郑州·一模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点D，点O为所在圆的圆心． 小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为． 小华同学记录量筒上点A处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案； （2）设，根据，得出，从而证明，得出，即，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（2025·河南·一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1)见解析； (2)这个圆形截面的半径 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，垂径定理的应用和勾股定理． （1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可； （2）连接，交于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 5．（2025·河南·一模）图1是1981年在洛阳龙门出土的第一枚东罗马金币的图片，小明为找这个圆形金币的圆心，在其边缘标注了三个点A，B，C． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图3，小明正确地画出了圆心O，并连接了，，，，，与相交于点D，，过点C作的切线，交的延长线于点P，测得． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，圆的切线的性质定理． （1）利用弦的垂直平分线经过圆心的性质，分别作出线段，的垂直平分线，它们的交点即为圆心； （2）①利用垂径定理的推论得到，，，利用圆周角定理，线段的垂直平分线的判定与性质得到为等边三角形，则得到∠，再利用内错角相等，两直线平行的性质解答即可； ②利用①的结论，得到为等边三角形，求出，在中，，利用勾股定理计算，解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点O为所求作的圆心． （2）①证明：， ，， 为的中点， 是的半径， ， 又∵， 垂直平分线段， ， 又，即， 平分， ， ， ； ②解：由（1）知，， 又∵， 为等边三角形， ， 是的切线， ， ， ∴， 在中，， ， 的长为． 6．（2025·河南·一模）如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接． （1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下， ①求证：． ②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②π 【分析】（1）利用尺规作图，作出∠COD的角平分线，交CA于点E； （2）①证明△OCE≌△ODE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODE=∠OCE=90°，得出∠CAD=∠ADE，则可得出结论； ②由弧长公式可求出∠BOD=90°，由正方形的判定定理可得出结论． 【详解】解：（1）如图， （2）①证明：连接DE， 由（1）可知∠COE=∠DOE， ∵OC=OD，OE=OE， ∴△OCE≌△ODE（SAS）， ∴∠ODE=∠OCE=90°， ∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO， ∴∠CAD=∠ADE， ∴DE=AE； ②解：当的长为π时，四边形OCED是正方形． ∵的长为π， ∴＝π， ∴∠BOD=90°， ∵∠OCE=90°， ∴OD∥CE， ∵OE平分∠DOC， ∴∠DOE=∠COE=45°， ∴OC=CE， 又∵OD=OC， ∴OD=CE， ∴四边形OCED是正方形． 故答案为π． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，弧长公式，解决本题的关键是掌握切线的性质． 7．（2025·河南·一模）古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今． 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）．    (1)求证：． (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)证明见解析 (2)该纺车纺线时不舒适．理由见解析 【分析】（1）由和为的切线，得到，在四边形中得到，再由，即可得到； （2）过点分别作于点，于点，则四边形是矩形，在中和在中，由三角函数求出的长，最后由即可得到答案． 【详解】（1）证明：和为的切线， ， ， 在四边形中， ， ， 又， ； （2）解：该纺车纺线时不舒适，理由如下： 过点分别作于点，于点，如解图所示，则四边形是矩形，   ，， 由题意得：， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ， 该纺车纺线时不舒适． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2025·河南·一模）如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．    （1）求证:是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空： ①当的长度是________时，四边形是菱形； ②当的长度是___________时，是直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①  ②或 【分析】（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论； （2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案； ②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵在中，，， ∴， ∵是的中点，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，即， ∴是的切线. （2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；    如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM， ∵∠C=30°， ∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC， ∵∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵AB=BD， ∴四边形ABDE是菱形； ∵AD=BD=AB=CD=BC=， ∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1， ∴∠ADB=60°， ∵∠CDE=90°-∠C=60°， ∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°， ∴∠AOE=2∠ADE=120°， ∴的长度为：； 故答案为：； ②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时的长度为：=π； 若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时 的长度为：π； ∵AD不是直径，∴∠AED≠90°； 综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形． 故答案为：π或π． 【点睛】本题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 9．（2025·河南·一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”． （1）已知点A的坐标为(1，0)． ①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是　 　； ②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围； （2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】（1）①根据“直角点”的定义即可解决问题；②首先求出的中点坐标，再利用“直角点”的定义确定：点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，根据边界直线，确定的值，可得结论； （2）以为圆心，以为半径画圆求出半径是最小值，以为半径画圆求出半径是最大值，可得结论． 【详解】解：（1）①点的坐标为，若点的坐标为，点， ，，， ， 不是点、点的“直角点”； 同理得：，是点、点的“直角点”； 故答案为：，； ②，， 线段的中点，， 点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上， 当直线与相切于点，与两坐标轴相交于点、时，如图，连接，则， ，， ， ， ， 即， 同理：当直线与相切于点时， ， ， 即， 综上所述：； （2）如图， 点为点、点的“直角点”， ，且，， 以为圆心为半径作圆，连接，以为半径作圆， 过D作DG⊥EF，垂足为G， 可得：EG=1，DG=2， ∴cos∠DEF=， ， 中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查圆的综合题、圆的有关知识、一次函数的性质、“直角点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 与圆有关的压轴题 1．（2025·河南洛阳·一模）《义务教育数学课程标准（2022年版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外的一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 王丽所在数学小组经过思考与探索，想出了两种作法，具体如表： 作法一 作法二 ①连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径作弧，以点P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． ①连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径作弧，交直线于点B；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． 做法一 做法二 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∴直线是的切线．（依据：________） 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． (1)“作法一”中的“依据”是指_________________________________． (2)请根据作法二的作图步骤，给出证明过程； (3)在作法二给出的图形中，记交于点E．若的半径为3，，则的长为______________． 2．（2025·河南焦作·一模）顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图是的直径，为的切线，在上取一点，连接．   ，． 是的直径，． 为的切线，． ．， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线．    3．（2025·河南郑州·一模）阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点D，点O为所在圆的圆心． 小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为． 小华同学记录量筒上点A处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 4．（2025·河南·一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 5．（2025·河南·一模）图1是1981年在洛阳龙门出土的第一枚东罗马金币的图片，小明为找这个圆形金币的圆心，在其边缘标注了三个点A，B，C． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图3，小明正确地画出了圆心O，并连接了，，，，，与相交于点D，，过点C作的切线，交的延长线于点P，测得． ①求证：； ②求的长． 6．（2025·河南·一模）如图，是的直径，是的切线，切点为，点为直径右侧上一点，连接并延长，交直线于点，连接． （1）尺规作图：作出的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下， ①求证：． ②若半径为2，当的长为______时，四边形是正方形． 7．（2025·河南·一模）古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今． 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）．    (1)求证：． (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：） 8．（2025·河南·一模）如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．    （1）求证:是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空： ①当的长度是________时，四边形是菱形； ②当的长度是___________时，是直角三角形． 9．（2025·河南·一模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”． （1）已知点A的坐标为(1，0)． ①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是　 　； ②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围； （2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$