【安徽省县中联盟】2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题（A卷 人教A版2019）

2024~2025学年度第二学期高二5月联考 数学(A卷) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册（约20%），选择性必修第二册（约40%），选 择性必修第三册（约40%）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.研究两个分类变量之间的关系时，作出零假设H并计算得x>0.5,则 A.有99.5%的把握认为H。不成立 B.有5%的把握认为H。成立 C.有99.5%的把握认为H。成立 D.有95%的把握认为H。不成立 2.已知S,为等差数列{am}的前n项和，若S2=4,S3=12,则{am}的公差d= A.4 B.3 C.2 D.1 3.若函数)=号x-4r+a在[0,3]上的最大值为2，则a A.-10 B.2 C.5 n号 4.(1一x)(1+x)展开式中x3的系数为 A.5 B.15 C.20 D.35 5.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色.记事件A:“红骰子的点数小于蓝骰子的点 数”，事件B:“两枚骰子的点数之和是6”，则P(B引A) A.吉 R号 c是 n是 6.若一个三位数各数位上的数字之和为10，称这样的三位数为“十全十美数”，则在所有的三位 数中“十全十美数”共有 A.66个 B.54个 C.42个 D.36个 【高二5月联考·数学(A卷)第1页（共4页）】 25-X-732B 7.现有甲、乙、丙、丁4支球队进行足球比赛，首先采用抽签的方法将4支球队分成2组进行比 赛，获胜的2支球队进入决赛，失败的淘汰，然后再进行一场决赛决出最后的冠军.假设乙， 丙，丁这3支球队互相对决时彼此间的获胜概率均为？，甲与其他3队对决时，获胜的概率均 为子，每场对决没有平局，且结果相互独立，则乙队获得冠军的概率为 A易 B号 c D品 8.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之 为神奇数.具体数列为1,1,2,3,5,8，…，即从该数列的第三项开始，每一项等于前两项之和. 已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，若a227=M,则S2o2s= A.M-2 B.M+2 C.M-1 D.M+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X~V(100,100),则 (参考数值：随机变量X~N(u,a2),则P(u一o<X<十a)=0.6826,P(u-2a<X<u十2a) =0.9544,P(-3σX<u+3o)=0.9974) A.E(X)=100 B.D(X)=10 C.P(X≥90)=0.8413 D.P(X≤120)=0.9987 10.设S,是公比为q的无穷等比数列{am}的前n项和，则下列说法正确的是 A.对任意正整数k,数列S,S2一S,S一S2是等比数列 B.对任意正整数n,a所十a+2≥2a1 C若安-品-孤子期g号 D若a>0,且a,4,2a:成等差数列，则- 2=3+22 11.若函数fx)-2ax一lnx的两个极值点分别为x1,x2,且x1<x2,则 1 A.0<a< B.x>e C.f(x1)<1 D.xix>e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1名老师和4名获奖同学排成一排照相，若老师不站两端，则不同的站法种数为 13已知P是函数f(x)=。+2x2图象上任意一点，则P到直线y=x一1的距离的最小值为 14.五一长假期间，铁路部门迎来客流量高峰.某高铁站进站口并排有3个安检入口，假设每个 人在进站时选择每个安检入口的概率都是了，现有三男三女共六位乘客先后通过安检入口 进站，则每个安检入口通过的男乘客人数与女乘客人数均相等的概率为 【高二5月联考·数学(A卷)第2页（共4页）】 25-X-732B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某同学为了研究两个变量x与y的相关关系，收集到如下表格的5组数据： 2 8 5 6 2 3 5 6 9 (1)从表格中的5组数据中随机抽取3组，记x与y相等的组数为随机变量Z,求Z的分布 列与期望： (2)根据上表提供的数据，求经验回归直线方程y=b.x十α. 参考公式：=y·可 -,a=y-bi. Sri-nx 16.(本小题满分15分) 已知Sn是数列{a,}的前n项和，3+n=an+1,41=1. 1 (1)求{a,}的通项公式： (2)求数列{2”·an}的前n项和Tn 17.(本小题满分15分) 如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，E是线段AB的中点，将△ADE沿DE折起 到△PDE的位置. (1)若PE⊥BC,证明：平面PDE⊥平面ABCD: (2)若二面角P-DE-B是60°，求点C到平面PDE的距离. 【高二5月联考·数学(A卷)第3页（共4页）】 25-X-732B 18.(本小题满分17分)》 已知直线l经过抛物线C:y=4x的焦点F且与C相交于点A(,y)与B(x2),P为C 的准线上一点 (1)若PALPB,证明：P点的纵坐标为十业： 2 (2)若AF=2|BF,求1的方程； (3)若PA,PB,PF的斜率分别为k1,k2,k3,证明：k1,ka,k2成等差数列. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xlnx-2nx-1-2.x,其导函数为f(x). (1)讨论「(x)的单调性； (2)求f(x)的极值点个数； (3)求f(x)所有极值点的乘积 【高二5月联考·数学(A卷)第4页（共4页）】 25-X-732B2024~2025学年度第二学期高二5月联考·数学(A卷 参考答案,提示及评分细则 1.【考点定位】考查独立性检验 【考核目标】考查推理论证能力 【解题思路】依题意,>x。,因此有95%的把握认为H。不成立.故选D 【参考答案】D 2.【考点定位】考查等差数列基本量的运算 【考核目标】考查运算求解能力 【解题思路】a=S-S=12-4=8,S=a+a=(a-2d)+(a-d)=16-3d-4,所以d-4.故选A. 【参考答案】A 3.【考点定位】考查函数的最值 【考核目标】考查运算求解能力 【解题思路】/(x)-r-4,令/(x)0,解得2<x3,令f(x)<0,解得0x<2,所以f(x)在[0,2)上单 调递减,在(2,3]上单调递增,因为f(0)=a>f(3)=a-3,所以f(x)的最大值是f(0),则f(0)=a=2.故 选B. 【参考答案】B 4.【考点定位】考查二项式定理 【考核目标】考查运算求解能力 【解题思路】(1十x)}展开式的通项为T=Cx,所以(1一x)(1十x)展开式中x的系数为C一C^}= 20-15-5.故选A. 【参考答案】A 5.【考点定位】考查古典概型与条件概率 【考核目标】考查运算求解能力 【参考答案】C 6.【考点定位】考查排列与组合. 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】“十全十美数”分为两类:其一是三位数的三个数位上恰好有1个是0,则另外两个数位上数为 (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),则有4×4十2一18个“十全十美数”;另一类三个数位上的数字都不是0 则三个数位上的数字是(1,1,8),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,2,6).(2,3,5),(2,4,4),(3,3,4),则有4×3 十4×A一36个“十全十美数”,所以共有18十36一54个“十全十美数”.故选B 【参考答案】B 7.【考点定位】考查独立事件的概率 【高二5月联考·数学(A卷)参考答案 第1页(共6页)】 25-X-732B 【考核目标】考查运算求解能力,解决问题能力 冠军的概率为P-(1-)-,故选A. 【参考答案】A 8.【考点定位】考查递推数列. 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】由“裴波那契”数列可得a2=a。+a=a+a-1+a=a.+a-1+a-+a-1=..=a。+a-1十 a -.-+a+1,所以S.-a+a-1+...+a1-ar:-1,所以So2s-a2o27-1-M-1.故选C. 【参考答案】C 9.【考点定位】考查正态分布. 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】因为随机变量X~N(100,100),所以E(X)一100,D(X)一100,故A正确,B错误;根据题意可得 【参考答案】AC 10.【考点定位】考查等比数列性质以及数列基本量的运算 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】对于A,当为偶数,且q=-1时,S=0,S-S-0,S-S=0,数列S,S-S,S-S不是 a(1-) 16 1一 以m=4.所以-1,则q-士,故C错误;对于D,因为aì,1an,2a成等差数列,a-a1十2as,所以 故D正确,故选BD 【参考答案】BD 11.【考点定位】考查导数的综合应用 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 y-. ) 2 _n在 1-ln,n'(c)>0→<c,n'(x)<0→ (0.十o)上有2个不同的交点.令h(x)一 【高二5月联考·数学(A卷)参考答案 第2页(共6页)】 25-X-732B x>e,所以h(x)在(o,e)上单调递增,在(c,十co)上单调递减,又因为h(e)-1,h(1)=0,当x→0时,h(x)→ 2 ln*x=-(lnx-1)②+1,又因为1<x<e,所以0<lnx<1,则f(x)<1,故C正确;对于D.设-> r 1-1 n- 71 2(-1)(+1)ln2=ìnx1+lnx>2=xx>c^{},故D正确.故选ACD. 0.所以ln/ 71 7-1 【参考答案】ACD 12.【考点定位】考查排列组合知识应用 【考核目标】考查运算求解能力 【解题思路】先安排老师的位置有C种,再安排4名获奖同学有A种,所以不同的站法种数为C×A-72 【参考答案】72 13.【考点定位】考查导数的几何意义 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】/(x)=e十x,令g(x)=e十x-1,g(x)=e+1>0,所以g(x)在R上单调递增,又g(0)= 0.所以方程e十x-1-0的解为x-0,所以当点P的坐标为(0,1)时,它到直线y一x-1的距离最小,最小 离为0-11-2. 2 【参考答案】/2 14.【考点定位】考查概率 【考核目标】考查运算求解能力,解决问题能力 【解题思路】由题知,每个人选择每个安检入口的概率都相等,则三男三女共六位乘客通过安检入口进站 共有3-729种不同的结果,若每个安检人口均为一男一女通过,共有AA一36种不同的结果;若三个安 检入口中,一个入口通过0人,一个人口通过一男一女,一个入口通过两男两女,共有CCCC一54种不同 的结果;若六人均在同一个安检入口通过,共有C一3种不同的结果,则每个安检入口通过的男乘客人数与 女乘客人数均相等的概率为P-36-+54+331. 729 243 【参考答案】 15.【考点定位】考查随机变量的分布列与经验回归方程 【考核目标】考查运算求解能力,解决问题能力 【解题思路】第(1)问通过超几何分布求出分布列与期望;第(2)问利用最小二乘法计算出经验回归方程 【高二5月联考·数学(A卷)参考答案 第3页(共6页)】 25一X-732B 【参考答案】解:(1)由题意可得乙的所有可能取值为0,1,2, .................分. C二 5 乙的分布列为; 0 1 2 一) P 3 ...................................................................................4分. ##+ 3}##-# E(Z)-0x- ................................................................................ 10 6分 2+3+4+5+6 2+3+5+6+9 -4,一 (2)由题意可得三 -5......................... 5 5 2×2+3×3+4×5+5×6+6×9-5X4×5 -1.7. 则一 .................................... ..分. 4+9+16+25+36-5×16 所以--6x-5-6.8--1.8. 16.【考点定位】考查数列的通项与求和 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】第(1)问通过递推关系探究出数列a)的特征,进而求出其通项公式;第(2)问利用错位相减法 求和. 当n.....).-..-.)..-.........................分. ①-②得:S.-S-.+n*-(n-1)?-na.-(n-1)a.-+n-(n-1) 所以.............................................分... 所以..a................... 因为a一1,所以。是以1为首项,2为公差的等差数列. 所以-1+2(n-1)-2-1. (2)因为2·a.-(2n-1)2. 所以T.-1×2+3×2+5×2+...+(2n-1)2. 2T.=1...2...x2.........-....................... .1分 两式相.,.. ..22.2...2....2.1.).2........................... 112分 1-2 ............................... 所以T.-(2n-3)2+1+6. ...................................... 17.【考点定位】考查立体几何与空间向量 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力,空间想象能力 【解题思路】第(1)问利用几何法结合面面垂直的判定定理证明结论;第(2)问建立空间直角坐标系,算出平 面PDE的法向量,进而求出点到面的距离,该问也可以利用纯几何法先找出二面角的平面角,计算出翻折 后各线段长度,然后利用等体积法计算点到面的距离 【参考答案】(1)证明:在△ADE中,由余弦定理,得 【高二5月联考·数学(A卷)参考答案 第4页(共6页)】 25-X-732B 所以AE*}+DE}=AD*,所以AE DE 2) 将△ADE沿DE折起后,必有PE DE. .........................分 又PE BC.DE与BC相交,DEC平面ABCD BCC平面ABCD,所以PE 平面ABCD. ...................... 又PEC平面PDE,所以平面PDE 平面ABCD. ............... (2)解:由(1)知ED AB,所以分别以直线ED,EB为x轴,v轴,建立如 A _ 图所示的空间直角坐标系Exy,则E(0.0,0),D(-3,0,0).C(-/3,2,0) ................. 由(1)知 DE 平面PEB,所以 PEB为二面角P-DE-B的平面角,则 PEB=60$, ............ 又DEC平面ABCD,所以平面ABCD|平面PEB 所以P(0#). 设平面PDE的一个法向量n一(r,y,), nT-0, 则{ 令三..-1....v.1)................ 1... nED-0. -③-0. ............ n /0+3十T 18.【考点定位】考查直线与抛物线 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力. 【解题思路】第(1)问通过抛物线的定义转化为三角形中的中位线问题进行证明;第(2)问利用向量中的定 比分点结合坐标法计算出B点坐标,进而求出直线方程;第(③)问联立直线与抛物线方程得到韦达定理关系 式,再对斜率关系式进行化简运算,从而证出最终的结果 【参考答案】(1)证明:设点A,B在C的准线上的射影分别为A',B,线段AB的中点为Q. 因为PA1PB,所以IPQI-1ABl-(1AFl+IBFl)-(IAA'|+IBB|), .........分.. 所以PQ是梯形AAB'B的中位线,所以PQ/AA', 所以P点的纵坐标为 4分 (2)解:由题意得F(1,0),由1AF|-2|BF|得AF-2FB 所以(1-r,-y)-2(r-1,),则x-3-2x,y=-2 {1. 一4: 得。 14-12-8x. “解得 ............................................ -4 1{一4x2. -士/2, 所以直线BF的斜率为士2/②,则(的方程为y-士2/2(x-1),即2/②x士y-2/②-0. ...........分 (3)证明:设P(-1,n),/的方程为x-y+1. 1-十1, 联立 整理得2-4y一4-0, 一4, 显然.0.....4.....4......................................................... 10分 11 【高二5月联考·数学(A卷)参考答案 第5页(共6页) 25-X-732B 所以b+=n+m-m)(+1)+(-n)(+ì) x1+1x+1 (x+1)(x+1) (-)(y+2)+(-n)(+2)2+(2-m)(+)-4m -8+(2-mt)·4-4m (3+2)(y+2) ry+2(y+)+4 -4+8+4 -4m(r*+1) 2_一n. .................5分 4(^十1) 又2k一-n,即2k-h十k. 所以..成等差数列....... ............................................................................. 17分 19.【考点定位】考查函数与导数 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】第(1)问利用导数判断函数的单调性;第(2)问利用函数的单调性结合零点存在性定理判断极 值点的个数;第(3)问利用同构思想找出各极值点间的相互关系. 【参考答案】解:(1)f(x)=xlnx-2lnx-1-2x(0<x1或x>1). ..................... 所以/(x)在(0,1),(1+o)上单调递增 6分 当xE(0,x)时,/(x)<0,函数f(x)单调递减;当xE(x,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增; 所以.(u..............................................分... 所以.............................分. 当xE(1,x)时,/(x)<0,函数f(x)单调递减:当x(x,+)时,f(x)0,函数f(x)单调递增 所以/(x)在其定义域上存在两个极值点 (3)由(2)知x,x是函数/(x)的零点 所以/(x)=lnx-2 2_-1 2 所以/()--nx:- -1--lnx-1- 所以/(c)-/(). 15分 因为x(0.1),所以士(1,+oo),且/(c)在(0,1),(1,+oo)上各存在一个零点x,, 工) ................................ 第6页(共6页)】 【高二5月联考·数学(A卷)参考答案 25-X-732B2024~2025学年度第二学期高二5月联考 请在各题题的答整区域内作答,超出矩形边枢陪定区域的答案无效 在各题目的答题区结内答,题面形边程定这现的答案无效 数学 答题卡 15[10 18满13 学校 姓名 斑级 考场 让选十斗此与七上 意生次习,在之是了 1下,了过 。 贴条形码区 3. 生卡计短日 远日上七 3 甘坑法析 填涂例r: :文V 选择题(选用2B铅笔填涂) 1阳)171n1 4Ctu3to tp 1[]]【]] 6(1-] 1] oto3t 1]Dt口0 4阳}(n ,0-n 1□口 选择题请使用05来的色字读签字笔书写 125 13{ 1 在各题到的答题区提作答,出边险实区的答案无处 请在各目的答题区感作落,提用短形语指略区基的答客无效 请在各楚目的答题这域内作答,超出矩形边阳定区域的答案天效 高二51-8 第18)25-x-739 请在各题目的答题区确内作答,超出是形达相陪定区域的答案无效 请在各题题的答整区域内作答,超出矩形边枢陪定区域的答案无效 在各题目的答题区结内答,题面形边程定这现的答案无效 17(84215% 18题170 1题满17 请在各目的答区答,超出形达招定区结的答案无效 请在各精的答整区域肉作答,起出彩边招陪区域的答案无效 请在各楚具的答题区域内作答,超出矩形边限定区域的答案无效 高二5日题号-踪 第1(2页)25-×-739