专题19 与四边形有关的压轴题（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题19 与四边形有关的压轴题 1．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长； (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 2．（2025·河南省直辖县级单位·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】 在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 3．（2025·河南南阳·一模）如图，已知是矩形的对角线． (1)用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 4．（2025·河南商丘·一模）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 5．（2025·河南周口·一模）如图，四边形是平行四边形，且． (1)使用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交的延长线于点E． (2)在（1）的情形下使用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点F． (3)求证：四边形是菱形． 6．（2024·河南周口·一模）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境： 在菱形中，，点为边上一点（与A、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知： （1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 ； ②线段的数量关系是 ； 猜想论证： （2）小明取，如图2，射线与射线交于点，小明在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同…… 但线段的数量关系好像不再成立······ 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小明同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究： （3）小梦测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在的直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值． 7．（2025·河南濮阳·一模）数学综合实践课上，张老师带领同学们探索了下面的问题： 如图1，在中，，，点在上，且于，于． 【问题解决】 （1）如图1，设，，，则下列成立的等式为（    ） A．        B．        C．        D． 【深入探索】 （2）如图2，在正方形中，点是线段上一点，连接，过点作交于点，连接． ①证明：； ②若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，平面直角坐标系中，点，过点作一条与夹角为的直线．请直接写出直线的解析式． 8．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 9．（2025·河南平顶山·一模）如图，在东西走向的海岸线上有相距200的、两个码头，一艘船从码头出发，向正北方向行驶300到达点，观测到小岛在船的南偏东45°方向，在码头观测到小岛在北偏西23°方向，求小岛与海岸线的距离．（结果精确到0.1，参考数据：，，）． 10．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践课上，老师带领学生利用两张完全一样的平行四边形纸片开展操作实验，他们从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．已知与中，． (1)黑洞小组将与按图1所示的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上，，交于点E，连接，，则的度数是________，的长度是________． (2)志高小组在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接． ①如图2，当线段与交于点P时，连接，求证：点P在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点D，之间的距离． 11．（2025·河南·一模）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 12．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F，  如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值． 13．（2025·河南·一模）如图，四边形中，，平分，交于．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 14．（2025·河南·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．      (1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． (2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 15．（2025·河南·一模）古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今． 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）．    (1)求证：． (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：） 16．（2025·河南·一模）矩形纸片ABCD中，AB=4． 实践思考： (1)连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若ADAB，如图①． ①BD=______，tan∠ADB=______； ②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形； ③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______； (2)若AD=（1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数； 拓展探究： (3)若ADAB，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______． 17．（2025·河南·一模）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∠B+∠C+∠ADB＝4∠BAC， (1)求∠ADC的度数； (2)如图2，若AD＝BD+CD，求证：AD平分∠BDC； (3)如图3，在（2）的条件下，E、F分别在AC、AB上，交于点P，使得∠BPC＝∠BDC，若BD=EF=7，AD＝15，求△EFP的⾯积． 18．（2025·河南·一模）如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ； （2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由； （3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 与四边形有关的压轴题 1．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长； (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)① ② (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质，根据旋转性质，证明是等边三角形，再证明，得到． （2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可． ②根据正方形的性质，得到，继而得到， 解答即可． （3）过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ②当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 过点作于点G， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，特殊角的三角函数应用，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（2025·河南省直辖县级单位·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】 在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查正方形的性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）先利用勾股定理求得，利用锐角三角函数求得，进而可求解； （3）分当时和当时两种情况，画出对应图形，同理证明，利用正方形的性质和折叠性质、结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：由正方形得，，， 由折叠性质得， 当时，如图，过A作交于K， ∴， 同（1）证明方法可得， ∴， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 当时，如图，过A作交于K， 同理可证，则， ∴， 综上，折痕的长为或． 3．（2025·河南南阳·一模）如图，已知是矩形的对角线． (1)用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的性质、菱形的判定，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键． （1）以为圆心，以大于的一半为半径画弧，两弧相交于两个交点，过两交点作直线，即可得到的垂直平分线； （2）利用矩形的性质和菱形的判定即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，线段的垂直平分线即为所求： （2）解：四边形为菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 4．（2025·河南商丘·一模）综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】． （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， 故答案为：；； （2）四边形是菱形．理由如下： ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）长的取值范围是． 【提示】如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， ∴长的最大值为； 如图2，当点与点重合时，的长最小， 设，则， ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解得：， ∴长的最小值为， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 5．（2025·河南周口·一模）如图，四边形是平行四边形，且． (1)使用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交的延长线于点E． (2)在（1）的情形下使用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点F． (3)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)图形见解析 (2)图象见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质； （1）以为圆心，为半径画圆，交的延长线于点E，根据得到，根据平行四边形得到，则，则，即为的平分线； （2）以为圆心，为半径画圆，交的延长线于点，根据和得到四边形是平行四边形，则，即可得到； （3）根据和得到四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，为的平分线； （2）解：如图，作交的延长线于点F． （3）解：由作图可得， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 6．（2024·河南周口·一模）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境： 在菱形中，，点为边上一点（与A、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知： （1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 ； ②线段的数量关系是 ； 猜想论证： （2）小明取，如图2，射线与射线交于点，小明在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同…… 但线段的数量关系好像不再成立······ 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小明同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究： （3）小梦测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在的直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值． 【答案】（1）①；② （2），证明见解析 （3）和 【分析】（1）①先证明是等边三角形，可得，再证明，然后利用全等三角形的性质求解即可；②根据，，即得； （2）连接．在上截取，连接．证明，再由全等三角形的性质可得结论； （3）点F在以点B为圆心，以为半径的圆上运动．注意到直线与间的距离为，则符合题意的点F有四处位置，如图中的点，，和．过点B作交的延长线于点H，再求解即可． 【详解】解：（1）①∵在菱形中，有，， ∴是等边三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴， ， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ； 故答案为：①；②． （2）数量关系为： 证明：如图，连接．在上截取，连接． ∵在菱形中，， ． ∴为等边三角形， ∴，， ． 又， 故． ∵，． ． ， ∵， ； （3）和 如图，点在以点为圆心，以长为半径的圆上运动． 直线与间的距离为， 则符合题意的点有四处位置，如图中的点，，，． 过点作交的延长线于点． ①其中点，落在直线上，它们到直线的距离． ②其中点落在直线上， 在中，，，， ，， ， ． 由（2）知，， 又， 故点到直线的距离． ③其中点落在直线上，设与交于点， 在等边中，，则，． 在中，， 则． 又， 点到直线的距离． 故大于的的值为和 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键． 7．（2025·河南濮阳·一模）数学综合实践课上，张老师带领同学们探索了下面的问题： 如图1，在中，，，点在上，且于，于． 【问题解决】 （1）如图1，设，，，则下列成立的等式为（    ） A．        B．        C．        D． 【深入探索】 （2）如图2，在正方形中，点是线段上一点，连接，过点作交于点，连接． ①证明：； ②若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，平面直角坐标系中，点，过点作一条与夹角为的直线．请直接写出直线的解析式． 【答案】（1）C；（2）①见解析；②的长为；（3）或 【分析】（1）根据题意，证明，得，在中由勾股定理即可求解； （2）①如图所示，过点作于点，可得，是等腰直角三角形，四边形是矩形，在证明，得到，即可求解； ②根据是等腰直角三角形，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，，由此即可求解； （3）根据题意，如图所示，过点作轴于点，则，分类讨论：过点作一条与夹角为的直线，则，可证，得，运用待定系数即可求解；如图所示，过点作一条与夹角为的直线，则，可得，运用待定系数即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， 故选：C； （2）①如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3） 如图所示，过点作轴于点，则， 在轴上取点，则， ∴， 在中，， ∴，则，， ∴， 过点作一条与夹角为的直线，则， ∴， ∴， 如图所示，在轴上取，连接，过点作于点，过点作轴于点，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，则， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点作一条与夹角为的直线，则， ∵，， ∴将绕点顺时针旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作延长线于点， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； 综上所述，过点作一条与夹角为的直线，直线的解析式为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，掌握正方形的性质，合作作出辅助线证明全等三角形，正确解出旋转后点的坐标是解题的关键． 8．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明； （2）根据等边对等角，可得，，结合即可求解； （3）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得，即，求解即可；当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， 同理，， ∴，且是四边形的对角线， ∴ 四边形是双等腰四边形； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，过点作于点，延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，，，， 设，， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图，当时，过点作于点，    由②可知，， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理设，， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质． 9．（2025·河南平顶山·一模）如图，在东西走向的海岸线上有相距200的、两个码头，一艘船从码头出发，向正北方向行驶300到达点，观测到小岛在船的南偏东45°方向，在码头观测到小岛在北偏西23°方向，求小岛与海岸线的距离．（结果精确到0.1，参考数据：，，）． 【答案】小岛与海岸线的距离约为173.5 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定， 作，作，设为，根据题意得四边形为矩形，可表示，，再根据等腰三角形的性质得，然后表示出， 最后根据得出方程，求出解即可. 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 设为km， ， 四边形为矩形， ， . 在中，，， ， 在中，，， ， 即， ， 解得. 答：小岛与海岸线的距离约为173.5． 10．（2025·河南驻马店·一模）综合与实践课上，老师带领学生利用两张完全一样的平行四边形纸片开展操作实验，他们从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．已知与中，． (1)黑洞小组将与按图1所示的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上，，交于点E，连接，，则的度数是________，的长度是________． (2)志高小组在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接． ①如图2，当线段与交于点P时，连接，求证：点P在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点D，之间的距离． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）证明四边形是菱形，结合菱形的性质可得的度数，连接，判断为等边三角形即可． （2）①连接，，，，如图，依次证明，，，利用全等三角形的性质可得结论，②画出满足条件的图形，证明是等边三角形，再利用等边三角形可求解． 【详解】（1）解：与中，，，， 四边形是菱形． 平分， ∵， ∴； ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 故答案为：，． （2）证明：①连接，，，，如图， 在与中，，，， ，，，，， ∴， ， ，， ∴， ∴， ∴， 同理：，而， ∴， ∴， ∴， 在线段的垂直平分线上． ②如图，当点恰好落在线段的延长线上时，补全图形如下： 与中，，，， ，，， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角的性质定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．作出合适的辅助线进行解题是关键． 11．（2025·河南·一模）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【分析】（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）作于点M，作于点N，记的交点为，证明即可得到结论； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于，证明，证明，如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案． 【详解】证明：（1）∵四边形正方形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； ∴； （2）解：作于点M，作于点N，记的交点为， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于， 同理可得：，四边形为矩形，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：； 综上：为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形． 12．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F，  如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值． 【答案】[操作判断] ①不变；②不变； [探索发现] ①平分线；②； [迁移探究]不变，理由见详解； [拓展应用]的值为7或8 【分析】[操作判断] ①作于，作于，设与交于点，与交于点，根据正方形的性质证明，即可得结论；②取的中点，连接，得是等边三角形，证明， ，得，，进而可得不变这一结论； [探索发现] ①由正方形、菱形的性质即可得线是的平分线；②由正方形、菱形的性质即可得； [迁移探究] 过点作，，垂足分别为，，证明，进而可证明，利用面积和差可得结论； [拓展应用]根据上面所得结论，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得，证明，  ，求得，进而可得， 分以下两种情况讨论：当点是靠近点的三等分点时，当点是靠近点的三等分点时，结合图形求解即可． 【详解】解：[操作判断] ①不变；理由如下： 作于，作于，设与交于点，与交于点， 由题意可得，正方形中，平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； ②不变； ， 又菱形中，，， 是等边三角形， ， 如图，取的中点，连接， 是的中位线， ， ， ， 则是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； [探索发现] ①四边形是正方形， 平分； 四边形是菱形， 平分； 故答案为：平分线； ②在图（1）中，， ， 在图（2）中，， ， 故答案为：； [迁移探究] 不变，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为，， 则， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ，， ， ， 为定值， 故四边形的面积不发生变化； [拓展应用] 解：的值为7或8； 平分， ， ， ， ， ，， ； ， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 可得， 同上可证明，  ， ， ， ， ， 分以下两种情况讨论： 如图，当点是靠近点的三等分点时，，，则； 当点是靠近点的三等分点时，，，则，      综上所述，的值为7或8． 【点睛】本题是三角形、四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质和判定、菱形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等，熟知相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 13．（2025·河南·一模）如图，四边形中，，平分，交于．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，在根据角平分线的性质及等腰三角形的判定即可求证结论． （2）利用等角对等边的性质可得，在利用等腰三角形的判定及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形，， 又∵平分， ， ， ， ∴四边形是菱形．    （2）直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 又三角形内角和为， ， ， 为直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和三角形的内角和，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 14．（2025·河南·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．      (1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． (2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)，． (2)①，理由见解析；② (3)或 【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离； （2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论； ②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解； （3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解． 【详解】（1）（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称， ∴与关于点中心对称， 则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ∵， ∴， ∵,关于直线对称， ∴， 即， 可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度． 故答案为：，．    （2）①，理由如下， 连接，    由对称性可得，， ∴， ②连接分别交于两点，过点作，交于点，      由对称性可知：且， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，   ∴， 在中，， ∵， ∴, ∴ （3）解：设，则， 依题意，， 当时，如图所示，过点作于点，    ∴ ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴ 在中，，则，， 在中，，   ， ∴ 由（2）②可得， ∵ ∴ ∴， 解得：； 如图所示，若，则，    ∵，则， 则， ∵，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 15．（2025·河南·一模）古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今． 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）．    (1)求证：． (2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)证明见解析 (2)该纺车纺线时不舒适．理由见解析 【分析】（1）由和为的切线，得到，在四边形中得到，再由，即可得到； （2）过点分别作于点，于点，则四边形是矩形，在中和在中，由三角函数求出的长，最后由即可得到答案． 【详解】（1）证明：和为的切线， ， ， 在四边形中， ， ， 又， ； （2）解：该纺车纺线时不舒适，理由如下： 过点分别作于点，于点，如解图所示，则四边形是矩形，   ，， 由题意得：， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ， 该纺车纺线时不舒适． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2025·河南·一模）矩形纸片ABCD中，AB=4． 实践思考： (1)连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若ADAB，如图①． ①BD=______，tan∠ADB=______； ②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形； ③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______； (2)若AD=（1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数； 拓展探究： (3)若ADAB，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______． 【答案】(1)①8，；②等腰；③ (2)∠DBM=22.5° (3)42 【分析】（1）①由矩形的性质得∠A=90°，再由勾股定理得BD=8，然后由锐角三角函数定义得即可； ②由得∠ADB=30°，再由等腰直角三角形的性质得∠AEG=45°，然后由折叠的性质得∠GEH=∠ABD=60°，求出∠DEH=∠DHE，即可得出结论； ③由矩形的性质得∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，CD=AB=4，求出∠CDF=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得，然后由三角形面积公式即可求解； （2）由等腰直角三角形的性质得∠AMB=45°，AM=AB=4，，再证BM=DM，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （3）作点N关于AB的对称点，则，由圆周角定理得点P在以BC为直径的半圆O上，连接交AB于Q，交半圆O于P，则OP=OB=，，此时PQ＋QN的值最小，再证'≌△BQO（AAS），得=QO，AQ=BQ=，然后由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∵AB=4，ADAB， ∴ADAB=4， ∴， ， 故答案为：8，； ②由①得：tan∠ADB， ∴∠ADB=30°， ∴∠ABD=90°﹣∠ADB=60°， ∵∠A=90°，△AGE为等腰三角形， ∴∠AEG=45°， 由折叠的性质得：∠GEH=∠ABD=60°， ∴∠DEH=180°﹣∠AEG﹣∠GEH=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴∠DHE=180°﹣∠DEH﹣∠ADB=180°﹣75°﹣30°=75°， ∴∠DEH=∠DHE， ∴DE=DH， ∴△DHE是等腰三角形， 故答案为：等腰； ③∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，CD=AB=4， ∴∠DCF=90°， 由②得：∠ADB=30°， ∴∠BDC=90°﹣∠ADB=60°， ∵DF⊥BD， ∴∠BDF=90°， ∴∠CDF=90°﹣∠BDC=30°， ∴CFCD， ∴S△ACFCF×AB， 故答案为：； （2）解：∵∠A=90°，AM=AB， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB=45°，AM=AB=4，BMAB=4， ∵AD=（1）AB=44， ∴DM=AD﹣AM=4， ∴BM=DM， ∴∠DBM=∠BDM∠AMB=22.5°； （3）解：∵ADAB=4，N为边AD的中点， ∴ANAD=2， 作点N关于AB的对称点N'， 则AN'=AN=2， ∵∠BPC=90°， ∴点P在以BC为直径的半圆O上，连接ON'交AB于Q，交半圆O于P， 则OP=OBBC=2，QN=QN'， 此时PQ＋QN的值最小=PQ＋QN'=PN'， ∵∠N'AQ=90°=∠OBQ，∠AQN'=∠BQO，AN'=BO=2， ∴△AQN'≌△BQO（AAS）， ∴QN'=QO，AQ=BQAB=2， ∴， ∴PQ＋QN=PN'=2QO﹣OP=42， 即PQ＋QN的最小值为42， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、轴对称的性质、圆周角定理以及最小值问题等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质． 17．（2025·河南·一模）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∠B+∠C+∠ADB＝4∠BAC， (1)求∠ADC的度数； (2)如图2，若AD＝BD+CD，求证：AD平分∠BDC； (3)如图3，在（2）的条件下，E、F分别在AC、AB上，交于点P，使得∠BPC＝∠BDC，若BD=EF=7，AD＝15，求△EFP的⾯积． 【答案】(1)∠ADC＝60° (2)见解析 (3)△EFP的⾯积为 【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；（2）根据旋转的性质得出D、C、E三点共线，进而得出△ADE是等边三角形，最后根据旋转的性质及等边三角形的性质解答即可；（3）过点B、点F分别作BG⊥CD，FH⊥AC，分别交CD的延长线于点G，连接BC，先证△AFC≌△CEB，设CE＝AF＝x，根据解直角三角形得出AF、CE、BC的长，再根据三角形的面积公式得出结论． 【详解】（1）∵∠BAC＝60°， ∴∠B+∠C+∠BDC＝360°﹣60°＝300°， ∵∠BDC＝∠ADB+∠ADC，∠B+∠C+∠ADB＝4∠BAC， ∴∠B+∠C+∠BDC-∠ADC＝4∠BAC， ∴∠ADC＝300°﹣240°＝60°； （2）把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，如图1， 根据（1）得：∠ADC=60°， 由旋转的性质得：AD＝AE，BD＝CE，∠DAE=∠ADC=60°， ∵AD＝BD+CD，DE＝DC+CE， ∴D、C、E三点共线， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADB＝∠E＝60°， ∴∠ADB＝∠ADC＝60°， ∴AD平分∠BDC； （3）过点B、点F分别作BG⊥CD，FH⊥AC，分别交CD的延长线于点G，连接BC， 由题意及（2）可得：△ABC是等边三角形，∠BDC＝120°， ∴AB＝AC＝BC，∠BDG＝60°， ∵BD＝EF＝7，AD＝15， ∴DG＝，BG＝，DC=AD-BD=8， ∴GC＝GD+DC＝， 在Rt△BGC中，BC＝=13， ∵∠BPC＝∠BDC＝120°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ECP+∠PCB＝60°， ∴∠ECP＝∠EBC， 在△AFC与△CEB中， ， ∴△AFC≌△CEB（ASA），   ∴CE＝AF， 设CE＝AF＝x， ∴AE＝13﹣x，AH＝cos60°·x=x，FH=sin60°·x=， ∴EH＝13﹣x， 在Rt△FHE中，FH2+EH2＝EF2， 即， 解得：x1＝5，x2＝8， ①当CE＝AF＝5时，则AE＝8， ∴，， ∴， 设S△BFP＝a，S△EFP＝b，S△BPC＝c，S△EPC＝d， 则有：a：c＝b：d＝FP：PC， ∵S△BFE＝S△BFP+S△FEP，S△BEC＝S△BPC+S△EPC， ∴S△BFE：S△BEC＝FP：PC， ∴， ∵， ∴； ②当CE＝AF＝8时，AE＝5， 则有：， ， ∴， 由①得：， ∵， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，考查了全等三角形、等边三角形等各个知识点，关键是灵活运用各个知识点． 18．（2025·河南·一模）如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ； （2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由； （3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值． 【答案】（1）45°；（2）图见解析，证明见解析；（3）或 【分析】（1）根据平行四边形的性质、“等腰邻相似三角形”的定义构建方程即可解决问题； （2）在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC即为所求； （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】解：（1）如图2中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45° ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AP＝PC， ∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP， ∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA， 在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°， ∴3∠PCA＝135° ∴∠PCA＝45°． 故答案为45°． （2）如图3中， 在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC， ∵∠BAC＝2∠CAD， ∴∠BAC＝∠DPC， ∵∠BCA＝∠D， ∴△CBA∽△DCP， ∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”， （3）由题意△APC是等腰直角三角形， ∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似， ∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD＝＝． 如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD＝＝． 当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的BD的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$