专题18 二次函数压轴题（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题18 二次函数压轴题 1．（2025·河南平顶山·一模）如图，夏季来临之际，水上乐园深受广大同学的欢迎，其中水滑道的坡度直接影响游玩的刺激程度和安全性，一般来说，坡度的设计需要考虑到水流的速度、游客的舒适度以及滑道的长度．数学兴趣小组的同学对部分水滑道的截面近似的看作是抛物线的一部分的某项水上项目中的数学问题进行了深入研究，在如图所示的平面直角坐标系中，游客从A点处沿滑道滑下后会经过点C至点B处腾空飞出后落入水池． (1)米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ； (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）． 2．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 3．（2025·河南洛阳·一模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． (1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． (2)设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 4．（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 5．（2025·河南周口·一模）在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据： 营养物质浓度x/（） 0 10 20 30 40 微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 18 12 (1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象． (2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求出a、b、c的值（结果保留2位小数）． (3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，） 6．（2025·河南·一模）某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置，每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出．某组进行试玩，发现弹珠从A点飞出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹珠飞出后正好从挡板1的顶部B点经过，此时装置距离水平地面的高度为，挡板1到O点的距离为，挡板1的高度为以点O为原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1．（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过） (1)求弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式． (2)将弹珠游戏装置作出调整：如图2，在距离O点处新增高度为的挡板2，挡板1与挡板2之间的区域记为I；在距离O点处新增高度为的挡板3，挡板2与挡板3之间的区域记为Ⅱ．若该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，求d的取值范围． 7．（2025·河南开封·一模）冻雨是一种极端天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．华中地区某城市在今年二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对该城市一无冰树枝置于二月份某次冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克． (1)求二次函数的解析式． (2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由． 8．（2025·河南南阳·一模）根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处90m的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为50m时，石块离地面的高度最高，最高高度为27m．已知． 【解决问题】 (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式． (2)进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． 9．（2025·河南濮阳·一模）在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． 10．（2025·河南南阳·一模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 11．（2025·河南许昌·一模）U型池是一种专为滑板运动设计的U型滑道，连续的U型池滑道挑战不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换，脱离滑道起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． (1)某次挑战时，滑手小文从滑道①转换到滑道②，测得他的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 7 竖直高度y/m 3.0 4.8 5.4 4.8 4.1 根据上述数据，直接写出小文竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则滑手成功完成转换．已知滑道②与滑道①同等高度，距离7.8m，那么在（1）的情况下，请通过计算说明小文能否转换成功？ 12．（2025·河南南阳·一模）如图，将球从点O的正上方的点A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． (1)若当小球运动的水平距离为时，小球能达到最大高度，则小球达到的最大高度为______m． (2)若小球达到的最大高度为，求此时小球运动的水平距离． (3)在（2）的条件下，在小球的正前方（）处放一个截面为长方形的球筐，其中为，为．小明说小球能落入筐中，请判断他的说法是否正确．若正确，请直接写出小球落在筐底处的点的坐标；若不正确，请说明理由．（不考虑其它因素） 13．（2025·河南·一模）爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 (1)①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由． (2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围． 14．（2025·河南南阳·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． (1)b的值为 ． (2)已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 15．（2025·河南驻马店·一模） 跳水过程中的抛物线问题 素材1 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员甲从点起跳，从起跳到入水的过程中，其竖直高度与水平距离满足二次函数． 素材2 记运动员甲起跳后达到的最高点B到水面的高度为（），从到达最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 素材3 运动员甲每次在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作． 问题解决 任务1 求的值； 任务2 请通过计算说明，运动员甲能否成功完成动作？ 任务3 运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若达到最高点后能顺利完成动作，直接写出的取值范围． 16．（2025·河南濮阳·一模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实 践 活 动 方案一： 如右图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二： 如右图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问 题 解 决 （1）在方案一中． ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值 （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接 17．（2025·河南驻马店·一模）下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点与起拱线相距米，桥的跨度为，现以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． 吃水深度：衡量船舶在水中的垂直高度，即水面与船底之间的距离． (1)求抛物线的表达式； (2)若观赏船宽为，船顶到船底的距离为，吃水深度为．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 18．（2025·河南洛阳·一模）跳蛛的腿部肌肉发达且富有弹性，这赋予了它们强大的跳跃能力，当它们发现猎物时，会以一种近乎完美的抛物线轨迹跳跃而出，生物学家通过测量分析发现跳蛛在某次捕食按蚊的跳跃过程中，其离地高度h（单位：）与向前跳跃的水平距离x（单位：）的关系可以近似的表示为（如图）． (1)在跳蛛此次跳跃过程中，当向前跳跃的水平距离x的范围是 时，它跳跃的高度逐渐上升； (2)若要捕食的蚊虫距离跳蛛所在位置的水平距离为，离地高度为，那么此次跳蛛能捕食到这只按蚊吗？ (3)若跳蛛在此次捕食过程中，当它处于距离地面高度时，刚好能捕捉到按蚊，求当跳蛛刚好捕捉到按蚊时向前跳跃的水平距离． 19．（2025·河南洛阳·一模）竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示． (1)直接写出与的关系式； (2)小球经过多长时间达到最高点，并求出此时离地面的高度； (3)求小球从第到第的运动路径长． 20．（2025·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点在点左侧．动点在抛物线上，其横坐标为． (1)求； (2)若点到轴的距离大于3，求的取值范围； (3)若抛物线位于点右侧（包含点）部分的函数值最小为，求的值． 21．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 22．（2025·河南周口·一模）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． (1)求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； (2)经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 23．（2025·河南濮阳·一模）足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式， (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 24．（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 25．（2025·河南开封·一模）窑洞是中国北部黄土高原上居民的古老居住形式．如图（1）是一窑洞的拱形窑门，其顶部形状可 视为抛物线的一部分．小明以水平地面为x 轴、拱形窑门的左边缘所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系，如图（2），经测量，拱形窑门的宽度为， 矩形门框的高度为， 且其两侧的宽度相等 （ 即）．已知拱形窑门的最高点到地面的距离为， 横梁在上方，且到的距离为，，  直线过点D． (1)求拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式； (2)求横梁的长度． 26．（2025·河南郑州·一模）小明同学练习推铅球，从推出到铅球触地过程中，铅球的竖直高度和水平距离近似满足函数关系．某次训练，铅球的水平距离和竖直高度的几组对应数据 如下： 水平距离 0 1.2 2 3 3.8 4.2 m 竖直高度 1.7 2.38 2.7 2.95 3.03 3.03 2.95 根据上述数据，回答下列问题： (1)表格中的 ． (2)求满足条件的抛物线的表达式． (3)若铅球落地后的水平距离与对应分值（分）之间满足，请计算小明这次铅球训练的成绩（结果精确到0.1分．参考数据） 27．（2025·河南郑州·一模）图（1）是一个拱形直拉桥，跨度为，将其简化为图（2）所示的图形，拱形最高点为A，李想同学通过测量得知，拱形上点到桥面的距离且．李想同学发现可以借助圆的模型或抛物线模型估算点到桥面的距离；请你任选一种模型来解决下列问题． (1)求点到桥面的距离； (2)在距离桥端的位置恰好有一根直拉钢索（直拉钢索垂直于桥面），请求出这根直拉钢索的长（结果均保留根号）． 28．（2025·河南周口·一模）如图，某农户用喷枪对斜坡上的绿地进行喷灌，经测量，喷水头距地面，斜坡可以用一次函数刻画，喷出水柱的形状是抛物线，已知喷出水柱的水平距离（单位：米）与喷出水柱的高度（单位：米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 6 … 1 4 5 4 … 下面是某数学社团同学的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象． (2)求抛物线的表达式． (3)若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 二次函数压轴题 1．（2025·河南平顶山·一模）如图，夏季来临之际，水上乐园深受广大同学的欢迎，其中水滑道的坡度直接影响游玩的刺激程度和安全性，一般来说，坡度的设计需要考虑到水流的速度、游客的舒适度以及滑道的长度．数学兴趣小组的同学对部分水滑道的截面近似的看作是抛物线的一部分的某项水上项目中的数学问题进行了深入研究，在如图所示的平面直角坐标系中，游客从A点处沿滑道滑下后会经过点C至点B处腾空飞出后落入水池． (1)米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ； (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）． 【答案】(1) (2)①米，；②在安全范围内，理由见解析 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，又，故，可得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，由抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，故抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又，，从而抛物线的顶点为，可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线为，再将代入得，计算可得抛物线的解析式； ②依据题意，由①得，可令，求出x可得的长，从而求出即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为， 又， ， ， 抛物线为； （2）解：①由题意， 抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称． 是它们的中点． 又，， 抛物线的顶点为， 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ， ； 抛物线的解析式， ②由①得， 令， 或(舍去)， 米． 又米， ， 落点D在安全范围内． 2．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电、防患未然． 【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，电动自行车约80%的火灾是在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．如图1是本校悬挂的8公斤干粉灭火器． 【模型构建】 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． 如图2，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． （1）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （2）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，按照此安装方式，当电动车停放在距离墙面（OA）水平距离为4米处时，如果充电时发生火灾，能否保证这辆电动自行车的电池内部自燃熄灭，不会复燃．请说明理由； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，创新小组想在喷淋头的同一水平线上再加装一个同样的喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖车棚内所有电动车电池，请直接写出喷淋头距离喷淋头至少有多少米． 【答案】（1） （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由见解析 （3）喷淋头距离喷淋头至少米 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出值，与比较，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃，理由如下： 把代入得：， ∵， ∴按照此安装方式，充电时如果发生火灾，能保证这辆电动自行车的电池内部自然熄灭，不会复燃； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 3．（2025·河南洛阳·一模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． (1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． (2)设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 【答案】(1) (2) 发球器出口的高度应向上调整 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）令，求出x的值，然后把代入，求出n的值，再令，得即可解答； （2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，即，把代入，解方程求出得值即可. 【详解】（1）解：令， 解得． 把代入，得， 解得． ∴． 令，得． ∴“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为； （2）解：由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为． ∴． 设调整后“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为． 把代入，得， 解得， ∴要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应向上调整． 4．（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，走右侧车道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别求出，时，对应的函数值，即可判断． 【详解】（1）解：∵O为的中点，， ∴， ∴， 设抛物线解析式为， 则， ∴， ∴； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴左侧车道不能通过， 当时，， ∴右侧车道能通过， ∴该货车应按右侧车道行驶能通过． 5．（2025·河南周口·一模）在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据： 营养物质浓度x/（） 0 10 20 30 40 微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 18 12 (1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象． (2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求出a、b、c的值（结果保留2位小数）． (3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，） 【答案】(1)见解析 (2)a、b、c的值分别为、1.50、0.00 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据表中数据，描点画出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象即查； （2）根据表中数可知，，，再将点代入解析式，即可得方程组，解方程组即可； （3），则，解方程得，再结合（1）的图象即可得出结论． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象如图所示， （2）解：根据表中数可知，，， 二次函数过点， ∴， 解得， 即a、b、c的值分别为、1.50、0.00； （3）解：由（2）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得， ∵， ∴或， 结合（1）中的图象可知，若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是． 6．（2025·河南·一模）某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置，每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出．某组进行试玩，发现弹珠从A点飞出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹珠飞出后正好从挡板1的顶部B点经过，此时装置距离水平地面的高度为，挡板1到O点的距离为，挡板1的高度为以点O为原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1．（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过） (1)求弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式． (2)将弹珠游戏装置作出调整：如图2，在距离O点处新增高度为的挡板2，挡板1与挡板2之间的区域记为I；在距离O点处新增高度为的挡板3，挡板2与挡板3之间的区域记为Ⅱ．若该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解一元二次方程，理清题中的数量关系，掌握待定系数法及二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点，可设抛物线的函数表达式为，把点代入求解，即可解题； （2）根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为，设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为，分别把点和代入，求出c的值，再根据该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为，点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式为； （2）解：根据题意得：挡板2顶端的坐标为，挡板3顶端的坐标为， 设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， 把点代入得： ，解得：， ∵该弹簧装置向上平移后，弹珠落入Ⅱ区域内， ∴． 7．（2025·河南开封·一模）冻雨是一种极端天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．华中地区某城市在今年二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对该城市一无冰树枝置于二月份某次冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克． (1)求二次函数的解析式． (2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由． 【答案】(1) (2)树枝不会折断，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出时的函数值，再求出当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时x的值进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，该含冰树枝重9.75千克； 当时，该含冰树枝增重到15.75千克， ∴， 解得：， ∴． （2）不会，理由如下： ∵， ∴当时，， ∴当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时， ， 解得：或， ∵， ∴树枝不会折断． 8．（2025·河南南阳·一模）根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处90m的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为50m时，石块离地面的高度最高，最高高度为27m．已知． 【解决问题】 (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式． (2)进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)城墙应加建1m以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出顶点坐标进行计算即可； （2）由题意知，，求出函数值进行判断解答即可． 【详解】（1）解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得，，即 解得， 抛物线的解析式； （2）解：能，理由如下： 由题意知， 令，则， 进攻方的石块能飞进防守方城墙， ， 城墙应加建1m以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙． 9．（2025·河南濮阳·一模）在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． (1)若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； (2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)①抛物线水线最大高度是米；②， (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）①根据喷出的水恰好达到岸边，由抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴是直线，再把代入，求出y值即可求解； ②根据抛物线水线最大高度达4米，则抛物线顶点的纵坐标为，把代入求得，即可求解； （2）根据，得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在直线上，得到，求得，然后根据喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，得，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ①∵喷出的水恰好达到岸边 ∴抛物线过， ∵抛物线过原点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴当时，， ∴抛物线水线最大高度是米； ②∵抛物线水线最大高度达4米， ∴抛物线顶点的纵坐标为， 当 时，， 解得：， ∴抛物线的顶点是， ∴， ∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ∴，即， 解得． 10．（2025·河南南阳·一模）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞跃防御墙，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键； （1）①由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； ②确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； （2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围； 【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且， ∴函数的最大值为10，即； ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴； ②石块能飞跃防御墙； 理由如下：由题意知，点B的坐标为； 由于防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，则； 对于，当时，， ∴石块能飞跃防御墙； （2）解：由于抛物线过原点，则， 即； ∴， 当抛物线过点时，，解得， 当抛物线过点时，，解得， ∴， 故要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），a的取值范围为． 11．（2025·河南许昌·一模）U型池是一种专为滑板运动设计的U型滑道，连续的U型池滑道挑战不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换，脱离滑道起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． (1)某次挑战时，滑手小文从滑道①转换到滑道②，测得他的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 7 竖直高度y/m 3.0 4.8 5.4 4.8 4.1 根据上述数据，直接写出小文竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则滑手成功完成转换．已知滑道②与滑道①同等高度，距离7.8m，那么在（1）的情况下，请通过计算说明小文能否转换成功？ 【答案】(1)5.4m， (2)小文能成功转换 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意直接写出小文竖直高度的最大值，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当时，，解方程比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：小文竖直高度的最大值为：5.4m， 由表格知抛物线的顶点坐标 则：， 又因为抛物线过点 则 解得： 所以函数关系为： （2）当时， 解得，（舍去） 因为 所以小文能成功转换． 12．（2025·河南南阳·一模）如图，将球从点O的正上方的点A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． (1)若当小球运动的水平距离为时，小球能达到最大高度，则小球达到的最大高度为______m． (2)若小球达到的最大高度为，求此时小球运动的水平距离． (3)在（2）的条件下，在小球的正前方（）处放一个截面为长方形的球筐，其中为，为．小明说小球能落入筐中，请判断他的说法是否正确．若正确，请直接写出小球落在筐底处的点的坐标；若不正确，请说明理由．（不考虑其它因素） 【答案】(1) (2)小球达到的最大高度为时，小球运动的水平距离为 (3)小明的说法正确，坐标为 【分析】本题考查二次函数最值，待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量值． （1）根据题意求出，再将代入中求出，再利用最值公式即可求出； （2）根据题意求出，继而得到本题答案； （3）先将代入中得：，再将代入中得：，即可得到小球能落入筐中，并令即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵当小球运动的水平距离为时，小球能达到最大高度， ∴，解得：， ∵将球从点O的正上方的点A处发出， ∴将代入中得：， ∴， ∴小球达到的最大高度为：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵小球达到的最大高度为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 答：小球达到的最大高度为时，小球运动的水平距离为； （3）解：判断：小明说法正确，理由如下： 由（2）得：， ∵， ∴将代入中得：， ∵为， ∴， ∴将代入中得：， ∵， ∴小球能落入筐中， ∴小明说法正确， 令，即：，解得：， ∴坐标为． 13．（2025·河南·一模）爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 (1)①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由． (2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题考查抛物线解实际应用题，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的图象与性质、抛物线的平移等知识是解题的关键． （1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案；③将代入抛物线解析式，求得值与比较即可得到答案； （2）设击球高度，则平移距离为，可得平移后的抛物线的解析式为，再根据，则，，当时解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示： ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； ③能， 理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 这次发球能过网； （2）解：由（1）②可知，当时，抛物线的解析式为， 设击球高度，则平移距离为， 平移后的抛物线的解析式为， ，当时，， ， ， 当时，， ， ， 答：击球高度的取值范围是． 14．（2025·河南南阳·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． (1)b的值为 ． (2)已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 【答案】(1)8 (2)①或；②当时，t有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像和性质是解题的关键． （1）先求出抛物线的顶点横坐标，再根据题意求出抛物线的顶点横坐标，即可得到答案； （2）①根据题意求出，根据题意得到，即可得到答案； ②由题意得，，得到，解得，当时，t有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：的顶点横坐标为， 抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍， 抛物线的顶点横坐标为， ， ； 故答案为：． （2）解：①点在抛物线上，， ． 点在抛物线上，， ， 整理，得， 解得或． ②由题意得，． ． ． ， ． ， ，解得． 易得对称轴为直线． ，且． 当时，t有最小值，最小值为． 15．（2025·河南驻马店·一模） 跳水过程中的抛物线问题 素材1 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员甲从点起跳，从起跳到入水的过程中，其竖直高度与水平距离满足二次函数． 素材2 记运动员甲起跳后达到的最高点B到水面的高度为（），从到达最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 素材3 运动员甲每次在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作． 问题解决 任务1 求的值； 任务2 请通过计算说明，运动员甲能否成功完成动作？ 任务3 运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若达到最高点后能顺利完成动作，直接写出的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：运动员甲不能成功完成270C动作，理由见解析；任务3： 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． 任务1：先利用待定系数法得出，然后化成顶点式，即可得出k的值． 任务2：把代入，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； 任务3：求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【详解】解：任务1：把代入， 解得：， 则运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到的最高点到水面的高度为， 即； 任务2：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成动作； 任务3：由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 16．（2025·河南濮阳·一模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实 践 活 动 方案一： 如右图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二： 如右图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问 题 解 决 （1）在方案一中． ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值 （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接 【答案】（1）①；②；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了列代数式、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意用含x的式子表示长，并代入数值计算； （2）利用长方体的体积公式表示出图中纸盒的体积； （3）画出函数的图象，根据函数的图象解答即可． 【详解】解：（1）①根据题意，得． 答：边的长为. ②根据题意，得. ∵，， ∴当时，有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为. （2）根据题意，得. （3）描点、画函数图象如解图所示． 画出方案一的函数图象，如解图所示． 由图象，可知当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大． 17．（2025·河南驻马店·一模）下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点与起拱线相距米，桥的跨度为，现以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． 吃水深度：衡量船舶在水中的垂直高度，即水面与船底之间的距离． (1)求抛物线的表达式； (2)若观赏船宽为，船顶到船底的距离为，吃水深度为．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】(1)； (2)观赏船可以安全通过此桥，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质判断船是否能通过拱桥． 根据平面直角坐标系中点、、的位置分别得到点、、的坐标分别为、、，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入，求得：，从而可得抛物线的函数表达式为：； 因为观赏船在抛物线的正中间，延长交抛物线于点，根据吃水深度可知在起拱线下方处，根据观赏船宽为，，可得点的横坐标为：，把代入二次函数：的解析式中可得：，又因为船高，吃水深度为，可得观赏船在水上方的高度为，又因为，所以观赏船可以安全通过此桥． 【详解】（1）解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 拱顶点的坐标为，为抛物线的顶点， 设抛物线解析式为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：如下图所示，观赏船在抛物线的正中间，延长交抛物线于点， 根据吃水深度可知在起拱线下方处， ，， 点的横坐标为：， 当时， 可得：， 点到水面的高度为， 船顶到船底的距离为，吃水深度为， 观赏船在水上方的高度为， ， 观赏船可以安全通过此桥． 18．（2025·河南洛阳·一模）跳蛛的腿部肌肉发达且富有弹性，这赋予了它们强大的跳跃能力，当它们发现猎物时，会以一种近乎完美的抛物线轨迹跳跃而出，生物学家通过测量分析发现跳蛛在某次捕食按蚊的跳跃过程中，其离地高度h（单位：）与向前跳跃的水平距离x（单位：）的关系可以近似的表示为（如图）． (1)在跳蛛此次跳跃过程中，当向前跳跃的水平距离x的范围是 时，它跳跃的高度逐渐上升； (2)若要捕食的蚊虫距离跳蛛所在位置的水平距离为，离地高度为，那么此次跳蛛能捕食到这只按蚊吗？ (3)若跳蛛在此次捕食过程中，当它处于距离地面高度时，刚好能捕捉到按蚊，求当跳蛛刚好捕捉到按蚊时向前跳跃的水平距离． 【答案】(1) (2)此次跳蛛不能捕食到这只蚊虫 (3)当跳蛛刚好捕捉到按蚊时向前跳跃的水平距离为或． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理解二次函数的性质，并能将实际问题中的条件转化为函数中的变量进行计算． （1），二次函数图象开口向下，，在对称轴左侧函数单调递增，即当时，它跳跃的高度逐渐上升； （2）把代入得：，得到跳蛛不能捕食到这只蚊虫； （3）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：在函数中，， 则对称轴为， 因为，二次函数图象开口向下，所以在对称轴左侧函数单调递增， 即当时，它跳跃的高度逐渐上升； 故答案为：； （2）解：当时，， ∴此次跳蛛不能捕食到这只按蚊； （3）解：当时，， 解得， 答：当跳蛛刚好捕捉到按蚊时向前跳跃的水平距离为或． 19．（2025·河南洛阳·一模）竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示． (1)直接写出与的关系式； (2)小球经过多长时间达到最高点，并求出此时离地面的高度； (3)求小球从第到第的运动路径长． 【答案】(1) (2)小球经过时间达到最高点，此时离地面的高度为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）将代入解析式，即可求解; （2）化为顶点式，即可求解； （3）求得当时，，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ∴与的关系式为； （2）解： ∴当时，达到最高点，此时离地面的高度为 答：小球经过时间达到最高点，此时离地面的高度为 （3）解：当时， ∴小球从第到第的运动路径长为 20．（2025·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点在点左侧．动点在抛物线上，其横坐标为． (1)求； (2)若点到轴的距离大于3，求的取值范围； (3)若抛物线位于点右侧（包含点）部分的函数值最小为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，能熟练利用待定系数法，图象法，二次函数的性质进行求解是解题的关键． （1）将代入原抛物线解析式为： （2）直线经过，点关于的对称坐标是，根据图象，即可求解； （3）①当在直线的左侧时，②当在直线的上时，③当在直线的由侧时，利用二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：． （2）解：如图， 直线经过，抛物线解析式为， 顶点坐标为， 点关于的对称点坐标是， 由图得：平行于直线且在直线上方的直线与抛物线的交点到到轴的距离都大于3时， ∴当点到轴的距离大于3时，需要满足或． （3）解：①当在直线的左侧时， ，， ， 解得（不合题意，舍去）， ②当在直线的上时， ，， ， 解得（不合题意，舍去）， ③当在直线的由侧时， ， 当时， ， ， 解得：，（不合题意，舍去） 综上，的值为． 21．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分． 【答案】(1) (2)没有得满分，见解析 (3)当掷出点的高度至少达到时，可得满分 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． （1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得， 解得． ∴关于的函数表达式为． （2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下： 当时，即：， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分． （3）解：可设． 把，代入得，， 求出． ∴． ∴ 答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分． 22．（2025·河南周口·一模）如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． (1)求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； (2)经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 【答案】(1) (2)不需要修建 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是∶ （1）先求出点A的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点C的横坐标，即可判断． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：不需要修建， 理由如下： 把代入， 得， 解得，（舍去）， ∵， ∴不需要修建． 23．（2025·河南濮阳·一模）足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式， (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 【答案】(1) (2)球会被守门员扑到 (3)球不能射进“死角区” 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图象平移规律． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，根据，即可得出结论； （3）根据抛物线的平移规律，求得设抛物线为，再当时，，比较大小，即可得出结论. 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∵， ∴球会被守门员扑到． （3）解：∵射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴则抛物线为， 当时，， ∵， ∴球不能射进“死角区”． 24．（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． (1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． (2)已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）根据题意“定点抛物线”与轴只有一个公共点，且经过点，得出，解方程组，即可求解； （2）①将代入解析式，即可求解； ②根据题意才抛物线的对称轴为直线，进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）∵“定点抛物线”与轴只有一个公共点，且经过点，   ∴解得   ∴. （2）①证明：将代入，得，   ∴在抛物线上.   ∴该抛物线为“定点抛物线”.   ②∵， ∴抛物线的开口向下.   由①知抛物线经过点   ∴当抛物线的顶点在处时，抛物线的顶点在最低位置.   ∵点在轴上， ∴抛物线的对称轴为直线，   ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.   ∴抛物线上有两点，，且，   ∴当点在对称轴右侧时，则，   当点在对称轴左侧时， ∵，   ∴离对称轴更近， ∴ 解得：，   当点在对称轴上时，则.   综上，当时，的取值范围为． 25．（2025·河南开封·一模）窑洞是中国北部黄土高原上居民的古老居住形式．如图（1）是一窑洞的拱形窑门，其顶部形状可 视为抛物线的一部分．小明以水平地面为x 轴、拱形窑门的左边缘所在直线为y 轴，建立平面直角坐 标系，如图（2），经测量，拱形窑门的宽度为， 矩形门框的高度为， 且其两侧的宽度相等 （ 即）．已知拱形窑门的最高点到地面的距离为， 横梁在上方，且到的距离为，，  直线过点D． (1)求拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式； (2)求横梁的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， 直线过点D,且, ， 由题意知，，抛物线的最高点到轴的距离为3.5， 抛物线的顶点坐标为， 设拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， 故拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为； （2）解：横梁到的距离为， 点的纵坐标均为， 将代入， 得， 解得，， 即点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 故横梁的长度为． 26．（2025·河南郑州·一模）小明同学练习推铅球，从推出到铅球触地过程中，铅球的竖直高度和水平距离近似满足函数关系．某次训练，铅球的水平距离和竖直高度的几组对应数据 如下： 水平距离 0 1.2 2 3 3.8 4.2 m 竖直高度 1.7 2.38 2.7 2.95 3.03 3.03 2.95 根据上述数据，回答下列问题： (1)表格中的 ． (2)求满足条件的抛物线的表达式． (3)若铅球落地后的水平距离与对应分值（分）之间满足，请计算小明这次铅球训练的成绩（结果精确到0.1分．参考数据） 【答案】(1) (2) (3)小明这次铅球训练的成绩为分 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由数据中值相同，可得对应的点关于对称轴对称，即可求得对称轴，再求即可； （2）利用待定系数法即可解答； （3）求得落地的落地后的水平距离，代入函数即可解答． 【详解】（1）解：根据表格可得和时，值相同， 抛物线的对称轴为直线， ，解得， 故答案为：； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 故设， 把代入可得， 解得， 抛物线的表达式为； （3）解：当时，可得， 解得（舍去）， 把代入， 可得分， 故小明这次铅球训练的成绩为分． 27．（2025·河南郑州·一模）图（1）是一个拱形直拉桥，跨度为，将其简化为图（2）所示的图形，拱形最高点为A，李想同学通过测量得知，拱形上点到桥面的距离且．李想同学发现可以借助圆的模型或抛物线模型估算点到桥面的距离；请你任选一种模型来解决下列问题． (1)求点到桥面的距离； (2)在距离桥端的位置恰好有一根直拉钢索（直拉钢索垂直于桥面），请求出这根直拉钢索的长（结果均保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用， 建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得到，设抛物线的解析式为求得抛物线的解析式为当时，求得 得出结论； （2）把代入函数解析式得到得出结论． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为 解得 ∴抛物线的解析式为， 当时， ∴点到桥面的距离为 ． （2）解：当时， ． 答：这根直拉钢索的长为． 28．（2025·河南周口·一模）如图，某农户用喷枪对斜坡上的绿地进行喷灌，经测量，喷水头距地面，斜坡可以用一次函数刻画，喷出水柱的形状是抛物线，已知喷出水柱的水平距离（单位：米）与喷出水柱的高度（单位：米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 6 … 1 4 5 4 … 下面是某数学社团同学的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象． (2)求抛物线的表达式． (3)若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)从处喷出的水柱能越过这棵树的树顶，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）利用抛物线的对称性，求得顶点坐标为，设抛物线的表达式为，把代入求解即可； （3）当时，求得两个二次函数的纵坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示： （2）解：由表格知，抛物线经过，， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：当时， ，， ， 从处喷出的水柱能越过这棵树的树顶． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$