专题16 相似三角形、锐角三角函数（9大题型60题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题16 相似三角形、锐角三角函数 题型概览 题型01 相似三角形的判定 题型02 相似三角形的判定与性质综合 题型03 利用相似三角形的性质求解 题型04 相似三角形的实际应用 题型05 位似 题型06 特殊角的三角函数 题型07 由三角函数值求锐角 题型08 解直角三角形 题型09 解直角三角形的应用 ( 题型01 )相似三角形的判定 1．（2025·河南开封·一模）（1）计算：． （2）如图，是的边上的一点，连接，已知．求证：． 2．（2025·河南·一模）如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 4．（2025·河南平顶山·一模）如图，在矩形中，的平分线交于点P，过点D作交的延长线于点与的延长线交于点F，且． (1)如图1，当时，与的数量关系为____________. (2)如图2，连接与相交于点G，求证：． (3)如图3，当时，其他条件不变，请完成如下问题： ①的位置关系为____________； ②若，求的长． ( 题型02 )相似三角形的判定与性质综合 5．（2025·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则 时，为直角三角形． 6．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　） A．15 B．18 C．21 D．24 7．（2025·河南南阳·一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端C落在地面上时，与的另一个交点为点B，水平地面切于点D． (1)求证：． (2)若车轮的直径为1米，米，求的长． 8．（2025·河南平顶山·一模）如图1，在中，，，点为边的中点．的垂直平分线交于点，交于点，点是线段上任意一点（不与点重合），连接，．设，的周长为，图2是点运动时随变化的关系图象（点是图象的最低点），则图中的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，D为中点，E为上一个动点，连接交于F，当时， ． 10．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为 ． 11．（2025·河南周口·一模）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________； ②直线与直线之间的位置关系是________． (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 12．（2025·河南周口·一模）如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A．8 B．6 C．12 D．14 13．（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 14．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H． (1)求证：． (2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值． ( 题型03 )利用相似三角形的性质求解 15．（2025·河南开封·一模）如果两个相似三角形的对应边之比是．那么它们的面积之比是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·河南·一模）如图，已知，，，则 ． 17．（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． ( 题型0 4 )相似三角形的实际应用 18．（2025·河南南阳·一模）【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 19．（2025·河南驻马店·一模）龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．某数学小组的同学把“测量龙角塔的高”作为一项实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实践活动报告． 活动项目 测量龙角塔的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与龙角塔底B位于同一水平地面的D处立一标杆CD； ②测量B，D两点间的距离； ③在F处用测角仪测量从眼睛E看到标杆顶点C与龙角塔顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF． 测量数据 ①②；③；④． 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直． 任务一：根据活动报告，求龙角塔的高度（精确到）； 任务二：该小组要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 20．（2025·河南洛阳·一模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·河南平顶山·一模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县莲花广场西门，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔．某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点处放一平面镜，沿方向前进米到达处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再沿方向前进米将另一面平面镜放在处（即米），此时在距离平面镜米的点处恰好再次看到塔的顶部点．已知观察者眼睛到地面的距离米，点在同一条直线上，求无影塔的高度（结果精确到米）． 22．（2025·河南郑州·一模）如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则 ． 23．（2025·河南焦作·一模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长 短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何．大致意思是：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长尺，同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺（丈尺，尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（  ） A．25尺 B．35尺 C．45尺 D．55尺 24．（2025·河南安阳·一模）文峰塔（图1）位于河南省安阳市古城内西北隅，建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．文峰塔由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量文峰塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与文峰塔顶点A在同一直线上，已知米，米，目测点D到地面的距离米，到文峰塔的水平距离米，求文峰塔的高度． 25．（2025·河南安阳·一模）如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河南周口·一模）南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量南阳解放纪念碑的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与纪念碑底座点位于同一水平地面的处立一标杆； ②测量两点间的距离； ③在处从点看到标杆顶点与纪念碑顶点在同一条直线上； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求南阳解放纪念碑的高度（结果精确到）． 27．（2025·河南·一模）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    ( 题型0 5 )位似 28．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（    ） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 29．（2025·河南安阳·一模）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·河南驻马店·一模）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． ( 题型0 6 )特殊角的三角函数 31．（2025·河南洛阳·一模）计算： (1) (2) 32．（2025·河南南阳·一模）化简或计算： (1)； (2)． 33．（2025·河南·一模）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当 时，线段． 34．（2025·河南洛阳·一模）计算： (1)计算：． (2)化简： 35．（2025·河南周口·一模）（1）计算：； （2）化简：． 36．（2025·河南濮阳·一模）（1）计算： （2）化简： 37．（2025·河南周口·一模）（1）计算： （2）化简： 38．（2025·河南安阳·一模）（1）计算：； （2）已知，求的值． 39．（2025·河南郑州·一模）计算： (1)； (2)． ( 题型0 7 )由三角函数值求锐角 40．（2025·河南周口·一模）如图，在扇形中，，，点 为的中点，过点作交于点， 则阴影部分的面积为 ． 41．（2025·河南濮阳·一模）如图，在矩形中，，．将矩形绕点C旋转，得到矩形，点A的运动路径为，当点落在边上时，图中阴影部分的周长是 ． 42．（2025·河南郑州·一模）郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分． (1)求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式． (2)一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ( 题型0 8 )解直角三角形 43．（2025·河南南阳·一模）如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为 ． 44．（2025·河南信阳·一模）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点B落在边上的点G处，折痕为，若，则的长为 ． 45．（2025·河南洛阳·一模）一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为 ． 46．（2025·河南濮阳·一模）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是 47．（2025·河南驻马店·一模）【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有角的直角三角形，利用的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如．如图． 【尝试类比】的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有角的直角三角形．如图2．填空，______． 【方法探究】的值怎么求呢？如图，小明同学借助于黄金三角形（顶角是的等腰三角形）和，解决了问题．请你给出小明的解答过程． 【拓展应用】如图是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下： （1）作． （2）作直径． （3）过点作直径的垂线交于点． （4）作线段的垂直平分线交于点． （5）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （6）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （7）在上依次截取等于的弦，，，连接，就可以作出圆内接正五边形． 请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形是圆内接正五边形． 48．（2025·河南濮阳·一模）如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为 ，最小值为 ． 49．（2025·河南濮阳·一模）如图，在等腰中，，，将绕点顺时针旋转至，使得，延长交于，点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 50．（2025·河南周口·一模）在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为 ． 51．（2025·河南驻马店·一模）定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形；如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上．若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3．已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接．若的面积为，直接写出的长． ( 题型0 9 )解直角三角形的应用 52．（2025·河南南阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 53．（2025·河南商丘·一模）在无人机社团活动中，小明用无人机测量学校家属楼的高度，当无人机飞到点处时，测得家属楼顶端的俯角为，飞行到处时，测得家属楼底端的俯角为，已知无人机的飞行高度为，若点，，，在同一个平面内，求家属楼的高度（答案精确到整数．参考数据：，，）． 54．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【研究背景】济源博物馆文物丰富，藏品15000余件（套），珍贵文物3480余件（套），尤以汉代釉陶明器最具地方特色．馆藏文物种类丰富，包括铜器、陶器、瓷器、玉器、石刻、砖瓦、古生物化石、历代钱币、雕塑造像、文件宣传品、档案文书、图书古籍、碑刻等各种门类．1966年4月，济源市西官桥河边出土了商铜爵． 【数据测量】小明利用周末参观济源博物馆后，产生了浓厚的研究兴趣，在网上买了一个仿制的商铜爵（图1），经过测量，绘制了平面图．图2是其示意图．已知管状矩流，矩形是器身，，，，，，求该商铜爵流口距地面的高度（结果精确到）（参考数据：，，，） 55．（2025·河南平顶山·一模）一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，伞边离水平面的距离为，伞面直径为． (1)求抛物线的函数解析式．（无须写出自变量的取值范围） (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：．结果精确到） 56．（2025·河南洛阳·一模）在某游乐场中，矗立着一座摩天轮，如图，其座舱围绕摩天轮的轴心做圆周运动．当座舱从最低点处开始转动，转动到位置时，过作于点，此时测得，；当座舱继续转动到位置时，过作于点，此时（所有点都在同一平面内，忽略座舱大小）．求的长（结果精确到，参考数据：，，，）．     57．（2025·河南周口·一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． 58．（2025·河南·一模）某种平板支架的侧面示意图如图所示，经测量知支撑臂，支撑板，底座固定在桌面EF上，可以分别绕点A，C转动．当时，求点D到桌面的距离．（结果精确到；参考数据：） 59．（2025·河南周口·一模）松柏苍翠寄哀思，丰碑永驻颂英魂．清明节小华和家人一起到烈士陵园祭奠先烈，祭拜结束后他想利用所学知识测量纪念碑的高度．如图，他在纪念碑对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得纪念碑顶部B处的仰角为，测得纪念碑底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为12m（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． (1)求这幢建筑物与纪念碑之间的水平距离（结果保留根号）． (2)求纪念碑的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 60．（2025·河南安阳·一模）安阳天宁寺文峰塔是一座具有千年历史的古塔，也是全国重点文物保护单位．某综合实践活动小组利用卷尺和测角仪测量文峰塔的高度．如图所示，他们在地面上一条水平步道上架设测角仪，先在点A处测得文峰塔顶端E的仰角，朝文峰塔方向走到达B处，在B处测得文峰塔顶端E的仰角．若测角仪和的高度均为，求文峰塔的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 相似三角形、锐角三角函数 题型概览 题型01 相似三角形的判定 题型02 相似三角形的判定与性质综合 题型03 利用相似三角形的性质求解 题型04 相似三角形的实际应用 题型05 位似 题型06 特殊角的三角函数 题型07 由三角函数值求锐角 题型08 解直角三角形 题型09 解直角三角形的应用 ( 题型01 )相似三角形的判定 1．（2025·河南开封·一模）（1）计算：． （2）如图，是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】（1）先去括号并化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据两组对应边成比例，且夹角相等判定两个三角形相似． 【详解】解：（1） ； （2）证明：∵，， ． 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，相似三角形的判定，熟练掌握二次根式的混合运算法则和相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2025·河南·一模）如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 3．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图角平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 4．（2025·河南平顶山·一模）如图，在矩形中，的平分线交于点P，过点D作交的延长线于点与的延长线交于点F，且． (1)如图1，当时，与的数量关系为____________. (2)如图2，连接与相交于点G，求证：． (3)如图3，当时，其他条件不变，请完成如下问题： ①的位置关系为____________； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据题意和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）可得，从而可得，求解即可； （2）根据角平分线性质和矩形性质，可知，从而得知，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，从而可证，得到，根据两角分别相等的两个三角形相似即可证得结论； （3）①利用角相等的关系，证明，从而得到结论； ②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，得到，再利用线段关系，求出的长度． 【详解】（1）解：（1） 是矩形 又 ∴ ∴ ∴ （2）证明：是的平分线 在中 ∴ 在中， 即 四边形是矩形 在中 又 （3）①证明： 同（2）可得， ，即 ②解： 在中， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．解题的关键是熟知相关性质定理并灵活运用． ( 题型02 )相似三角形的判定与性质综合 5．（2025·河南周口·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接．动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是1个单位长度/秒，连接，，，以运动时间为秒，则 时，为直角三角形． 【答案】2或6 【分析】是直角三角形时，有三种情况，一是，二是，三是，然后进行分类讨论求出的值． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 当， ，， ， ， ， ， ， ； 当， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，(舍去)， 当， 由题意知：此情况不存在， 综上所述，为直角三角形时，或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，有一定的综合性． 6．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用．设，，，证明和，得到①，②，据此求解即可． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，①， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴②， 解①②得，， ∴， 故选：A． 7．（2025·河南南阳·一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端C落在地面上时，与的另一个交点为点B，水平地面切于点D． (1)求证：． (2)若车轮的直径为1米，米，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为2米 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明，求出AC的长，从而求出的长． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，即根据圆周角定理得到，即根据等腰三角形的性质得到，求得； （2）由（1）知，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：证明：如图，连接， 与相切于点D， ，，即， 为的直径， ， 即， ， ， ； （2）解：由（1）知， 又， ， 的直径，，， ， 解得：，舍去 答：的长度为2米． 8．（2025·河南平顶山·一模）如图1，在中，，，点为边的中点．的垂直平分线交于点，交于点，点是线段上任意一点（不与点重合），连接，．设，的周长为，图2是点运动时随变化的关系图象（点是图象的最低点），则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点及最小值问题，相似三角形的判定和性质．连接，，利用线段垂直平分线的性质求得，推出，则的最小值为的长，由函数图象知，的最小值为7，求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，，点为边的中点， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的最小值为的长，如图， 由函数图象知，的最小值为7， 即，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴即， 故选：A． 9．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，D为中点，E为上一个动点，连接交于F，当时， ． 【答案】/ 【分析】将补成矩形，延长交于点，可得，求出，，再由即可求出． 【详解】解：如图，分别过点A，B作的垂线，相较于点H，则四边形是矩形，延长交于点， ∵， D为中点， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴设，则， 又∵在矩形中，， ∴， ∴，即， 解得． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． 10．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求最值问题，圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，    ∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴最小值为的长度， ∴的最小值等于的长度， 在中，， ∴的最小值． 故答案为：． 11．（2025·河南周口·一模）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________； ②直线与直线之间的位置关系是________． (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】(1)①；② (2)成立，证明见解析 (3)，或 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出两个相似三角形是解题关键． （1）①先根据矩形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得； ②根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）参照（1）的方法，先证出，再根据相似三角形的性质可得，，由此即可得； （3）分两种情况：①当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，②当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，先利用勾股定理求出的长，再求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ②如图，延长，交于点， ∵， ∴， 由（1）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：（1）中结论还成立，证明如下： 四边形与四边形都为矩形， ， ∴，即， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 如图，延长，交于点，交于点， ， ∴ ， ∴． （3）解：①如图，当点，，在同一条直线上，且点在线段上时， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）已证：， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②如图，当点，，在同一条直线上，且点在线段上时， 同理可得：，， ∴，， 综上，，或． 12．（2025·河南周口·一模）如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A．8 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了动点的函数图象性质的应用，结合图象分析题意是解题关键． 设，证明，列出关系式，结合图象求出值，进而求出矩形面积． 【详解】解：根据图2得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， 当时，有最大值， ， ∴矩形的面积为 12 ， 故选：C． 13．（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在；或 【分析】（1）根据“类直角三角形”的定义和三角形内角和定理，列出方程组，解方程组即可； （2）过点A作于点D，根据三角形面积求出，再根据勾股定理求出，证明，得出，求出，即可证明结论； （3）分两种情况：当时，当时，根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ， ∴， 解得：， ∴它的两个锐角的度数为，． （2）证明：过点A作于点D，如图所示： ∵的面积为15， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得： ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“类直角三角形”； （3）解：当时， ∵， ∴， 过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 14．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H． (1)求证：． (2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，有最大值，最大值为30 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． （1）根据矩形的性质易证，由三角形相似的性质及证明； （2）由（1）得，求出，，根据，利用而阐述的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 又， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ． ， 当时，有最大值，最大值为30． ( 题型03 )利用相似三角形的性质求解 15．（2025·河南开封·一模）如果两个相似三角形的对应边之比是．那么它们的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方， ∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积的比是， 故选：D． 16．（2025·河南·一模）如图，已知，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 ( 题型0 4 )相似三角形的实际应用 18．（2025·河南南阳·一模）【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ． ． ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 19．（2025·河南驻马店·一模）龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．某数学小组的同学把“测量龙角塔的高”作为一项实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实践活动报告． 活动项目 测量龙角塔的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与龙角塔底B位于同一水平地面的D处立一标杆CD； ②测量B，D两点间的距离； ③在F处用测角仪测量从眼睛E看到标杆顶点C与龙角塔顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF． 测量数据 ①②；③；④． 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直． 任务一：根据活动报告，求龙角塔的高度（精确到）； 任务二：该小组要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 【答案】任务一：龙角塔高度约为；任务二：人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 任务一：过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，得，，，，由，得，进而可得，代入计算即可求解． 任务二：根据实践活动报告的完整性要求，思考需要补充的项目． 【详解】解：任务一：如图，过点作于点，交于点， 四边形和四边形均为矩形， 由题意得， ，， ，， ， ， ， ， ， 答：龙角塔的高度约为． 任务二：要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，还需要补充：人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一）． 20．（2025·河南洛阳·一模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 21．（2025·河南平顶山·一模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县莲花广场西门，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔．某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点处放一平面镜，沿方向前进米到达处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再沿方向前进米将另一面平面镜放在处（即米），此时在距离平面镜米的点处恰好再次看到塔的顶部点．已知观察者眼睛到地面的距离米，点在同一条直线上，求无影塔的高度（结果精确到米）． 【答案】无影塔的高度约为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 证明得到，，代入数据即可解答． 【详解】解：由题意，知， ， ， ，即， 解得， ， 则， 解得（米）， 答：无影塔的高度约为米． 22．（2025·河南郑州·一模）如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，利用相似建立等式求解． 【详解】如解图，过点C作于点F， ， ， ， 则， 即． ． 故答案为：． 23．（2025·河南焦作·一模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长 短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何．大致意思是：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长尺，同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺（丈尺，尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（  ） A．25尺 B．35尺 C．45尺 D．55尺 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意， ， 解得（尺）， 故选：C． 24．（2025·河南安阳·一模）文峰塔（图1）位于河南省安阳市古城内西北隅，建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．文峰塔由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量文峰塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与文峰塔顶点A在同一直线上，已知米，米，目测点D到地面的距离米，到文峰塔的水平距离米，求文峰塔的高度． 【答案】文峰塔的高度为38.65米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质应用，求出，再根据相似三角形对应边比例列式即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴，解得：， 故（米）， 答：文峰塔的高度为38.65米． 25．（2025·河南安阳·一模）如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， 解得米． ∴捣头点E离地面的高度0.8米． 故选：B． 26．（2025·河南周口·一模）南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量南阳解放纪念碑的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与纪念碑底座点位于同一水平地面的处立一标杆； ②测量两点间的距离； ③在处从点看到标杆顶点与纪念碑顶点在同一条直线上； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求南阳解放纪念碑的高度（结果精确到）． 【答案】约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，得，，，即得，进而由得，代入计算求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形， ，，， ∴， ， ， ， ， ． ， 答：南阳解放纪念碑的高度约为． 27．（2025·河南·一模）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ( 题型0 5 )位似 28．（2025·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是（    ） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 【答案】D 【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3； △OAB 与△OCD的相似比等于； 故选D． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力． 29．（2025·河南安阳·一模）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平面内的位似变换，掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律是解题的关键． 根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以原点为位似中心，线段在第一象限内的位似图形为线段， ∴线段和线段的位似比为， ∴点坐标为，即， 故选：． 30．（2025·河南驻马店·一模）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以点O为位似中心，在第三象限内与的位似比为的位似图形， 点A的坐标为， ，即 故答案为：． ( 题型0 6 )特殊角的三角函数 31．（2025·河南洛阳·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算及分式的混合运算，正确掌握各运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简的余弦，绝对值，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先括号内通分计算分式的加法，再括号外把除法变成乘法，交换除式的分子分母并分解因式，最后算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 32．（2025·河南南阳·一模）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 33．（2025·河南·一模）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．在此运动过程中，当 时，线段． 【答案】或 【分析】根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动，此时得到，点Q从点C出发，以的速度沿运动，此时得到，当时，得到四边形时平行四边形，此时；当不平行时，四边形是等腰梯形，也符合题意，解答即可． 【详解】解：∵在中，，，． ∴，，，； 根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动， ∴， 点Q从点C出发，以的速度沿运动， ∴， 当时，得到四边形时平行四边形，此时， ∴， 解得； 当不平行时，四边形是等腰梯形，也符合题意， 过点Q，C分别作，垂足分别为H，G， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当t为或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的全等判定和性质，特殊角三角函数的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 34．（2025·河南洛阳·一模）计算： (1)计算：． (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了负整数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的化简，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，代入特殊角锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先计算括号内的，然后计算除法，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 35．（2025·河南周口·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）分别计算立方根，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行加减计算； （2）先化简括号内，再将除法化为乘法计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 36．（2025·河南濮阳·一模）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算及分式的运算，解决本题的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式运算、三角函数、绝对值、负指数幂以及分式的化简． （1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）将除法转化为乘法，分解因式后约分． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 37．（2025·河南周口·一模）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）7（2） 【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、分式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数，再进行实数混合运算即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 38．（2025·河南安阳·一模）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先计算零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）设，则，，，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）解：设，则，，， ∴． 39．（2025·河南郑州·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，其中涉及零指数幂的运算、实数的绝对值计算及特殊角的余弦值，分式的除法运算，正确运算是解题的关键； （1）分别计算绝对值、特殊角的三角函数及零指数幂，最后相加减即可； （2）按照分式除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ( 题型0 7 )由三角函数值求锐角 40．（2025·河南周口·一模）如图，在扇形中，，，点 为的中点，过点作交于点， 则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，由平行线等分线段定理得，即得是的中位线，，得到，又根据三角函数可得，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ∵点为的中点，，， ∴， ∴ ， ∴是的中位线，， ∴， 在 中，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，勾股定理，三角形中位线的性质，三角函数，不规则图形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 41．（2025·河南濮阳·一模）如图，在矩形中，，．将矩形绕点C旋转，得到矩形，点A的运动路径为，当点落在边上时，图中阴影部分的周长是 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于E，如图所示：则四边形为矩形，再求解，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：连接，，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， 过点作于E，则四边形为矩形， ∴，， 由旋转性质，得：，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长为, ∴图中阴影部分的周长是； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，弧长的计算，三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 42．（2025·河南郑州·一模）郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分． (1)求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式． (2)一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数表达式为，把点代入求出，即可求解； （2）无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点，由题意可得，证明四边形为矩形，得到，由，推出，得到，设点的坐标为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 彩虹桥中间拱形的二次函数表达式为； （2）存在．              如图，无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点， 无人机水平方向的速度为，遥控车的速度为， ， 又， 四边形为矩形． ， 由题意得：， ， ， ， 设点的坐标为． ， 解得：（舍去），， 当时，无人机到点的距离是遥控车到点距离的倍． ( 题型0 8 )解直角三角形 43．（2025·河南南阳·一模）如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积，熟练掌握矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及割补法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形，， ∴， ∵过点B作的切线交于点G，切点为点F， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 44．（2025·河南信阳·一模）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点B落在边上的点G处，折痕为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质，根据已知角度和折叠的性质得出是解题的关键．由折叠的性质知，，再由∠BFE＝45°得到，过点A作于点H，在中求出的长度，再证明四边形是矩形，从而得出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点H， 由折叠的性质知，， ， ， 在中，， ∵， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：． 45．（2025·河南洛阳·一模）一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键． 分点E在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】①当点E在上方时， 如图2，过点D作，垂足为H， 在中，，，， ， ， 在中，，，，， ， 点在同一条直线上，且， ， 在中，，，， ， ， 在中，， ； ②当点E在下方时， 如图3， 在中，，，， ， ， 过点作，垂足为， 在中，， ； 综上所述，点到直线的距离为或， 故答案为：或． 46．（2025·河南濮阳·一模）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠的性质得到，可判断结论①正确；连接，得到，由可判断③；当达到最小值时，点在线段上，证明，得到，求出，可判断④；在中， 随着的增大而增大，当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合，作于点，于点，得到，当取得最大值时，有最小值，可判断②． 【详解】解：正方形纸片的边长为，， ， 根据折叠的性质可知， 当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动， 故结论①正确； 如图，连接， ， ， ， ， 的最小值为， 故结论③正确； 当达到最小值时，点在线段上， 由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④错误； 在中，， 随着的增大而增大， ， 当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合， 如图，作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， 当取得最大值时，也是最大值， ， 有最小值， 在中，有最大值， 即有最大值， 此时点到的距离最大， 故结论②正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选∶C． 47．（2025·河南驻马店·一模）【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有角的直角三角形，利用的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如．如图． 【尝试类比】的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有角的直角三角形．如图2．填空，______． 【方法探究】的值怎么求呢？如图，小明同学借助于黄金三角形（顶角是的等腰三角形）和，解决了问题．请你给出小明的解答过程． 【拓展应用】如图是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下： （1）作． （2）作直径． （3）过点作直径的垂线交于点． （4）作线段的垂直平分线交于点． （5）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （6）以点为圆心，以长为半径作弧交于点． （7）在上依次截取等于的弦，，，连接，就可以作出圆内接正五边形． 请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形是圆内接正五边形． 【答案】尝试类比：；方法探究：；拓展应用：见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解直角三角形，相似三角形的判定及性质， 尝试类比：根据题目给的图形标上字母，得到，推出，，再由得到，最后根据求解即可； 方法探究：过点作于，设，，则，，，再证明， 得到，解方程即可得到，最后根据求解即可 拓展应用：根据题目作图步骤画图，再连接，过点作于点，由得到，，设的半径为2，由作法知， ，，，，连，则，则，在中，由上一问，，，由作法，，，推出，最后证明，得到五边形是正五边形． 【详解】解：尝试类比： 如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 方法探究： 过点作于，设，，则 ∵在和中，，，， ∴，， ∴，，， ∴， 解得， 经检验，均为原方程的根， 但， ∴， ∴舍去，即， ∴； 拓展应用： 如图， 证明：连接，过点作于点， ∵， ∴，， 设的半径为2， 由作法知， ，， ∴， ∴， 连，则， ∴， 在中，， ∴， 由上一问，， ∴， 由作法，， ∴， 连接，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 易证， ∴五边形是正五边形． 48．（2025·河南濮阳·一模）如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 12 6 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、圆内接四边形，过点作于点，如图1所示．根据锐角三角函数求出，最后求出，再根据运动情况及圆的性质，判断求出最大和最小值，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ，， ，． 在中，， ， ， ，， ， 点，，，四点共圆， 是此圆的直径时，最大， ， 时，最大， 当，有最大值， 当时，设与交于点， ， ， ， ， ，四边形为菱形， ， ， ，则， 的最大值为12， 如图，当点与点重合时，有最小值， 此时， 的最小值为6． 故答案为：12；6． 49．（2025·河南濮阳·一模）如图，在等腰中，，，将绕点顺时针旋转至，使得，延长交于，点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，利用扇形的面积减去的面积计算即可．掌握割补法求面积是解题的关键． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知：， ，即， ，， 在中，，． ，．， ， ． 故答案为：． 50．（2025·河南周口·一模）在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶当时，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 综上，的长为或1， 故答案为：或1． 51．（2025·河南驻马店·一模）定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形；如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上．若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3．已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接．若的面积为，直接写出的长． 【答案】（1）见解析（答案不唯一）；（2）是；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，可知为的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点D； （2）由角平分线的定义得，则，从而得出，即可证明结论； （3）作于点M，根据相似三角形的性质可得，再利用锐角三角函数得，从而得出，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1所示（答案不唯一）： （2）是四边形的“相似对角线”，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）如图3，作于点M， ∵，平分， ∴． 又∵是四边形的“相似对角线”， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解“相似对角线”的含义是解题的关键． ( 题型0 9 )解直角三角形的应用 52．（2025·河南南阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 【答案】3cm 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据三角函数进行计算，求出，，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ． 在中，， ． ． 在中，，， ， ． 答：的长为3cm． 53．（2025·河南商丘·一模）在无人机社团活动中，小明用无人机测量学校家属楼的高度，当无人机飞到点处时，测得家属楼顶端的俯角为，飞行到处时，测得家属楼底端的俯角为，已知无人机的飞行高度为，若点，，，在同一个平面内，求家属楼的高度（答案精确到整数．参考数据：，，）． 【答案】25米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过作，交的延长线于C，设，则，得到，解方程即可求出答案． 【详解】解：过作，交的延长线于C，如图所示： 设，则， ∵，， ∴在中，， 在中，， ， 解得：， 答：家属楼的高度约为25米． 54．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【研究背景】济源博物馆文物丰富，藏品15000余件（套），珍贵文物3480余件（套），尤以汉代釉陶明器最具地方特色．馆藏文物种类丰富，包括铜器、陶器、瓷器、玉器、石刻、砖瓦、古生物化石、历代钱币、雕塑造像、文件宣传品、档案文书、图书古籍、碑刻等各种门类．1966年4月，济源市西官桥河边出土了商铜爵． 【数据测量】小明利用周末参观济源博物馆后，产生了浓厚的研究兴趣，在网上买了一个仿制的商铜爵（图1），经过测量，绘制了平面图．图2是其示意图．已知管状矩流，矩形是器身，，，，，，求该商铜爵流口距地面的高度（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作，交的延长线于点过点作，交于点，在和中利用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点过点作，交于点 在中，， 在中，， ． 答：该商铜爵流口距地面的高度约为． 55．（2025·河南平顶山·一模）一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，伞边离水平面的距离为，伞面直径为． (1)求抛物线的函数解析式．（无须写出自变量的取值范围） (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：．结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，解直角三角形，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）连接交于点．由抛物线的对称性可知，．将代入解析式求出，再解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，且过点． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线的函数解析式为（或）． （2）解：如图，连接交于点． 由抛物线的对称性可知，． 点的横坐标为． 当时，， ． ， ． 又， ， ． 答：油纸伞锁扣到地面的距离的长约为． 56．（2025·河南洛阳·一模）在某游乐场中，矗立着一座摩天轮，如图，其座舱围绕摩天轮的轴心做圆周运动．当座舱从最低点处开始转动，转动到位置时，过作于点，此时测得，；当座舱继续转动到位置时，过作于点，此时（所有点都在同一平面内，忽略座舱大小）．求的长（结果精确到，参考数据：，，，）．     【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到是等腰直角三角形，求出，，然后解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 57．（2025·河南周口·一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． 【答案】(1)下折臂的长约为； (2)路灯的高约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ，， ， ． ， 在中，， 答：下折臂的长约为； （2）解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ，， ， 由题意可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 58．（2025·河南·一模）某种平板支架的侧面示意图如图所示，经测量知支撑臂，支撑板，底座固定在桌面EF上，可以分别绕点A，C转动．当时，求点D到桌面的距离．（结果精确到；参考数据：） 【答案】 【分析】过点D作于点H，过点C作，垂足分别为G，M，则，，然后分别在和中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点H，过点C作，垂足分别为G，M，则，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即点D到桌面的距离为． 59．（2025·河南周口·一模）松柏苍翠寄哀思，丰碑永驻颂英魂．清明节小华和家人一起到烈士陵园祭奠先烈，祭拜结束后他想利用所学知识测量纪念碑的高度．如图，他在纪念碑对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得纪念碑顶部B处的仰角为，测得纪念碑底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为12m（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． (1)求这幢建筑物与纪念碑之间的水平距离（结果保留根号）． (2)求纪念碑的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作， 垂足为， 根据题意可得：米，， 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， 垂足为， 由题意得： 米， ， 在中， ， (米) ， 米， ∴两幢楼房之间的水平距离为米； （2）解：在中， 米， （米) ， ∵米， (米)， ∴对面这幢楼房的高度约为米. 60．（2025·河南安阳·一模）安阳天宁寺文峰塔是一座具有千年历史的古塔，也是全国重点文物保护单位．某综合实践活动小组利用卷尺和测角仪测量文峰塔的高度．如图所示，他们在地面上一条水平步道上架设测角仪，先在点A处测得文峰塔顶端E的仰角，朝文峰塔方向走到达B处，在B处测得文峰塔顶端E的仰角．若测角仪和的高度均为，求文峰塔的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】文峰塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰俯角问题，熟练掌握锐角三角函数与边的关系是解题的关键； 设 ，根据已知条件确定，，四边形是矩形．在中，根据等腰直角三角形性质得出，在中，由正切函数得到 ，再依据列出方程 ，解方程求出的值，再加上测角仪高度，得到文峰塔的高度． 【详解】解：由题意知，，，四边形是矩形． 设． 在中， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． 答：文峰塔的高度约为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$