专题13 圆（9大题型59题）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题13 圆 题型概览 题型01 利用垂径定理求值 题型02 圆心角 题型03 圆周角定理 题型04 切线的性质定理 题型05 已知圆内接四边形求角度 题型06 正多边形和圆综合 题型07 求弧长 题型08 求扇形面积 题型09 求其他不规则图形的面积 ( 题型01 )利用垂径定理求值 1．（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为 ． 3．（2025·河南南阳·一模）如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图②所示，的直径为，毛刷的一端固定在点M，另一端为动点P，，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上．则该毛刷能扫到的面积（阴影部分）是 ． 4．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南商丘·一模）如图，为的半径，为垂直于的一条弦，垂足为点，的切线交延长线于点连接，若，，则的长为 ． 6．（2025·河南南阳·一模）边长为的等边三角形内接于，长度为2的线段绕点C在平面内旋转．当点D落在上时的长为 ． 7．（2025·河南驻马店·一模）如图，点是上的点，且，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·河南驻马店·一模）如图，在半径为10的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且．则的长为 ． ( 题型02 )圆心角 9．（2025·河南洛阳·一模）如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河南·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 12．（2025·河南平顶山·一模）如图，为的外接圆，且为的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，试判断的形状，并说明理由． ( 题型03 )圆周角定理 13．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，圆周角，D为上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·河南周口·一模）如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为 ． 15．（2025·河南周口·一模）如图，直线，垂足为P，测得，． (1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)记（1）中所作劣弧的圆心为O，在中，弦，连接，直接写出的长 16．（2025·河南安阳·一模）如图，，是的切线，是切点，点是上一点，若，则 °． 17．（2025·河南平顶山·一模）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，若，则的度数为 °． 18．（2025·河南商丘·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（   ） A．35° B．30° C．25° D．20° 19．（2025·河南周口·一模）如图，在新能源汽车的动力传输系统模拟图中，四边形形似一个关键的传动装置连接结构，该四边形内接于，为对角线且恰好经过圆心O．已知在某一时刻，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·河南南阳·一模）为了提高中考体育加试足球项目成绩，加强备战意识．某校举行了足球比赛，在其中一场比赛中，一名中场队员带球奔向对方球门，同时，同队的甲、乙两个前锋分别冲到了A点和B点（点B在所对的优弧上，点A在所对优弧内） (1)仅从射门角度越大，进球机会就越大考虑，该中场球员将球传给甲还是乙？为什么？（运用所学的数学知识写出理由） (2)若，，．求点A到球门的距离．（结果精确到．参考数据：） 21．（2025·河南焦作·一模）顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图是的直径，为的切线，在上取一点，连接．   ，． 是的直径，． 为的切线，． ．， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线．    ( 题型0 4 )切线的性质定理 22．（2025·河南洛阳·一模）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，是上一点，经过点，与相切于点，点、分别是与的交点，且． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积为多少？ 24．（2025·河南周口·一模）如图，内接于圆O，为圆O的直径，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，若，，则的长 ． 25．（2025·河南·一模）如图，与相切于点A，连接并延长，交于点C，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河南周口·一模）如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于 ． 27．（2025·河南漯河·一模）如图，是的弦，是的切线，连接，且经过圆心．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·河南平顶山·一模）如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，且，大圆的弦切小圆于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·河南南阳·一模）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，，求车轮的半径． 30．（2025·河南洛阳·一模）如图，AB，CD为的直径，BE与相切于点B．若，则的度数为 ． ( 题型0 5 )已知圆内接四边形求角度 31．（2025·河南周口·一模）如图，点A、、、、都在上，是直径，，，则的度数为 ． 32．（2025·河南驻马店·一模）如图，是的外接圆，是的直径，是劣弧上一点，连接，，若，则的度数为 ． 33．（2025·河南周口·一模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．已知，，，则的长为 ． 34．（2025·河南洛阳·一模）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 35．（2024·河南郑州·一模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·河南开封·一模）如图，为的直径，点在圆上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )正多边形和圆综合 37．（2025·河南周口·一模）如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 38．（2025·河南南阳·一模）清代文人魏崧在《壹是纪始》中写到：“不倒翁起始于唐朝”．现在“不倒翁”已成为益智的玩具．如图：“不倒翁”平面示意图是由等边与围成的图形．已知：，等边的中心是的圆心．则这个“不倒翁”的平面示意图的面积为（    ） A． B． C． D． 39．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 40．（2025·河南郑州·一模）将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则 （   ） A． B． C． D． 41．（2025·河南郑州·一模）如图，是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（    ）． A．20° B．22.5° C．25° D．30° ( 题型0 7 )求弧长 42．（2025·河南平顶山·一模）如图，已知为直角三角形，其中． (1)请用圆规和无刻度的直尺作出，使圆心P在边上，且与两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若与相切于点，求的长．（结果保留） 43．（2025·河南南阳·一模）如图，已知点A，B，C在上，C为的中点，若，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 44．（2025·河南南阳·一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则弧的长为 ． 45．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 46．（2025·河南信阳·一模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 47．（2025·河南濮阳·一模）如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点），已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为（    ） A．π B．π C．π D．π 48．（2025·河南·一模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了________（结果保留）．（   ） A． B． C． D． ( 题型0 8 )求扇形面积 49．（2025·河南濮阳·一模）如图，在扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为 ． 50．（2025·河南·一模）如图，小明在矩形中裁剪出扇形，，O为的中点，，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 51．（2025·河南郑州·一模）如图（1），已知扇形，点 P从点出发，依次沿，弧，以的速度运动，设点P运动的时间为，，y随x变化的图象如图（2）所示，则扇形的面积为 ． ( 题型0 9 )求其他不规则图形的面积 52．（2025·河南安阳·一模）如图，的直径，以点A为圆心为半径画，与交于点C，D，以点B为圆心为半径画，与交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 53．（2025·河南周口·一模）如图，四边形为正方形，边长为6，以为圆心，长为半径画，为四边形内部一点，且，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 54．（2025·河南驻马店·一模）如图，是的直径，与弦交于点E，，则图中阴影部分的面积为 ． 55．（2025·河南漯河·一模）如图，为半圆上一点，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点恰好与点重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ． 56．（2025·河南焦作·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为 （结果保留） 57．（2025·河南三门峡·一模）如图，在扇形中，，P为的中点，过点P作，，垂足分别为M，N，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 58．（2025·河南漯河·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 59．（2025·河南许昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在x轴的正半轴上．以点A为圆心，长为半径画．则阴影部分的面积为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 圆 题型概览 题型01 利用垂径定理求值 题型02 圆心角 题型03 圆周角定理 题型04 切线的性质定理 题型05 已知圆内接四边形求角度 题型06 正多边形和圆综合 题型07 求弧长 题型08 求扇形面积 题型09 求其他不规则图形的面积 ( 题型01 )利用垂径定理求值 1．（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，进而由勾股定理得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：于点，， ，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据对称性作关于的对称点，则，连接交于，则点都在以为圆心，半径为6的圆上，求出，易证是等边三角形，推出，求出，再由即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则， ∵将沿弦折叠， ∴点都在以为圆心，半径为6的圆上， ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形中，即的度数为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形面积；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键． 3．（2025·河南南阳·一模）如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图②所示，的直径为，毛刷的一端固定在点M，另一端为动点P，，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上．则该毛刷能扫到的面积（阴影部分）是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，垂径定理的推论．先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据扇形面积公式计算出，，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，，，， 三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 4．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有， 即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故选：B． 5．（2025·河南商丘·一模）如图，为的半径，为垂直于的一条弦，垂足为点，的切线交延长线于点连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线的性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题关键．设，由可得，垂径定理可知，再勾股定理可得，求出，，由圆的切线可知，再利用列方程求解即可． 【详解】解：连接，设， ∵，， ∴， ∴， 是的半径，是的弦，， ， 在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去） ∴，， ∴， ∵的切线PB交OA延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 6．（2025·河南南阳·一模）边长为的等边三角形内接于，长度为2的线段绕点C在平面内旋转．当点D落在上时的长为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形．分当点在上和点在上两种情况讨论，利用垂径定理求得半径为2，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：当点在上时，连接，作，垂足为，连接， ∵， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点在半径上， ∴是线段的垂直平分线， ∴； 当点在上时， 同理，， ∴是等边三角形， ∴， 综上，的长为2或4． 故答案为：2或4． 7．（2025·河南驻马店·一模）如图，点是上的点，且，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂径定理、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，过点作于点，首先证明，由全等三角形的性质易得，，进而可知，结合垂径定理以及含30度角的直角三角形的性质，可得，，结合勾股定理解得，的值，然后根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵，即， 解得， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 8．（2025·河南驻马店·一模）如图，在半径为10的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且．则的长为 ． 【答案】 【分析】作于M，于N，连接，，，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得，再证明四边形是正方形 则，根据勾股定理即可求出的长．本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：作于M，于N，连接，，， ， ， ， ， ， 于M，于N， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ． 故选：B． ( 题型02 )圆心角 9．（2025·河南洛阳·一模）如图，已知A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆心角，弧，弦之间的关系，先证明可判断A，B，再证明，可判断D，进一步记圆心为，连接，可判断C. 【详解】解：∵A，B，C，D是同一圆上的点，相交于点，， ∴， ∴，故A，B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意； 如图，记圆心为，连接， ∵不一定相等， ∴不一定相等；故C符合题意； 故选：C 10．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 11．（2025·河南·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明， 从而可得结论． 【详解】（1）解：作出线段的垂直平分线，连接；   以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）证明：由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 12．（2025·河南平顶山·一模）如图，为的外接圆，且为的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，交的延长线于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、圆周角定理、切线的性质，等腰直角三角形的判定． （1）利用尺规作图以点为圆心为半径画弧，交的延长线于点，再作线段的垂直平分线交线段的延长线于点，直线即为所求； （2）根据可知，根据等边对等角可得，根据切线的性质可知，所以，所以可证是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，交的延长线于点， 分别以点、为圆心大于为半径画弧，两弧交于两点， 过两交点作直线交的延长线于点C， 直线即为所求． （2）解：为等腰直角三角形． 理由如下： ， ， 为的直径． ， ， 为的切线， ， ， ， 为等腰直角三角形． ( 题型03 )圆周角定理 13．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，圆周角，D为上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长交于点E，根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质得出，根据圆周角定理得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E． ， ． ， ， ． 故选：B． 14．（2025·河南周口·一模）如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 15．（2025·河南周口·一模）如图，直线，垂足为P，测得，． (1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)记（1）中所作劣弧的圆心为O，在中，弦，连接，直接写出的长 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了尺规作图---作垂线，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别过点作的垂线，相交于点，然后以点为圆心，为半径作即可； （2）当点E在左侧时，过点A作于点H，可得四边形为矩形，由圆周角定理可得，则，由勾股定理可得，再由即可求解；当点E在右侧时，过点A作交延长线于点H，同理可求． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：当点E在左侧时，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点E在右侧时，过点A作交延长线于点H， 同理可求，， ∴， 综上：的长为或． 16．（2025·河南安阳·一模）如图，，是的切线，是切点，点是上一点，若，则 °． 【答案】55 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，四边形的内角和，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线定理和圆周角定理． 连接，得出，求得，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的切线， , , , 故答案为：55． 17．（2025·河南平顶山·一模）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，若，则的度数为 °． 【答案】35 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．连接，利用圆周角定理得到． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴°． 故答案为：35． 18．（2025·河南商丘·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（   ） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 19．（2025·河南周口·一模）如图，在新能源汽车的动力传输系统模拟图中，四边形形似一个关键的传动装置连接结构，该四边形内接于，为对角线且恰好经过圆心O．已知在某一时刻，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据为直径可得，即可求得，即可解答，熟练利用圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：为对角线且恰好经过圆心O． ， ， ， 故选：C． 20．（2025·河南南阳·一模）为了提高中考体育加试足球项目成绩，加强备战意识．某校举行了足球比赛，在其中一场比赛中，一名中场队员带球奔向对方球门，同时，同队的甲、乙两个前锋分别冲到了A点和B点（点B在所对的优弧上，点A在所对优弧内） (1)仅从射门角度越大，进球机会就越大考虑，该中场球员将球传给甲还是乙？为什么？（运用所学的数学知识写出理由） (2)若，，．求点A到球门的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1)将球传给甲，理由见解析 (2) 【分析】（1）延长与圆交于点C，连接，先由圆周角定理可得，再由三角形外角性质可得，，从而可得答案； （2）过点A作于点D，设为，可得，，在中，，可得，求得，即可求解． 【详解】（1）解：将球传给甲． 理由如下：延长与圆交于点C，连接， 与同对． ， ， ， ∴将球传给甲； （2）解：过点A作于点D， 设为， 在中， ， ， 在中，， ， ， 解得：， 答：点A到球门的距离约为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 21．（2025·河南焦作·一模）顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图是的直径，为的切线，在上取一点，连接．   ，． 是的直径，． 为的切线，． ．， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定．连接并延长，交于点，连接．求得，推出，据此即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接并延长，交于点，连接．   为的直径． ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． ( 题型0 4 )切线的性质定理 22．（2025·河南洛阳·一模）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高． 设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点，连接、、，则， 以点为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：B． 23．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，是上一点，经过点，与相切于点，点、分别是与的交点，且． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积为多少？ 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，求扇形的面积， （1）连接，根据切线的性质得，再说明， 可得，然后证明接下来根据可得答案； （2）由（1）得，可得为等边三角形，进而求出，，再求出和扇形，最后根据面积差可得答案． 【详解】（1）解：连接， 是的切线，为切点， ． ，即， ， ． ， ， ， 即， ． ， ， ． 是O的直径， ， ， ； （2）解：由（1），得， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ． 根据勾股定理，得， ， 扇形， 阴影部分的面积为． 24．（2025·河南周口·一模）如图，内接于圆O，为圆O的直径，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，若，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆的切线的性质、勾股定理等知识点，理解圆的切线的性质并灵活运用正切函数是解题的关键． 如图：连接，根据圆的切线的性质以及正切的定义可得，设该圆的半径为r，则、， 运用勾股定理列方程可求得，即，运用等面积法可得，再运用正切的定义以及线段的和差可得，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，即， 设该圆的半径为r，则，， ∵， ∴，解得：或（舍）， ∴， 如图：过A作， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴ 故答案为：． 25．（2025·河南·一模）如图，与相切于点A，连接并延长，交于点C，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据与相切于点，可知，所以可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，连接， 与相切于点， ， 又∵， ， 又， ， ， ． 故选：B ． 26．（2025·河南周口·一模）如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】​ 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，翻折变换，正方形的判定与性质，解决本题的关键是掌握扇形面积的相关计算． 作O点关于的对称点，连接，可得四边形为菱形，再根据圆的切线的性质可得四边形为正方形，则，最后由阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，作O点关于的对称点，连接， ∵， ∴四边形为菱形， ∵折叠后的与相切， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 27．（2025·河南漯河·一模）如图，是的弦，是的切线，连接，且经过圆心．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 连接，由是的切线，则，根据等腰三角形的性质可得，又，最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 28．（2025·河南平顶山·一模）如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，且，大圆的弦切小圆于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是切线的性质、勾股定理，扇形的面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键； 连接、，如图，根据切线的性质得到，再利用勾股定理计算出，计算出，进而得到，则，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】连接、，如图， 弦切小半圆于点， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ∴ ． 故选：B． 29．（2025·河南南阳·一模）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，，求车轮的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、等边对等角，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和垂直得到，再利用等边对等角得到，即可证明结论成立； （2）利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：连结． 切于点， ． ， ， ． ， ∴， ， 平分． （2）设的半径为，则． 在中，，，，， 解得，即的半径为． 30．（2025·河南洛阳·一模）如图，AB，CD为的直径，BE与相切于点B．若，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 与相切于点， ， ， 故答案为：． ( 题型0 5 )已知圆内接四边形求角度 31．（2025·河南周口·一模）如图，点A、、、、都在上，是直径，，，则的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ∵是的直径， ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故答案为：． 32．（2025·河南驻马店·一模）如图，是的外接圆，是的直径，是劣弧上一点，连接，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，然后由直角三角形的性质求出的度数，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2025·河南周口·一模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点，以为直径作，过点作于点，根据，得出四边形是的内接四边形，，得出，进而根据已知可得，，设，则，，进而根据得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，以为直径作，过点作于点， ∵， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则 ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴ 在中， 故答案为：． 34．（2025·河南洛阳·一模）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据，，求出，根据“圆内接四边形的对角互补”求出即可，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：D． 35．（2024·河南郑州·一模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质，根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵点A是中优弧的中点， ∴ ∴， ∴， 又∵C为劣弧上一点， ∴， 故选：D． 36．（2025·河南开封·一模）如图，为的直径，点在圆上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角等于，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是直径，，可得，根据四边形是圆的内接四边形，所以，即可求解． 【详解】解：为的直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， 故选：C． ( 题型0 6 )正多边形和圆综合 37．（2025·河南周口·一模）如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算．连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵正六边形， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，，， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴ ； 故选：B． 38．（2025·河南南阳·一模）清代文人魏崧在《壹是纪始》中写到：“不倒翁起始于唐朝”．现在“不倒翁”已成为益智的玩具．如图：“不倒翁”平面示意图是由等边与围成的图形．已知：，等边的中心是的圆心．则这个“不倒翁”的平面示意图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接、、，过点作于点，根据等边三角形的性质及等边三角形的中心可得，，，，继而得到，，，，则点、、共线，由勾股定理得，求得，由锐角三角函数的定义得，，求得∴，，然后计算即可． 【详解】解：如图，连接、、，过点作于点， ∵等边的中心是的圆心，， ∴，，，， ∴， ，， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴， ， ∴这个“不倒翁”的平面示意图的面积为： ． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及等边三角形中心的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，扇形的面积以及组合图形的面积等知识点．掌握等边三角形中心的性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 39．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 40．（2025·河南郑州·一模）将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作右下角正六边形的外接圆，连接，，，设和相交于点G，先证明A、E、C三点共线，然后证明，再根据垂径定理和圆周角定理，逐步求出和的长，最后根据正切函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：作右下角正六边形的外接圆，连接，，，设和相交于点G， 根据正六边形的性质，可得，， ， ， A、E、C三点共线， ∵， ， ， ， 是的直径， ，， 是等边三角形， ， 设， 则， 是的直径，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，圆周角定理，三角函数的定义等知识，熟练掌握有关正多边形的解题方法是解题的关键． 41．（2025·河南郑州·一模）如图，是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（    ）． A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵是内接正八边形的一条边， ∴， ∵， ∴， ∵过点B的直线l为的一条切线， ∴， ∴． 故选B． ( 题型0 7 )求弧长 42．（2025·河南平顶山·一模）如图，已知为直角三角形，其中． (1)请用圆规和无刻度的直尺作出，使圆心P在边上，且与两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若与相切于点，求的长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了复杂作图以及弧长计算，关键是掌握弧长公式． （1）作的角平分线，交与P，再以P为圆心，长为半径画圆即可； （2）连接，可得，设得，由，求出．再利用弧长公式可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图，连接，则． 在Rt中，， ， ． 设 ， ，解得． 的长为． 43．（2025·河南南阳·一模）如图，已知点A，B，C在上，C为的中点，若，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，弧长公式，圆的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，根据圆的性质证明，从而证明是等边三角形，求出半径为，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】如解图，连接． C为的中点， ． ． ， ，． 又， 是等边三角形． ，即的半径为6． 的长为， 故选B． 44．（2025·河南南阳·一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，弧长公式，如图，圆心为O，连接，，，，由勾股定理求出，由圆周角定理得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，圆心为O，连接，，，， ∵，， ∴的长． 故答案为：． 45．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明． 作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长． 【详解】解：作半径于N， 由折叠的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影的周长==． 故选A． 46．（2025·河南信阳·一模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求弧长，掌握弧长公式（是弧长，是扇形圆心角，是扇形半径）是解题的关键． 根据题意，扇形半径为，圆心角的度数为，代入弧长公式即可求解． 【详解】解：半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了， ∴对应的弧长为， ∴重物上升了， 故选：D ． 47．（2025·河南濮阳·一模）如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点），已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为（    ） A．π B．π C．π D．π 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理以及弧长公式（为弧长，为圆心角度数，为半径）的应用，解题的关键是求出圆心角的度数和半径的长度． 先通过菱形的性质求出圆心角的度数，再利用勾股定理求出半径，最后代入弧长公式计算的长． 【详解】如图，标记格点M，F，易知格点为所在圆的圆心， 补全，连接， ，易知点在上， ∴． 过点作于点， 则 的长为． 故选：A 48．（2025·河南·一模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了________（结果保留）．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求弧长，掌握弧长公式的计算是解题的关键． 根据题意，扇形半径为，圆心角的度数为，由（是弧长，是扇形圆心角，是扇形半径），由此即可求解． 【详解】解：半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了， ∴对应的弧长为， ∴重物上升了， 故选：D ． ( 题型0 8 )求扇形面积 49．（2025·河南濮阳·一模）如图，在扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到，从而得到，利用弧长公式求得扇形的半径，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵的长为， ∴， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，弧长、扇形的面积，等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形是解题的关键． 50．（2025·河南·一模）如图，小明在矩形中裁剪出扇形，，O为的中点，，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，由线段中点的定义及可得，再结合，可得，即，由余弦的定义及可得，于是可得，同理可得，进而可得，由扇形的面积公式可得，由此即可求出扇形的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，O为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，矩形的性质，求角的余弦值，由三角函数值求锐角，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握锐角三角函数及扇形的面积公式是解题的关键． 51．（2025·河南郑州·一模）如图（1），已知扇形，点 P从点出发，依次沿，弧，以的速度运动，设点P运动的时间为，，y随x变化的图象如图（2）所示，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点函数问题、弧长公式、扇形面积公式，由题中图象可得，点从点运动到点的时间为，从而可得，即扇形的半径为，由点从运动到点的时间为，得出的长为，设扇形的圆心角为，由弧长公式计算可得 ，再由弧长面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题中图象可得，点从点运动到点的时间为， ∴，即扇形的半径为， 点从运动到点的时间为， ∴的长为， 设扇形的圆心角为，则， 解得：， ∴扇形的面积为， 故答案为：． ( 题型0 9 )求其他不规则图形的面积 52．（2025·河南安阳·一模）如图，的直径，以点A为圆心为半径画，与交于点C，D，以点B为圆心为半径画，与交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求阴影部分的面积，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据圆的对称性，得到左右两边的阴影部分的面积相同，连接，作，用扇形的面积减去2个弓形的面积求出左侧阴影部分的面积再乘以2，即可得出结果． 【详解】解：由圆的对称性可知：左右两边的阴影部分的面积相同， 连接，作，由作图可知：， ∴均为等边三角形， ∴，弓形和弓形的面积相同， ∵， ∴； 故选D． 53．（2025·河南周口·一模）如图，四边形为正方形，边长为6，以为圆心，长为半径画，为四边形内部一点，且，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，，得到，，过点E作于点F，根据阴影面积等于扇形面积减去两个三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， 过点E作于点F， ∴， ∴， 故阴影面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握正方形的性质，直角三角形的性质，扇形的面积是解题的关键． 54．（2025·河南驻马店·一模）如图，是的直径，与弦交于点E，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理、扇形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 连接、，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得，从而求得，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式，根据“”求出阴影部分的面积公式即可． 【详解】解：连接、． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 55．（2025·河南漯河·一模）如图，为半圆上一点，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点恰好与点重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．阴影部分的面积通过进行计算即可． 【详解】解：连接, 半圆绕点逆时针旋转得到半圆，半圆的半径为2， ， 是等边三角形， ， 过作交于点， 是等边三角形， ， 在直角三角形中，由勾股定理可得： , , 阴影部分的面积． 故答案为：． 56．（2025·河南焦作·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】 【分析】过点作关于的对称点，连接交于点，此时，，值最小，由点为三等分点，，得到，根据，得到，由，，得到，进而得到，求出，，进面求出，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作关于的对称点，连接交于点，此时，，值最小，如图： 设与交于点， ∵点为三等分点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 57．（2025·河南三门峡·一模）如图，在扇形中，，P为的中点，过点P作，，垂足分别为M，N，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，求扇形面积，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，弧弦圆心角的关系等知识点，根据已知条件证明四边形是正方形是解题的关键． 连接，根据已知条件证明四边形是矩形，再根据P为的中点，证明，进而证明四边形是正方形，然后根据勾股定理求出，最后根据“阴影部分的面积扇形的面积正方形的面积”列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， 为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， 阴影部分的面积扇形的面积正方形的面积 ， 故选：D． 58．（2025·河南漯河·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，连接，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是利用来求解即可． 【详解】解：由题意得：， 若，则， ， 则阴影部分的面积为：， 故答案为：． 59．（2025·河南许昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在x轴的正半轴上．以点A为圆心，长为半径画．则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，扇形的面积．由旋转的性质求得旋转角为，，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$