专题14 投影与视图、尺规作图（4大题型35题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题14 投影与视图、尺规作图 题型概览 题型01 判断几何体的三视图 题型02 尺规作图——作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 ( 题型01 )判断几何体的三视图 1．（2025·河南濮阳·一模）钧瓷是河南禹州特产，中国国家地理标志产品．钧瓷始于唐，盛于宋，是中国古代五大名瓷之一，它以其独特的釉料及烧成方法产生的窑变而闻名于世．如图是禹州钧瓷瓷碗，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·一模）铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南平顶山·一模）如图是简易高低柜示意图，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南开封·一模）中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（   ）． A． B． C． D． 5．（2025·河南平顶山·一模）如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南洛阳·一模）学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南漯河·一模）清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆．该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图均不相同 8．（2025·河南安阳·一模）如图所示几何体的左视图是（   ）． A． B． C． D． 9．（2025·河南·一模）如图是由五个小正方体组成的几何体，若要在图中序号所在的位置上添加一个小正方体，使得添加后该几何体的主视图和左视图均保持不变，则添加的位置应在（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（2025·河南周口·一模）如图1所示为烽火台实物图，其建筑主体为正四棱台，图2所示几何体为其结构示意图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割得到，则图2所示几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·河南平顶山·一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·河南南阳·一模）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河南洛阳·一模）如图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，现将小正方体A移到B的正上方后，这个几何体三视图发生改变的是（    ） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图 ( 题型02 )尺规作图——作角 1．（2025·河南漯河·一模）如图，在平行四边形中，点在上，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规在的上方作，使得，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作图的基础上，求证：． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，点D是的边上一点． (1)尺规作图：在上找一点E，连接，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 3．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，． (1)在的上方求作一点D，使，且．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接．求证：四边形为矩形． 4．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，D，E分别是边的中点． (1)尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 5．（2025·河南信阳·一模）如图，在中，， ，是的中位线． (1)请用无刻度直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，求证：． 6．（2025·河南郑州·一模）尺规作图与圆结合如图，在中 ，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与边相切于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)连接并延长交于点F．若，，求的长． ( 题型03 )作角平分线 7．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点，连接并延长，在延长线上截取，使，连接和（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是正方形． 8．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，，点是延长线上一点，点，分别是，的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接并延长交于点，证明：； (3)当，时，直接写出的值为________． 9．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，在中，，为线段上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点B． (1)求的度数． (2)请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)连接，判断是否为等边三角形．如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 11．（2025·河南·一模）如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 12．（2025·河南·一模）如图，点A，B，C在上，点E在的延长线上，连接，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，，求证：是等腰三角形． 13．（2025·河南郑州·一模）如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 14．（2025·河南·一模）如图， 在平行四边形中， (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形． ( 题型0 4 )作垂线 15．（2025·河南周口·一模）如图，已知． (1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线，交于D； ②在直线找一点E，使四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 16．（2025·河南濮阳·一模）如图，为的半径，为的直径，直线与相切于点A． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，若（1）中所作的垂线分别与直线，交于点，．求证：． 17．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，，以为直径的交边于点D． (1)求证： (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (3)证明（2）中得到的四边形是平行四边形． 18．（2025·河南信阳·一模）如图，已知是钝角三角形，是钝角，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)现有一个圆，圆心在线段上，且与边相切．若，求的半径． 19．（2025·河南驻马店·一模）如图，已知及外一点P． (1)用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． (2)在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 20．（2025·河南郑州·一模）如图，在正方形中，点E为对角线上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点E作的垂线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 21．（2025·河南·一模）如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 22．（2025·河南·一模）如图，在中，平分，交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)判断四边形的形状，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 投影与视图、尺规作图 题型概览 题型01 判断几何体的三视图 题型02 尺规作图——作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 ( 题型01 )判断几何体的三视图 1．（2025·河南濮阳·一模）钧瓷是河南禹州特产，中国国家地理标志产品．钧瓷始于唐，盛于宋，是中国古代五大名瓷之一，它以其独特的釉料及烧成方法产生的窑变而闻名于世．如图是禹州钧瓷瓷碗，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的含义是解题关键．根据从正面、上面和左面看到的图形，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：它的主视图是 ． 故选：C 2．（2025·河南·一模）铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左面看到的图形，据此求解即可． 【详解】 解：它的左视图为 故选：B． 3．（2025·河南平顶山·一模）如图是简易高低柜示意图，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：左视图是从左边看得到的图形．据此解答即可． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形中部有一条横向的虚线． 故选：C． 4．（2025·河南开封·一模）中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的特点，理解立体图形特点，掌握三视图的特点是关键． 根据立体图形，三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是， 故选：A ． 5．（2025·河南平顶山·一模）如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了几何体的三视图，根据左视图的定义即可解答． 【详解】 解：该几何体的左视图是， 故选：D． 6．（2025·河南洛阳·一模）学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单的几何体的三视图，熟知俯视图是从上边看到的图形是解答本题的关键．根据从上边看到的图形是一个大圆内有两个小圆，且小圆为虚线，即可得到结果． 【详解】解：从上边看到的图形是一个大圆内有两个小圆，且小圆为虚线， 故选：A． 7．（2025·河南漯河·一模）清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆．该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图均不相同 【答案】A 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．熟知三视图的观察方向是解题的关键． 仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据雯红瓷瓶的实物特征及几何体三视图的概念，可知其主视图和左视图相同，俯视图与它们均不相同， 故选：A． 8．（2025·河南安阳·一模）如图所示几何体的左视图是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图为在侧面内得到的由左向右观察物体的视图．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分用虚线表示．根据左视图的定义即可得出答案． 【详解】解：根据几何体的图示可以得到左视图的形状应该是中间为虚线的直角梯形， 即左视图如下： 故选：D． 9．（2025·河南·一模）如图是由五个小正方体组成的几何体，若要在图中序号所在的位置上添加一个小正方体，使得添加后该几何体的主视图和左视图均保持不变，则添加的位置应在（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，明确左视图是从几何体的左面看到的图形，主视图是从几何体的正面看到的图形是解题的关键．结合每个选项的添加的位置，分析几何体的主视图和左视图的变化，即可作答． 【详解】解：A、若添加的位置在①，则该几何体的主视图不变，左视图变了，故该选项不符合题意； B、若添加的位置在②，则该几何体的主视图和左视图都不变，故该选项符合题意； C、若添加的位置在③，则该几何体的左视图不变，主视图变了，故该选项不符合题意； D、若添加的位置在④，则该几何体的主视图和左视图都变了，故该选项不符合题意； 故选：B 10．（2025·河南周口·一模）如图1所示为烽火台实物图，其建筑主体为正四棱台，图2所示几何体为其结构示意图．如图2所示，正四棱台是由底面为正方形的正四棱锥切割得到，则图2所示几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图相关知识，关键是看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 根据从物体上方向下看得到的视图为俯视图，由此得解． 【详解】解：俯视图为： ， 故选：D． 11．（2025·河南平顶山·一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是由三视图还原几何体，解题关键是熟练掌握由三视图还原几何体． 根据题目所给的三视图还原出几何体即可得解． 【详解】解：主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形， 该几何体是圆锥． 故选：． 12．（2025·河南南阳·一模）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】 解：它的主视图是， 故选A． 13．（2025·河南洛阳·一模）如图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，现将小正方体A移到B的正上方后，这个几何体三视图发生改变的是（    ） A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图 【答案】C 【分析】根据几何体的三视图的意义，画图比较解答即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：三视图画图如下： 改变只有左视图， 故A，B，D都不符合题意，C符合题意， 故选：C． ( 题型02 )尺规作图——作角 1．（2025·河南漯河·一模）如图，在平行四边形中，点在上，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规在的上方作，使得，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作图的基础上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，求三角形的判定和性质，熟练掌握相关指数点是解题的关键。 （1）根据作一个角等于已知角的方法作即可； （2）根据平行四边形的性质得到，得出，得到，继而得到，即可得到。 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）证明：四边形是平行四边形， ， . 在与中， ， ， . 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，点D是的边上一点． (1)尺规作图：在上找一点E，连接，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为一边作,根据两角相等的两个三角形相似即可得到； （2）过点作于点F，则，证明，求出，，得到，则，证明，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）过点作于点F，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了基本作图、相似三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，． (1)在的上方求作一点D，使，且．（要求：请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接．求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图及矩形的判定是解题的关键． （1）首先以点B圆心、长为半径画弧，然后作，与弧交于点D，则点D即为所求； （2）连接，可证明，得到，再证明，即可得到四边形为平行四边形，最后结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求作的点； （2）证明：连接， 由（1）知，， 又， ， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 4．（2025·河南南阳·一模）如图，在中，D，E分别是边的中点． (1)尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查复杂作图，平行线分线段成比例以及三角形中位线的性质定理，正确作图是解答本题的关键． （1）作即可； （2）连接，证明是的中位线即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点F，线段即为所求． （2）证明：如图，连接． ∵D，E分别是边的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴，即, ∴F为的中点． ∴是的中位线． ∴． 5．（2025·河南信阳·一模）如图，在中，， ，是的中位线． (1)请用无刻度直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，中位线的性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用尺规作图作一个角等于已知角作图即可； （2）利用，得出，利用则可得，再利用中位线判定，得出四边形是矩形，即可判定． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 6．（2025·河南郑州·一模）尺规作图与圆结合如图，在中 ，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与边相切于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)连接并延长交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质； （1）以圆心，任意半径画弧，分别交、于点、，再以圆心，长为半径画弧，交于点，以圆心，长为半径画弧，交前弧于点，连接射线交于点E．即可得到，则； （2）如图，连接过的直径，交于，由切线得到，再由，，得到，，，再由，得到，，，推出，代入后得到，，再由垂径定理得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：作，如图即为所求： （2）解：如图，连接过的直径，交于， ∵长为半径的圆与边相切于点D， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得，， ∵即， ∴， ∴． ( 题型03 )作角平分线 7．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点，连接并延长，在延长线上截取，使，连接和（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的作图、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的判定是关键． （1）根据等腰三角形的性质和垂直平分线（或角平分线）的作图进行解答即可； （2）利用正方形的判定进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示（答案不唯一，合理即可）． （或或或） （2）解：由作图可知， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形． 8．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，，点是延长线上一点，点，分别是，的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接并延长交于点，证明：； (3)当，时，直接写出的值为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查尺规作图，作垂线和全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判定是解题的关键． （1）利用尺规作图作出角平分线即可； （2）通过证明，然后根据全等三角形的性质进行推理论证； （3）连接，利用等腰三角形三线合一的性质可得，然后解直角三角形进行计算求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴． 又∵， 由作图可知，， ∴． ∵点是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）解：连接 ∵，点，是的中点， ∴ ∵点，分别是，的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图角平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，在中，，为线段上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点B． (1)求的度数． (2)请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)连接，判断是否为等边三角形．如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等边三角形，见解析 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、尺规作角平分线以及等边三角形的判定； （1）连接，根据切线的性质和已知得到，根据等边对等角即可求解； （2）根据作角平分线的方法作图即可； （3）由圆周角定理可得，再结合角平分线可得，即可证明． 【详解】（1）如图，连接． 线段与相切于点， ． ， ． ， ， ． （2）如图所示，即为的平分线（方法不唯一）． （3）是等边三角形． 证明：如图， 由（1）知， ， ． 又平分，且， ， ， 是等边三角形． 11．（2025·河南·一模）如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图方法与菱形的判定方法是解题的关键， （1）运用尺规作图作角平分线的方法作图即可； （2）根据已知条件结合作图可得，，由菱形的判定即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图可知， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 12．（2025·河南·一模）如图，点A，B，C在上，点E在的延长线上，连接，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）按照作角平分线的方法作出射线即可； （2）连接，，并标记，，，，由（1）得是的平分线，由角平分线的定义可得，由圆内接四边形的性质可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，于是结论得证． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作； （2）证明：如图，连接，，并标记，，，， 由（1）得：是的平分线， ， 四边形是的内接四边形， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，等角对等边，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧及圆内接四边形的性质是解题的关键． 13．（2025·河南郑州·一模）如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形． 【详解】（1）解：如图：即为所作： （2）解：四边形是菱形，理由如下， 证明：如图，∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 14．（2025·河南·一模）如图， 在平行四边形中， (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−−复杂作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质．解题的关键是： （1）根据基本作图，即可作得； （2）首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义，可证得，据此即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，，即为所求， ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是菱形． ( 题型0 4 )作垂线 15．（2025·河南周口·一模）如图，已知． (1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线，交于D； ②在直线找一点E，使四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图（角平分和垂直平分线），菱形的判定和性质，以及锐角三角函数的知识． （1）①根据作垂直平分线的作图即可；②以点B为圆心，以为半径画弧，交于点E即可； （2）由的正弦求出，再由菱形性质得，由的正切求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示 （2）， 四边形是菱形， ， ， 四边形的面积． 16．（2025·河南濮阳·一模）如图，为的半径，为的直径，直线与相切于点A． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，若（1）中所作的垂线分别与直线，交于点，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规基本作图-作垂线，作出过点，垂直作线段的垂线即可； （2）由切线的性质得到，根据直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质得到，又由对顶角性质得，即可由等角的余角相等得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， （2）证明：如图， ∵直线与相切于点A， ∴，即， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作垂线，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对顶角性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 17．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，，以为直径的交边于点D． (1)求证： (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (3)证明（2）中得到的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质即可证明； （2）利用尺规作图，作的垂直平分线，与的交于点E，连接即可； （3）由已知得是的中位线，根据中位线的性质得，进而可推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：如图，点E即为所求，连接； （3）解：∵点O是的中点，点E是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，尺规作图，中位线定理，平行四边形的判定． 18．（2025·河南信阳·一模）如图，已知是钝角三角形，是钝角，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)现有一个圆，圆心在线段上，且与边相切．若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆的切线的性质、勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）分别以B、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）设与的交点为，连接，由题意得，推出，设，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示． （2）解：如图2，设与的交点为，连接， ∵与都是的切线， ∴， ∵，垂直平分， ∴， 在中，， 设， ∵， ∴，解得． ∴半径为． 19．（2025·河南驻马店·一模）如图，已知及外一点P． (1)用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． (2)在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2)①证明见解析，② 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，准确作图和添加辅助线是解题的关键． （1）按照要求进行作图即可； （2）①连接，由是的直径得到，即于点B，即可证明结论成立；②连接，由勾股定理求出，设，结合垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：①连接， ∵是的直径， ∴， 即于点B， ∴是的切线． ②连接， ∵，， ∴， ∵为的垂直平分线 ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得：． ∴． 20．（2025·河南郑州·一模）如图，在正方形中，点E为对角线上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点E作的垂线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）按照作垂线步骤即可作图； （2）过点E作交的延长线于点N，证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：过点E作交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 21．（2025·河南·一模）如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 【详解】（1）证明：， ，． 在和中，， ； （2）解：是的垂直平分线， ， 由（1）的结论可知，, 又∵, 则, ∴ ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 如图所示，菱形为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． 22．（2025·河南·一模）如图，在中，平分，交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）先由角平分线的定义得到，再由线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对角推出，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 平分， ， 的垂直平分线是， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$