专题15 轴对称、平移、旋转（7大题型33题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题15 轴对称、平移、旋转 题型概览 题型01 利用平移的性质求解 题型02 由平移的方式确定点的坐标 题型03 轴对称图形的识别 题型04 根据成轴对称图形的特征求解 题型05 根据旋转的性质求解 题型06 坐标与旋转规律问题 题型07 中心对称 ( 题型01 )利用平移的性质求解 1．（2025·河南周口·一模）如图，平移三角形，使点B移动到点E，点C移动到点F，平移的方向为的方向，平移后的图形为三角形，若平移的距离为，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再求出的长即可求出的长． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，的顶点O在直线上，把沿着线平移到处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平角的定义，平移的性质，先根据平角的定义得，再根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿着线平移得到， ∴． 故选：B． 3．（2025·河南驻马店·一模）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推… 若经过若干次平移后，图的面积为，则 ． 【答案】17 【分析】本题考查了图形的平移，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题关键是学会探究规律的方法，学会利用参数构建方程解决问题．连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据平移可知：，，，证明，得出，证明，，求出，得出图2长面积为，同理得出图3的面积为，图4的面积为，总结得出一般规律：图n的面积为，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据平移可知：，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图2的面积为：， 同理可得：图3的面积为， 图4的面积为， 图n的面积为， 当时， 解得：． 故答案为：17． 4．（2025·河南新乡·一模）如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，扇形的面积，含角的直角三角形等知识，设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则，得到，求得，得到，再根据扇形面积和三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则， ， 如图，连接， 由平移可知，，，， ， ， 又∵， ， 过点作于点，则， ． 5．（2025·河南周口·一模）综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究． 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①平行四边形；②；（2） 【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； ②作点关于的对称点，连接，，当共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． （2）同理可得是等边三角形，且共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）①∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案是：平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． （2）如图所示，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等边三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点，是解题的关键． ( 题型02 )由平移的方式确定点的坐标 6．（2025·河南·一模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，平移性质，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点向上平移2个单位为，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵ ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为， 故选：A． 7．（2025·河南信阳·一模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，平移性质，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点向上平移2个单位为，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为， 故选：A． 8．（2025·河南周口·一模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点． (1)求反比例函数的解析式． (2)将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，求反比例函数解析式，平移的规律等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由矩形的性质结合已知条件可得，然后代入得即可解答； （2）先求出可得点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，然后根据平移规律即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中， ， ， ， ， 把点代入得， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点的纵坐标为2， ， ∴．即点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点． 由（1）知点的坐标为， ∴点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点． ( 题型03 )轴对称图形的识别 9．（2025·河南周口·一模）下面是四个来自不同城市文化街区创意标识中的汉字部分，其中可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项A的图形可以沿一条直线折叠使得直线两旁的部分能够互相重合， 故A选项是轴对称图形． 故选：A． 10．（2025·河南焦作·一模）下列汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对图形，故符合题意； B、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，又不是中心对图形，故不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 11．（2025·河南周口·一模）下图是常见的化学仪器简易平面图，其中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 12．（2025·河南周口·一模）下面四幅简笔画中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 13．（2025·河南郑州·一模）如图是1956年出土于洛阳市涧西区曹魏正始八年墓的白玉杯，它用一整块和田玉雕刻而成，杯高 11.5厘米，口径约5厘米．关于它的三视图，有下列说法：（1）主视图与左视图相同；（2）主视图是轴对称图形；（3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了三视图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据三视图，轴对称图形以及中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：（1）主视图与左视图相同：由于白玉杯是一个对称的物体，其主视图和左视图应该是相同的，因为它们都是从正面和侧面观察到的形状．因此，这个说法是正确的． （2）主视图是轴对称图形：主视图是从正面观察到的形状，由于白玉杯是对称的，其主视图应该是一个轴对称图形．因此，这个说法也是正确的． （3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形∶俯视图是从上方观察到的形状，对于一个对称的白玉杯，其俯视图应该是一个轴对称图形．同时，如果俯视图的中心点可以作为对称中心，那么它也是中心对称图形．因此，这个说法也是正确的． 综上：（1）（2）（3）正确， 故选：D 14．（2025·河南濮阳·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项进行判断即可得到答案，熟练掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解决此题的关键． 【详解】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． ( 题型0 4 )根据成轴对称图形的特征求解 15．（2025·河南郑州·一模）如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由轴对称的性质得，判断出当P与重合时，的值最小，最小值为的长．然后求出，，，，得到，然后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长． ∵正方形的边长为4， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，利用轴对称-最短路线问题． 16．（2025·河南许昌·一模）如图，在中，，点D为斜边上一动点，点B关于直线的对称点为点E，连接，，当时，的值为 ． 【答案】或 【分析】该题考查了轴对称，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，分为①如图，当点D在斜边的中点时，②如图，当点E在斜边上时，分别求解即可． 【详解】解：①如图，当点D在斜边的中点时， 根据轴对称可得， ∵在中，， ∴，， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，符合题意， 此时； ②如图，当点E在斜边上时， 则， 设， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，符合题意， 此时； 故答案为：或． 17．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称图形的性质，延长至，由题意得，，进而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：延长至， 由题意得，，， ∴，， ∴， 即， 故选：． 18．（2025·河南洛阳·一模）如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】2或12 【分析】根据关于对称的图形为，，，可得，，，若是直角三角形，根据题意可得不可能为直角，故分为和当时，画出图形，则，证明四边形是矩形，得出，证得四边形是正方形，可得，即可求出；当时，画出图形，过点作，证明四边形 是矩形，得出，勾股定理求出，得出，设，则，在中根据勾股定理列方程求出，即可解答； 【详解】解：∵关于对称的图形为，，，， ∴，，， 若是直角三角形， 分为和 当时，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 当时，如图 过点作， ∴， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， ∴， 综上，则的长为2或12； 故答案为：2或12． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解决问题． 19．（2025·河南郑州·一模）下面是人教版八上的一道复习题： 如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行了如下探究． 【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于的对称点，作点B关于直线l的对称点，连接，分别交，直线L于点P，Q，连接，则最短路径为折线．请同学们研讨：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长． 【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是内一点，在上分别找点A，B，使的周长最小． 解决方法：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点A，交于点B，连接，则此时的周长最小，最小值为的长．若，，则周长的最小值为③ ． 【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边上的一点D出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点D（机器人的速度为）．请你完成以下任务． (1)【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ． (2)在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出；③处应填 ． (3)若，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间． 【答案】(1)两点之间，线段最短； (2)图见详解， (3) 【分析】本题主要考查两点之间线段最短 ，轴对称的性质，解直角三角形； （1）根据两点之间，线段最短来解答即可； （2）根据题意画出，连接，根据轴对称的性质，可得，求得．过点O作于点 Q，得到，即可求出； （3）分别作点D关于的对称点，连接，分别交于点E，交于点F，则的长为的周长，得到的周长为，求出当的值最小时， 的周长最小，而当时， 的值最小，再计算出结果即可． 【详解】（1）解：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为：两点之间，线段最短； 最短路径的长是线段的长； 故答案为：两点之间，线段最短；； （2）解：根据题意画出，如下图： 连接，如下图： 根据轴对称的性质，可得，． 又∵， ∴， ∴． 过点O作于点 Q， 则， ∴， 故周长的最小值为． （3）解：分别作点D关于的对称点，连接，分别交于点E，交于点F，则的长为的周长． 如下图： ∵，， ∴， ∴， 此时的周长最小值为，     ∴当的值最小时， 的周长最小． 而当时， 的值最小， 如下图， 则 ， ∴周长的最小值为， ∴机器人完成比赛的最短时间为． ( 题型0 5 )根据旋转的性质求解 20．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长； (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)① ② (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质，根据旋转性质，证明是等边三角形，再证明，得到． （2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可． ②根据正方形的性质，得到，继而得到， 解答即可． （3）过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ②当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 过点作于点G， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，特殊角的三角函数应用，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 21．（2025·河南平顶山·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在边上．已知点的对应点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)求矩形的边的长； (3)判断：点________（填“在”或“不在”）反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)4 (3)在 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转． （1）将代入求出k的值即可； （2）过点F作轴于点M，由勾股定理求得，再由旋转和矩形的性质得，，证明得，求出，再由勾股定理求得，即可得解； （3）过点E作垂直的延长线于点N，证明得，进而求出，，，即可得，再根据反比例函数解析式可得结论． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：如图，过点F作轴于点M， ∵的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∴； （3）解：如图，过点E作垂直的延长线于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故答案为：在． 22．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，D为上一点，其坐标为，将等腰直角三角形 绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒后点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律变化、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，令旋转1秒后点的对应点为，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，由旋转的性质可得，，，得出，同理可得，旋转2秒后点的对应点的坐标为，旋转3秒后点的对应点的坐标为，旋转4秒后点的对应点的坐标为，旋转5秒后点的对应点的坐标为，，由此可见，点旋转后对应点的坐标按，，，循环出现，结合即可得解，正确找到规律是解题关键． 【详解】解：如图，令旋转1秒后点的对应点为，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，， 由旋转可得，，， ， ， ， 的坐标为， ，， ， 同理旋转2秒后点的对应点的坐标为， 旋转3秒后点的对应点的坐标为， 旋转4秒后点的对应点的坐标为， 旋转5秒后点的对应点的坐标为， ， 点旋转后按，，，的顺序四次一个循环出现， ， 旋转2025秒后点D的坐标为， 故选：B． 23．（2024·河南周口·一模）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境： 在菱形中，，点为边上一点（与A、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知： （1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 ； ②线段的数量关系是 ； 猜想论证： （2）小明取，如图2，射线与射线交于点，小明在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同…… 但线段的数量关系好像不再成立······ 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小明同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究： （3）小梦测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在的直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值． 【答案】（1）①；② （2），证明见解析 （3）和 【分析】（1）①先证明是等边三角形，可得，再证明，然后利用全等三角形的性质求解即可；②根据，，即得； （2）连接．在上截取，连接．证明，再由全等三角形的性质可得结论； （3）点F在以点B为圆心，以为半径的圆上运动．注意到直线与间的距离为，则符合题意的点F有四处位置，如图中的点，，和．过点B作交的延长线于点H，再求解即可． 【详解】解：（1）①∵在菱形中，有，， ∴是等边三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴， ， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ； 故答案为：①；②． （2）数量关系为： 证明：如图，连接．在上截取，连接． ∵在菱形中，， ． ∴为等边三角形， ∴，， ． 又， 故． ∵，． ． ， ∵， ； （3）和 如图，点在以点为圆心，以长为半径的圆上运动． 直线与间的距离为， 则符合题意的点有四处位置，如图中的点，，，． 过点作交的延长线于点． ①其中点，落在直线上，它们到直线的距离． ②其中点落在直线上， 在中，，，， ，， ， ． 由（2）知，， 又， 故点到直线的距离． ③其中点落在直线上，设与交于点， 在等边中，，则，． 在中，， 则． 又， 点到直线的距离． 故大于的的值为和 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键． 24．（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习了特殊平行四边形——菱形后，启星学习小组的同学们进行了如下活动． 【提出问题】 小东提出了一个问题：在菱形中，，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，的平分线所在直线交直线于点，连接，探究的度数． 【探究发现】 小东根据从特殊到一般的思路进行探究： （1）如图，当时，的度数为 ． （2）小东猜想当线段在如图所示的位置时，（1）中的结论仍然成立，请你结合图，判断小东同学的猜想是否正确，并说明理由． 【得出结论】 （3）请阅读下面小东和小惠的讨论片段，并补充完整． 小东：的度数始终等于． 小惠：不对，的度数不是始终等于．当点在菱形外时，；当点在菱形内时（如图）， ． 【拓展应用】 （4）当时，在绕点旋转的过程中，延长交于点．若是直角三角形，请直接写的值． 【答案】（1）；（2）正确，理由见解析；（3）；（4）或 【分析】（1）设与交于点，证明得，由菱形的性质得，，所以，由等边对等角得，所以，再结合，所以； （2）标记角如解图所示，证明得，再根据菱形的性质得，，所以，由等边对等角得，所以，又，所以； （3）标记角如截图所示，解法一：证明得，即，由得，因为，所以，在中，，化简得，即，即可求解； 解法二：由得，由得，所以，，，所以； （4）分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】解：（1）设与交于点， 平分， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ， 又， ， ， 在菱形中，，， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）正确，理由如下：标记角如解图所示： 由旋转的性质，可知， 平分， ， 又， ， ， 在菱形中，，， ， ， ， 又， ； （3），如解图，标记角， 解法一：，，， ， ，即， ， ， ， ， 在中，， ，即； 解法二：， ， ， ， ， ， ， ， （4）或， 由题意，可分以下两种情况进行讨论：当时，如解图所示： 由（2），得， ， ； 当时，如解图所示： ， ， 过点作，交于点， 由（2），得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． ( 题型0 6 )坐标与旋转规律问题 25．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 26．（2025·河南平顶山·一模）如图，菱形的中心与坐标系的原点重合，且点在第一象限的角平分线上，已知，将菱形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是关键．根据题意得到旋转98次后点的对应点和旋转2次后点的对应点的坐标相同．据此进行解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点、连接． ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴． 点在第一象限的角平分线上， ∴点的坐标为 旋转98次后点的对应点和旋转2次后点的对应点的坐标相同． ∵点与点关于原点成中心对称． 点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选 ：C． 27．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为1，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，在x轴的正半轴上，点A在第四象限，此时点A的坐标为， 第2次旋转结束时，正好与原来点A的坐标关于原点对称，则此时点A的坐标为， 第3次旋转结束时，在x轴的负半轴上，点A在第二象限，此时点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A回到原来的位置，此时点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 28．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 29．（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ，， 是直角三角形， ， ， 解得：， 正方形的边长为， 点的坐标是， 正方形绕点顺时针旋转，每次旋转， 又， 正方形绕点顺时针旋转次回到出发点， ， 正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称， 将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标． ( 题型0 7 )中心对称 30．（2025·河南濮阳·一模）剪纸文化作为中国传统文化中一颗熠熠生辉的璀璨明珠，承载着千年的历史底蕴与民族智慧．它以纸张为画布，以剪刀或刻刀为妙笔，通过艺人灵动的双手，在纸上精心剪刻出形态各异、栩栩如生的花纹图案．下列剪纸可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 31．（2025·河南·一模）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 32．（2025·河南·一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 33．（2025·河南·一模）甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文经破译，对应的汉字分别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”．以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿某条直线折叠后直线两旁的部分可重合，判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后可与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】A．是轴对称图形，故不符合题意； B是轴对称图形，故不符合题意； C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故符合题意； D．是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 轴对称、平移、旋转 题型概览 题型01 利用平移的性质求解 题型02 由平移的方式确定点的坐标 题型03 轴对称图形的识别 题型04 根据成轴对称图形的特征求解 题型05 根据旋转的性质求解 题型06 坐标与旋转规律问题 题型07 中心对称 ( 题型01 )利用平移的性质求解 1．（2025·河南周口·一模）如图，平移三角形，使点B移动到点E，点C移动到点F，平移的方向为的方向，平移后的图形为三角形，若平移的距离为，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，的顶点O在直线上，把沿着线平移到处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南驻马店·一模）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推… 若经过若干次平移后，图的面积为，则 ． 4．（2025·河南新乡·一模）如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（2025·河南周口·一模）综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究． 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． ( 题型02 )由平移的方式确定点的坐标 6．（2025·河南·一模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南信阳·一模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南周口·一模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点． (1)求反比例函数的解析式． (2)将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标． ( 题型03 )轴对称图形的识别 9．（2025·河南周口·一模）下面是四个来自不同城市文化街区创意标识中的汉字部分，其中可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南焦作·一模）下列汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南周口·一模）下图是常见的化学仪器简易平面图，其中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河南周口·一模）下面四幅简笔画中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河南郑州·一模）如图是1956年出土于洛阳市涧西区曹魏正始八年墓的白玉杯，它用一整块和田玉雕刻而成，杯高 11.5厘米，口径约5厘米．关于它的三视图，有下列说法：（1）主视图与左视图相同；（2）主视图是轴对称图形；（3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2025·河南濮阳·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )根据成轴对称图形的特征求解 15．（2025·河南郑州·一模）如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 16．（2025·河南许昌·一模）如图，在中，，点D为斜边上一动点，点B关于直线的对称点为点E，连接，，当时，的值为 ． 17．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河南洛阳·一模）如图，，点为上一定点，，，点为射线上一动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，则的长为 ． 19．（2025·河南郑州·一模）下面是人教版八上的一道复习题： 如图（1），牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 王老师带领学生们研讨了此题，并就“解决实际应用中的路线最短问题”进行了如下探究． 【阶段一】王老师进行了如下作图：如图（2），作点A关于的对称点，作点B关于直线l的对称点，连接，分别交，直线L于点P，Q，连接，则最短路径为折线．请同学们研讨：王老师判定折线是最短路径运用的基本事实为① ，最短路径的长是线段② 的长． 【阶段二】王老师又提出问题：如图（3），P是内一点，在上分别找点A，B，使的周长最小． 解决方法：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点A，交于点B，连接，则此时的周长最小，最小值为的长．若，，则周长的最小值为③ ． 【阶段三】如图（4），在一个机器人比赛项目上，机器人从的边上的一点D出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点D（机器人的速度为）．请你完成以下任务． (1)【阶段一】中的①处应填 ，②处应填 ． (2)在图（3）上按【阶段二】的“解决方法”画出；③处应填 ． (3)若，请计算出机器人完成比赛所用的最短时间． ( 题型0 5 )根据旋转的性质求解 20．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长； (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 21．（2025·河南平顶山·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在边上．已知点的对应点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)求矩形的边的长； (3)判断：点________（填“在”或“不在”）反比例函数的图象上． 22．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，D为上一点，其坐标为，将等腰直角三角形 绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒后点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·河南周口·一模）【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”． 问题情境： 在菱形中，，点为边上一点（与A、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知： （1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是 ； ②线段的数量关系是 ； 猜想论证： （2）小明取，如图2，射线与射线交于点，小明在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同…… 但线段的数量关系好像不再成立······ 我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系 请你帮小明同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究： （3）小梦测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在的直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值． 24．（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习了特殊平行四边形——菱形后，启星学习小组的同学们进行了如下活动． 【提出问题】 小东提出了一个问题：在菱形中，，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，的平分线所在直线交直线于点，连接，探究的度数． 【探究发现】 小东根据从特殊到一般的思路进行探究： （1）如图，当时，的度数为 ． （2）小东猜想当线段在如图所示的位置时，（1）中的结论仍然成立，请你结合图，判断小东同学的猜想是否正确，并说明理由． 【得出结论】 （3）请阅读下面小东和小惠的讨论片段，并补充完整． 小东：的度数始终等于． 小惠：不对，的度数不是始终等于．当点在菱形外时，；当点在菱形内时（如图）， ． 【拓展应用】 （4）当时，在绕点旋转的过程中，延长交于点．若是直角三角形，请直接写的值． ( 题型0 6 )坐标与旋转规律问题 25．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·河南平顶山·一模）如图，菱形的中心与坐标系的原点重合，且点在第一象限的角平分线上，已知，将菱形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为 ． 28．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 7 )中心对称 30．（2025·河南濮阳·一模）剪纸文化作为中国传统文化中一颗熠熠生辉的璀璨明珠，承载着千年的历史底蕴与民族智慧．它以纸张为画布，以剪刀或刻刀为妙笔，通过艺人灵动的双手，在纸上精心剪刻出形态各异、栩栩如生的花纹图案．下列剪纸可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·河南·一模）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·河南·一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·河南·一模）甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文经破译，对应的汉字分别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”．以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$