精品解析：2025年天津市和平区九年级三模数学试题　

2025年天津市和平区九年级三模数学试题 温馨提示：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 3. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A. ﹣a＜0＜﹣b B. 0＜﹣a＜﹣b C. ﹣b＜0＜﹣a D. 0＜﹣b＜﹣a 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是______. 14. 计算的结果为_______． 15. 计算的结果为_______． 16. 把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为_______． 17. 如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接． ①线段的长为______； ②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． ①线段的长为______； ②过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作圆的切线，与水平网格线相交于点，点在圆上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点（不与点重合），使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得　　； （2）解不等式②，得　　； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为　　． 20. 为了解某校学生本周参与家务劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数和中位数分别为 和 ； （2）求统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为多少？ 21. 已知：中，，以为直径的分别交，于点，． （1）如图①，若点为的中点，连接，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． （1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； （2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 23. 已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设． （1）填空：如图①，当时，点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； （3）若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． （1）若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； （2）若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年天津市和平区九年级三模数学试题 温馨提示：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：的俯视图是 故选：A 2. 估计的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的估值．根据二次根式估值的方法，由得到即可． 【详解】解：∵， ∴， 即的值在5和6之间． 故选：A 3. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法：，，n是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n的值，据此解答． 【详解】， 故选：B． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，不能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A. ﹣a＜0＜﹣b B. 0＜﹣a＜﹣b C. ﹣b＜0＜﹣a D. 0＜﹣b＜﹣a 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案． ∵从数轴可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0， ∴﹣b＜0＜﹣a， 考点：(1)、实数大小比较；(2)、实数与数轴 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查通分母的分式加法．先整理，再根据同分母的分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可得反比例函数经过的象限和每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 9. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键． 10. 如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，等角对等边，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，有平行四边形的性质和平行线的性质可得，由作图方法可得平分，则，据此可证明得到，由作图方法可得垂直平分，则，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可得平分， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 过点P作， ∴， ∴到的距离为， 故选：B． 11. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，根据旋转得到，，，，再逐个判断即可． 【详解】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， 当时， 才成立，故选项A不一定正确； 现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确； 如图，与交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选项D一定正确； 故选：D． 12. 某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用． ①根据题意列出函数关系式即可； ②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论． 【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】用绿球的个数除以总球的个数即可得出取出绿球的概率． 【详解】解：∵不透明的袋子中装有8个球，其中有个红球、个绿球和个黑球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为； 故答案为. 【点睛】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 计算的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 计算的结果为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 16. 把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为： 17. 如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接． ①线段的长为______； ②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求正比例函数解析式，两点间距离公式，勾股定理等知识点，建立平面直角坐标系是解题的关键． 建立如图示，平面直角坐标系，连接，则，可求直线解析式，设，由，结合两点间距离公式建立方程求出，即可求解，设，由得到，由两点间距离公式建立方程求出，则，再由中点坐标公式求解得到，最后由两点间距离公式即可求解． 【详解】解：建立如图示，平面直角坐标系，连接， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， 设直线解析式：， 则代入点得到：， 解得：， ∴直线解析式：， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：；． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． ①线段的长为______； ②过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作圆的切线，与水平网格线相交于点，点在圆上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点（不与点重合），使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】①利用勾股定理求解即可； ②连接与网格线相交于点和点，点即为圆心：连接并延长与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接并延长与圆相交于点，则点即为所求，连接，由作图可知，易证四边形是平行四边形，推出，证明，得到是的切线，即可证明． 【详解】解：①； ②解：如图所示为所求： 连接与网格线相交于点和点，点即为圆心连接， ∵， ∴是圆的直径， 由网格知点的中点，即点O是圆心， 由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵是的切线， ， ∴是的切线， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-作切线，圆周角定理，切线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握切线的性质，垂径定理，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得　　； （2）解不等式②，得　　； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为　　． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）解不等式①求解集即可； （2）解不等式②求解集即可； （3）在数轴上表示解题即可； （4）根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了写出公共部分． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 在数轴上表示为： 【小问4详解】 原不等式组的解集为， 故答案为：． 20. 为了解某校学生本周参与家务劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数和中位数分别为 和 ； （2）求统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为多少？ 【答案】（1）50，16，2，2 （2）这组数据的平均数是1.98 （3）估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，样本估计总体，中位数、众数，平均数等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用本周参与家务劳动的次数为2的人数除以占比求出总人数，再结合中位数、众数的定义进行作答即可． （2）运用平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）根据样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（名）， ， 则这组学生本周参与家务劳动的次数为次的人数最多， 故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数为2； ∵一共调查名学生， ∴中位数排在第位， 则， 故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的中位数为2； 故答案为：50，16，2，2； 【小问2详解】 解：观察条形统计图：， 这组数据的平均数是1.98； 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，学生本周参与家务劳动2次的学生占， 根据样本数据，估计该校学生2400人中， 该校学生本周参与家务劳动2次的学生占，则， 估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人． 21. 已知：中，，以为直径的分别交，于点，． （1）如图①，若点为的中点，连接，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据点为的中点，推出，由圆周角定理得到，即可求出，根据四边形是圆内接四边形，即可推出，即可求解； （2）连接，过点作，根据切线的性质得到，易证四边形是矩形，推出，易证，在中，解直角三角形求出，证明，推出，根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 点为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作， ， 为的切线， ，即， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得，即半径的长为． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． （1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； （2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 【答案】（1）两座山之间水平距离约为 （2）这座山的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 两座山之间水平距离约为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知， 在中，， ， ， 答：这座山的高度为． 23. 已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①，，；②120；③；④当时，；当时， （2） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可； ②运用时间相减即可作答； ③根据路程除以时间等于速度，即可作答． ④根据函数图象得当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，运用待定系数法进行作答即可． （2）先由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，得到当小明离开科技馆时，小明已经走了，再设小华和小明相遇时，小华走了分钟，列式，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：①根据函数图像， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为； 故答案为：，，； ② ∴小明在科技馆参观学习花费的时间为； 故答案为：120； ③ ∴小明从科技馆返回家的速度为； 故答案为：； ④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为， 依题意，把，代入得， ， 解得， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为， 当小明离开科技馆时，小明已经走了， 设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为， ∴， 解得， 则， ∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是． 24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设． （1）填空：如图①，当时，点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； （3）若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）（） （3） 【解析】 【分析】（1）延长交轴于，由正切函数得，可得， ，，即可求解； （2）由正切函数得，由直角三角形的特征得，即可求解； （3）①当时，此时折叠该纸片后与重叠部分为，由直角三角形的特征，由三角形的面积得； ②当时，由三角形面积得，，由二次函数的性质，即可求解；③当时，由等边三角形面积得，由二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：延长交轴于， ，， ，， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由折叠得 ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故（）； 【小问3详解】 解：①当时，如图， 此时折叠该纸片后与重叠部分为， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，二次函数的综合应用，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角函数等；掌握折叠的性质，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． （1）若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； （2）若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】（1）①；②点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出点，，．可得方程．解得，（舍）．即可得到答案； （2）在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．得到．则，，．设抛物线解析式为，把代入，解得． 【小问1详解】 解：①， 点的坐标为，抛物线解析式为． ， ． ． 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线解析式为． ②抛物线与轴相交于点， 当时，． 点的坐标为． 如图，过点作，与相交于点． ， ．．． ． 点为的中点．设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． 点的横坐标为，轴与抛物线相交于点， 点，，．可得方程． 解得，（舍）． 点的坐标为． 【小问2详解】 如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，． ，． 点，点，点， ，，． 在中，， ． ， ． 又， ． ，．． 是等边三角形． ． ． 当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．． 在中，． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为， 把代入，解得． 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $