期末复习专题04第八章立体几何初步（8考点清单+15考点题型）-2024-2025学年高一下学期数学期末复习（人教A版2019必修二 全国通用）

期末复习专题04 第八章立体几何初步 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 空间基本立体图形 1.棱柱的定义、图形及相关概念 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图形及表示 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 如图可记作：棱锥S—ABCD 如图可记作：棱台ABCD—A'B'C'D' 相关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.空间四边形、四面体、正四面体的概念 (1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形. (2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥. (3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体. 3.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 类别 定义 图形及记法 轴截面 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 棱柱与圆柱统称为柱体 图中圆柱记作圆柱O'O 矩形 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 棱锥与圆锥统称为锥体 图中圆锥记作圆锥SO 等腰三角形 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 棱台与圆台统称为台体 图中圆台记作圆台O'O 等腰 梯形 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中球记作球O 圆 考点清单2 立体图形的直观图 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2.直观图的还原与计算 (1)直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. (2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 考点清单3 空间几何体的表面积和体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积 棱柱 S棱柱表=S棱柱侧+2S底 棱锥 S棱锥表=S棱锥侧+S底 棱台 S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台=h(S'++S) S'，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 3.圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积： S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 4.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 5.柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 球体 表面积是S球=4πR2；体积是V球=πR3. 考点清单4 空间点、线、面之间的位置关系 1.平面的概念及基本性质 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 作用；证明两条直线平行 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 2. 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.空间中直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系有且只有三种 （2）异面直线的画法 3.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 4.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条公共直线上) 符号表示 α∥β α∩β=l 图形表示 5.空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 考点清单5 空间直线、平面的平行 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 简记 线线平行，线面平行 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b 图形语言 简记 线面平行，线线平行 3.平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒β∥α 图形语言 简记 线面平行，面面平行 4.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 简记 面面平行，线线平行 　考点清单6 空间直线、平面的垂直 1.异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 2..直线与平面垂直的定义及画法 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 3.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 4.直线与平面垂直的判定定理及应用 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 简记 线线垂直，线面垂直 5.直线与平面垂直的性质定理及应用 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 6.平面与平面垂直的判定定理及应用 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直. 7.平面与平面垂直性质定理的应用 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，线面垂直 考点清单7 空间几何体距离和角度的计算 1.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 3.异面直线所成的角 可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法 (1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 3.直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角　 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 求斜线和平面所成的角的步骤 (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算. (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角. (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 4.二面角的概念 （1）二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）画法： （3）记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q. （4）二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 5.求二面角的方法 （1）定义法求二面角 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. （2）垂面法求二面角 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. （3）垂线法求二面角 垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. （5）射影面积法 反思感悟　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ=. 考点清单8 与球有关的内切、外接问题 一、求外接球半径的方法 1.直接法 找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 2.构造法 (1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解. ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示. ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示. ③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示. ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示. 3.寻求轴截面圆半径法 反思感悟　与球截面有关的解题策略 (1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. 4.确定球心的位置法 反思感悟　对于一般的几何体来说，解决外接球问题，关键是找到球心.由外接球定义，其球心在过每个面的多边形的外心且与该面垂直的直线上. 5.等体积法求内切球问题 求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点，各个面为底面的棱锥，这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小. 考点题型·巩新知 考点一 空间几何距离最短问题 1．如图，是圆柱的直径，是圆柱的母线，，，点是圆柱底面圆周上的点.，是线段上靠近点的三等分点，点是线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，绕旋转到，并且点在的反向延长线，当点是和的交点时，此时最小，中求边长. 【详解】如图，绕旋转到，并且点在的反向延长线，连结，交于点，此时最小. ，，, ， ， 是等边三角形，, 则的最小值是. 故选：A 【点睛】本题考查几何体中线段长度和的最小值，属于基础题型，意在考查空间想象能力，计算能力，本题的关键是第一步作图，并且能够数形结合分析问题. 2．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 3．正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用展开方法，以为基准，将和翻折使其与共面，然后利用余弦定理求解. 【详解】由正方体的结构特征可知，平面， 点M是内一动点，且，所以点在线段上运动， 动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 ， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于， 故选：B. 4．已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 5．已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】 【详解】试题分析：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为． 考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题 考点二 立体几何的直观图 6．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法规则及正弦定理，可得原三角形的底边及高. 【详解】因为，所以， 所以的面积是． 故选：D 7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则进行判断. 【详解】由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A 8．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（  ） A．8 B．10 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：B 9．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 10．如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ． 【答案】6 【分析】过作，结合斜二测的性质进行求解即可． 【详解】过作，则， ∵与轴垂直，且， ∴， 则的边上的高等于， 故答案为： 考点三 空间几何截面问题 11．已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 【详解】设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 12．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据已知及平面的基本性质确定水平面截正方体所得截面的形状，进而求其面积. 【详解】在正方体中，与平面所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点， 则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为， 如图，所以其面积. 故选：B 13．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．是平行四边形，且周长为 B．是平行四边形，且周长为 C．是等腰梯形，且周长为 D．是等腰梯形，且周长为 【答案】D 【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长. 【详解】分别取的中点，连接， 则∥∥，∴四点共面 若为面上的动点， 由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段； 若为面上的动点， 由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段； 所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形. 因为正方体的棱长为2，所以. 所以曲线为等腰梯形，且周长为. 故选：D. 14．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到. 【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为， 则，， 所以，即． 故选：A． 15．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 【答案】 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点， 由平面平面，平面平面， 平面平面，得，由为的中点，得为的中点， 设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点， 连接交棱于点，连接、，则截面为六边形， 由，为中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为. 故答案为： 考点四 多面体的表面积和体积 16．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用锥体体积公式求解即可. 【详解】在正方体中，平面， 且该正方体的棱长为，则， 故，即三棱锥的体积是. 故选：B. 17．一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用补形法将五面体补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 18．某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（   ）（不考虑储物料斗斗壁的厚度） A．立方米 B．28立方米 C．立方米 D．84立方米 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式计算可求得体积. 【详解】该储物料斗为正四棱台，且上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米， 所认立方米. 所以该储物料斗的体积是立方米. 故选：B. 19．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 【答案】 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 20．高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. (1)若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； (2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【答案】(1)（i）312；（ii）； (2)，. 【分析】（1）（i）利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；（ii）求出棱锥的斜高，再利用侧面积. （2），求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为，再求出函数最大值即可. 【详解】（1）（i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积. （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积. （2）设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是. 考点五 旋转体的表面积和体积 21．某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求圆台的高，利用圆台体积公式计算，借助于混凝土密度即可求得圆台石墩的质量. 【详解】 由题意可得，，，因此该圆台石墩的高为， 故该圆台形石墩的体积约为， 故该圆台石墩的质量约为 故选：A 22．下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 【答案】C 【分析】利用表面积计算公式计算选项中的每个表面积，然后即可得出答案. 【详解】对于A， 对于B， 对于C， 对于D， 由上易知，选项C的表面积与其他三个不同. 故选：C 23．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）．其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到圆锥的母线长，分别求得圆锥和圆柱的侧面积即可. 【详解】解：由题意得：圆锥的高为3m，底面半径为4m， 所以圆锥的母线长为5m， 所以圆锥的侧面积为，而圆柱的侧面积为， 所以蒙古包所用毛毡的面积为， 故选：D 24．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 25．如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)面积为，周长为； (2)体积为，表面积为． 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积， 又， 所以四边形的周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则旋转体的体积为， 表面积为． 考点六 直线与平面平行 26．如图，在直三棱柱中，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若 求直三棱柱的体积和表面积； 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）取的中点，连接，只需证为平行四边形，由此，进而可证平面； （2）由题干条件可知底面为等腰直角三角形，且直棱柱高为1，利用三棱柱的体积和表面积公式即可算出答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为为的中点， 所以，， 因为四边形为平行四边形，为的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，即，由勾股定理的逆定理可知， 且在直三棱柱中，为高，由三棱柱的体积公式可得体积， 表面积为5个面面积之和. 27．如图，在正方体中，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）连接交于，连接，如图， 因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点， 又是的中点，则是的中位线，故， 又面，面，所以平面． （2）因为正方体中，平面， 所以． 28．已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求证即可由线面平行判定定理得证平面； （2）延长即可作出截面图，再结合题设条件和正方体性质即可即可计算求解截面的周长. 【详解】（1）连接，则由中位线定理得 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为.    29．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． (1)线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)在上存在一点，且F为的中点，使得平面PAD (2) 【分析】（1）取中点，可说明四边形是平行四边形，即可解决问题； （2）取AD的中点H，先证得平面ABCD．再通过等体积即可求解. 【详解】（1）在上存在一点，且为的中点，使得平面． 理由如下：取的中点，的中点，连接． 为的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）如图，取的中点，连接． 为等腰直角三角形，， ． 平面平面， 平面平面，平面， 平面． 又为的中点， 点到平面的距离等于的一半， 又， ，， 点到平面的距离等于． 在菱形中，， ． ， ， ， 四面体的体积为． 30．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的中点，证明见解析 【分析】（1）连交于，证即可证明平面. （2）先明确线段上存在一点为线段的中点，再通过证明且得，进而得平面即可得解. 【详解】（1）证明：连交于，因为为中点， 所以是中位线， 所以，又因为平面平面， 所以平面.    （2）线段上存在一点为线段的中点，使得平面，    连接，由于为中点， 则且，即且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 考点七 平面与平面平行 31．如图所示，三棱柱，是的中点，是的中点．求证： (1)//平面； (2)平面//平面D. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）证明线面平行，转化为线线平行即可，连接，与交于，连接，可得，即可证明； （2）先证明平面，由可知平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）证明：由题意，是三棱柱， 连接，与交于，连接，可得， 平面，平面， 平面D. （2）是的中点，是的中点， 则，四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面，得平面， 由可知平面， 又平面， 平面平面. 32．如图，在四棱锥中，平面，且分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为等边三角形，，判断几何体是什么几何体，并求其体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)几何体是棱台，其体积为 【分析】（1）只需通过证明四边形是平行四边形，得出，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需通过线面平行、面面平行的判定定理证明平面平面，即可得出几何体是棱台，只需算出两个底面边长的相似比，以及其中一个底面的面积即可得出两个底面的面积，再计算出棱台的高即可求解. 【详解】（1）如图，连接， 因为分别为的中点， 所以， 又因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为分别是棱的中点. 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，平面， 所以平面平面， 所以几何体是棱台， 过点作于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 由以上分析可知四边形与四边形相似，且相似比， 而为等边三角形，， 设棱台的高、体积分别为，棱台的下底面、上底面的面积分别为， 所以，棱台的下底面是分别以为底，以为高的直角梯形， 所以， 所以， 即棱台的体积为. 33．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)上的中点即满足平面平面，理由见解析 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 34．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接BH，由中位线可得，即可证明F，G，H，B四点共面； （2）由面面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接， 分别是的中点, 为的中位线， ， 四点共面； （2）由（1）知， 平面面， 平面； 又分别是的中点 ， 平面平面， 平面； 面面， 平面平面. 35．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    考点八 直线与平面垂直 36．如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，设，连接，证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）由（1）已得，结合，可得菱形，即得，再由平面易得，最后由线线垂直推出线面垂直即可. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接. 因，，可得，则， 又，则得， 因平面，平面， 故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面平面则， 又平面，故平面. 37．在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）先证明线面垂直再应用平行得出结论. 【详解】（1）    取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以且，    又因为且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，      所以，    又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为直三棱柱， 所以平面，因为面， 所以，       因为为等边三角形，所以， 又平面， 所以平面，又， 所以平面. 38．如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题设易知，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据菱形、线面垂直的性质有PABD、ACBD，再由线面垂直的判定证明结论； （3）根据已知证明EF平面PAC，再应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）底面ABCD是边长为2的菱形， 点O是BD的中点，又点F是PC的中点， OF是的中位线，则， 又平面PAB，平面PAB， 则平面PAB. （2）由PA底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PABD， 底面ABCD是边长为2的菱形，则ACBD， 又且都在平面PAC内， 则平面PAC. （3）底面ABCD是边长为2的菱形，， ∴△ABC是等边三角形，， 由PA底面ABCD，又平面ABCD，则PAAC， 所以， 由（1）得且， 又EDPA，，即， 且，则四边形OFED为平行四边形， 且，即， 又平面PAC，所以EF平面PAC，则EF是三棱锥的高. 所以三棱锥的体积为. 39．如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，分别为，的中点，. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）依题意可得平行四边形为菱形，即可得到，再由得到，从而得证. 【详解】（1）设，连接，， 则为的中点，又，分别为，的中点， 所以且，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）因为，所以平行四边形为菱形，所以， 又，，所以， 又，平面， 所以平面. 40．在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 (1)设F为ED的中点，求证：平面BCD； (2)求证：平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取DC的中点M，连接FM，BM，证明四边形ABMF是平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由鳖臑的性质，推断出，由勾股定理可得CD的值，再证得，符合勾股定理的逆定理，即为直角三角形． 【详解】（1）证明：取DC的中点M，连接FM，BM， 因为F为DE的中点，所以FM为的中位线，所以，且， 在等腰梯形ABCD中，，，且， 所以， 所以且，所以四边形AFMB是平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD； （2）由题意可得，，， 因为，，，平面， 所以平面，所以，是直角三角形， 又因为四面体DACE为一个鳖臑，所以需满足，为直角三角形，且不是直角， 又因为，所以，故要使为直角三角形，只能是直角， 即，则， 又平面， 所以，，平面 所以平面，又平面， 所以， 此时成立， 即也是直角三角形， 即证得平面 考点九 平面与平面垂直 41．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）取的中点，连接，由已知证得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定即可证得平面； （2）由已知可得，可得，又，可得平面，则平面，又平面，所以平面平面． 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为三棱柱的底面是正三角形，是的中点， 所以，， 为的中心， 在上，且 又，， 又与交于点，， ， 四边形是平行四边形，， 又平面， 平面． （2）由（1）知平面即为平面， 三棱柱的底面是正三角形，， 所以，则， 又分别是的中点， 所以，则， 又，平面， 所以平面， 又，所以平面， 又平面， 所以平面平面． 42．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面平面.，，分别为的中点.求证： (1)平面； (2)平面平面； (3)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形即可； （2）证明平面即可； （3）结合三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）取中点，连接， 在中，因为分别为的中点， 所以，， 因为底面为正方形，且为的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为底面为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （3）已知，，为中点，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又，所以四棱锥的体积为. 43．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 44．如图，在中，，平面，分别是上的动点，且.    (1)求证：不论为何值，总有平面⊥平面； (2)若，求证：平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可证平面.再结合即可求证； （2）由（1）可得，即可得平面，进而求证. 【详解】（1）平面，平面， ，又且平面， ∴平面.                   又， ∴不论为何值，恒有， 平面，又在平面内， ∴不论为何值，恒有平面⊥平面. （2）由（1）知平面，平面，， 又且平面 , 平面，又在平面内， 平面⊥平面 45．如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：EF平面ABC． (2)证明：平面EFA⊥平面PAC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线定理得到EFBC，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由AB为圆O的直径，得到BC⊥AC，再利用线面垂直得到BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC，结合（1）中，所以EF⊥平面PAC，得到面面垂直. 【详解】（1）因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EFBC， 因为平面ABC，平面ABC， 所以EF平面ABC； （2）因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC． 因为PA⊥平面ABC，平面ABC，所以BC⊥PA， 又，PA，平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 由（1）知，所以EF⊥平面PAC，又平面EFA， 所以平面EFA⊥平面PAC． 考点十点到平面的距离 46．已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于，连接，可证平面平面，是直线与平面所成的角，由已知可求得，求得，可求得点D到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 因为长方体中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以是直线与平面所成的角，所以， 又，所以，由，可得 所以点D到平面的距离为. 故选：A. 47．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 48．如图，在四棱锥中，底面，，，点是的中点，且，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面，得，再结合利用线面垂直的判定定理证得平面，从而可得； （2）解法1：由已知得是等边三角形，则，由得，从而可得，再由平面，可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；解法2：取的中点F，连接利用等体积法由可求得结果. 【详解】（1）证明：∵平面，且平面ABCD， ∴． 又，平面， ∴平面． 平面，∴． （2）∵ ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∴即 又∵平面，平面， ， 从而两两垂直． 在中， ∴ 在，． 法一：∵两两垂直， ∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，． ∵点是的中点， ，，，， 设是平面的一个法向量，则由得， 令，则∴． 从而，点到平面的距离． 法二：（等体积法）∵平面，平面，∴, ∴， ∵点是的中点，∴， 取的中点F，连接则 ∴ 在中，边上的高 ∴ 取的中点，连接，由（1）知是边长为2的等边三角形， 则， ∵平面，平面，∴平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面， ∵点是的中点，∴到平面的距离为， 又记点到平面的距离为， 则由即 得． 49．如图，在正四棱柱中，分别是的中点，且．    (1)求的长； (2)求点到平面的距离； (3)求证：． 【答案】(1)3 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）应用正四棱柱的线面垂直得出勾股定理求解； （2）应用线面平行及线面垂直计算求值； （3）先证明平行四边形即可得出线线平行，进而应用勾股定理计算证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为， 所以在中； （2）    过点C作交于点， 因为平面，不在平面内， 得平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离． 又因为平面，平面，所以， 由平面，得平面， 即得点到平面的距离为． 在中； 所以点到平面的距离为. （3）过点M作分别交与点，连接，    由且点M是EF的中点，所以点E是的中点． ，四边形是平行四边形，即， 在中，， 由得，， 即证：. 50．如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 考点十一异面直线所成角 51．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作辅助线，利用平移法找到异面直线EF与BD的所成角，设，求出相关线段的长，解三角形即可求得答案. 【详解】取的中点为，连接， 点E为线段的中点，则，故为异面直线EF与BD所成角或其补角； 由题意知为直角三角形，且，则为直角，即， 又平面BCD，且平面BCD，故， 平面，故平面， 而F为线段的中点。故，故平面， 平面，故， 设，则， 又，同理， 故为正三角形，则， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为， 故选：A 52．如图，在三棱锥中，，，，，，则（    ） A． B．平面 C． D．与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】利用线面垂直的判定定理可得出平面，再结合线面垂直的性质可判断A选项；利用勾股定理可得出，再利用线面垂直的判定定理可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；以、为邻边作矩形，连接，结合异面直线所成角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，，、平面， 所以，平面， 因为平面，所以，，A对； 对于B选项，因为，，，则，所以，， 因为，，、平面，所以，平面，B对； 对于C选项，因为，则， 因为平面，平面，则， 所以，，C错； 对于D选项，以、为邻边作矩形，连接，如下图所示： 因为，所以，与所成角为或其补角， 因为平面，平面，则， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，，所以，与所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 53．将边长为2的正方形（图1）沿对角线折成直二面角（图2），则（    ） A． B． C．直线与所成角为 D．点到平面的距离是 【答案】BD 【分析】对于A，由题意可得折叠后AB与CD异面，可判断A；对于B，取BD中点O，连接AO，CO，AC，证明平面，即可判断B；对于C，通过取分别取的中点，利用中位线平移异面直线，得出异面直线所成角为，证明为等边三角形，即可判断C；对于D，利用等体积法即可求得点到平面的距离. 【详解】对于A，折叠后，AB与CD异面，并不平行，故A错； 对于B，取BD中点O，连接AO，CO，AC， 由题意可得，， 所以平面,又平面，所以，故B正确； 对于C，分别取的中点,连接， 则，所以（或补角）为直线与所成角， 因为直二面角，又，平面平面， 所以平面， 取BO的点M，连接EM，易知，所以平面， 平面，所以， 在中，， ，即， 所以，所以， 即直线与所成角为，故C错误； 对于D，由选项C知，平面，又平面，所以， 因为， 所以， 在中，， 所以， 设点到平面的距离是h， ， 解得，故D正确. 故选：BD 54．已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】取中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】取中点，连接，由是的中点，得， 则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4， 由是的中点，得，， 在中，， 在中，. 故答案为： 55．如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形. (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）取中点，连接，利用平行四边形的性质和中位线定理可得或其补角为直线与所成的角，求出的各边长结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：在正六边形中，， 所以在五面体中，， 平面，平面， 平面. （2）取中点，连接， 由题意得，且， 四边形为平行四边形， ， 又分别为的中点， ， ， 或其补角为直线与所成的角， 在中，，，， ， ， 同理， 又， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点十二直线与平面所成角 56．棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出线面角，由正四面体的性质，即可求出其正弦值. 【详解】    如图，过作平面于点，连接， 则即为与平面所成角， 因为正四面体棱长为1， 则为的外心，则， ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 57．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，可得面，即角为直线与侧面所成的角，然后即可求解. 【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接， 由底面为正三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 于是在侧面上的射影为， 为直线与侧面所成的角， 设底面边长为，则，， 在直角三角形中，. 故答案为：    58．如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【详解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. （2）由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 59．如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助平行四边形性质，结合线面平行的判定即可解题；（2）方法一，借助辅助线找出线面角，结合三角函数知识解题；方法二，建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量，结合向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】（1）证明：取的中点记为点E，由于矩形ABCD中，， 且点Q为线段的中点， 则，则四边形EMDQ为平行四边形， 则，∵平面平面， ∴平面. （2）方法一：取BC中点N，连AN交BM于点O，连CM，则四边形ABNM为正方形， 且， ∴， 则二面角的平面角为 ，        ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴平面， 则为直线与平面所成线面角 ，            又， ∴． 则直线与平面所成线面角的正弦值为，       方法二：取BC中点N，连AN交BM于点O，则四边形ABNM为正方形， 且，∴， 则二面角的平面角为，              ∴平面ABCD， 以O为坐标原点，以OB，ON，所在直线为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系 则， 则， 设平面的法向量， 则，令，则 ，             且， 则， 则直线与平面所成线面角的正弦值为. 60．如图，在三棱柱中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作于，由条件确定，再结合，即可求证； （2）法一：求得点到面的距离，即可得到点到面的距离，由线面角定义即可求解；法二，建系，由点到面距离的向量公式求解即可. 【详解】（1）过作于， 因为面面，面面，在平面内， 所以面，而平面，故， 因为面，在面内， 所以，为面内两条相交直线， 所以面． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以，所以面．    （2）解法一：由（1）可知：直线，，两两垂直， 由题意，，， 可得：，， 所以在平行四边形中，由性质可得： 可得：． 由（1）知：面，由直角三角形面积, 可得：， 所以点到面的距离为． 又因为，而平面，平面， 所以面，所以点到面的距离为． 设直线与面所成的角为，则． 故直线与面所成的角的正弦值为． 解法二：    由（1）可知：直线，，两两垂直，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，， 所以，，，， 设面的法向量为，， 由可得：，令，得， 所以 所以， 故直线与面所成的角的正弦值为． 考点十三 平面与平面所成角 61．在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的二面角的平面角为，侧面等腰三角形的底角为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图，找到所求的四个角，根据的大小关系，可比较的大小关系，并发现它们都是锐角，根据定义作出相邻两侧面所成的二面角的平面角，利用等面积法求出的长，利用余弦定理计算可得是钝角，将四个角按照大小排序即可. 【详解】    如图，不妨设正四棱锥的底面边长为2，高，取中点，连接. 易知 所以，则. 过点作于点，连接，因为，所以， 所以即为相邻侧面和侧面所成的二面角的平面角， 即， 在中，根据余弦定理， , 其中，所以. 所以，. 故选：A. 62．在正方体中，二面角的平面角等于 ． 【答案】 【分析】根据二面角的平面角的定义，做出角的示意图，求出角. 【详解】 在正方体中，面，面， 所以，因为，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为,在正方体中易知. 故答案为：(或). 63．如图，棱长为2的正四面体中，分别是棱的中点，是点在平面内的射影. (1)求证：直线平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）根据射影定义求出三棱锥的高，再用锥体体积公式即可求得结果； （3）先根据二面角定义求出即为所求的二面角，再用余弦定理即可求角. 【详解】（1）因为分别是直线的中点， 所以.又平面，平面， 故直线平面. （2）由题意知， 则三棱锥的体积为. （3）取的中点为，连接， 因为四面体棱长均为2，故三角形三角形均为等边三角形， 因为是棱的中点，所以三角形为等边三角形， 且， 所以即为所求的二面角； 所以， 则， 由图观察，二面角为钝二面角， 则二面角的大小为. 64．如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)在四棱锥中，求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）连，交于，证平面，结合及线面垂直的性质证明结论； （2）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为，易得，利用线面平行化为求点到平面的距离，即可得； （3）过在平面内作垂直于，垂足为，由面面垂直判定和性质得平面，根据二面角的定义求二面角的大小. 【详解】（1）在等腰梯形中，连，则四边形为菱形， 连交于，则， 在四棱锥中，且都在平面内， 平面，，则平面， 由平面，故； （2）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为， 则，且，所以， 由平面平面，则平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离，距离为； （3）由（1）知平面且平面，所以平面平面， 平面平面，过在平面内作垂直于，垂足为， 平面，所以， 在中，，所以为中点，易知， 所以，而， 所以二面角的平面角为，大小为. 65．如图，直三棱柱内接于高为2的圆柱中，已知，，为的中点. (1)求圆柱的表面积； (2)求二面角的余弦值； (3)求到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件先求出圆柱的底面圆半径，再求其表面积； （2）先证明平面，得，从而即二面角的平面角，计算边长，利用三角函数即可求得； （3）利用等体积转化即可求得点面距离. 【详解】（1）因，，为的中点，则为底面圆的半径， 故圆柱的表面积为； （2） 如图，连接，因平面，平面，则， 又平面，故平面， 又平面，故，则即二面角的平面角. 在中， ， 由图知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为； （3）设点到平面的距离为， 则由，可得：， 解得：，即到平面的距离为. 考点十四内切球的有关计算 66．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】 根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 故选：C. 67．若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 【答案】 【分析】设为圆台的母线长，根据，结合勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体表面积公式求解即可. 【详解】如图，为圆台的母线长，分别为上，下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点． 则由题意可得：， ． 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为． 故答案为：． 68．三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为 . 【答案】 【分析】先求出锥体体积，再结合等体积法求解内切球的半径即可. 【详解】设球半径为r，平面，显然, 又，平面,故平面， 平面,则. 由于平面ABC，，， 则 ,. ，,, 故三棱锥侧面积为， . 故答案为：. 69．某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，利用相似即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，解得， 所以， 设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示， 其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，为切点， 则，则，即，解得， 所以该圆锥的内切球的体积， 故选：A. 70．从点出发三条射线两两成且分别与球相切于三点，若球的体积为，则的距离为 A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】连接OM交平面ABC于O'，由题意可得：△ABC和△MAB为正三角形，所以O'A= 因为AO'⊥MO，OA⊥MA，所以，所以 又因为球的体积为 所以半径OA=2，所以OM=2．故选A． 考点十五外接球的有关计算 71．在三棱锥中，，其他棱长都是，则三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则，且， 设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为， 连接，作，垂足为． 由题意得． 因为，所以，所以． 又，平面， 所以平面，则． 设三棱锥外接球的半径为，则， 即，解得， 故三棱锥外接球的表面积是． 故选：D 72．在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A．49π B．36π C．32π D．28π 【答案】A 【分析】设侧棱长为x，由求得和的余弦值，利用二倍角公式可求得，从而求得棱锥的高，设球心为M，球半径为，表示出，然后由勾股定理可求得，得球表面积． 【详解】设侧棱长为x，且易知 则， 因为，则,所以，解得， 所以， 设球心为M，则MP=MA=R，， 因为，所，解得，所以表面积， 故选：A. 73．四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意圆柱的底面半径为正三角形的外接圆半径，高为四面体的高，进而可得. 【详解】正三角形的外接圆半径为， 四面体的高， 所以圆柱的外接球的半径， 即该球的表面积， 故选：A 74．所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 75．在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 【答案】 【分析】设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，根据已知可求得，设正四棱台外接球的球心为O，半径为，利用已知可得，求解即可. 【详解】已知，， 设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，分别为上下底面的中心， 因为底面ABCD是边长为4的正方形，则， 已知，根据三角函数关系， 又因为， 即， 所以 设正四棱台外接球的球心为O，半径为 设球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面ABCD的距离为 上底面是边长为2的正方形，其外接圆半径， 下底面ABCD是边长为4的正方形，其外接圆半径 根据球心到正四棱台上下底面顶点距离相等 可得：， 则，即， 两边消去，可得，解得， 将代入，得 根据球的表面积公式，将代入可得 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用线面角求得正四棱台的高，进而利用空间几何体的性质求得外接球的半径. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题04 第八章立体几何初步 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 空间基本立体图形 1.棱柱的定义、图形及相关概念 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 图形及表示 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 如图可记作：棱锥S—ABCD 如图可记作：棱台ABCD—A'B'C'D' 相关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.空间四边形、四面体、正四面体的概念 (1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形. (2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥. (3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体. 3.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 类别 定义 图形及记法 轴截面 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 棱柱与圆柱统称为柱体 图中圆柱记作圆柱O'O 矩形 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 棱锥与圆锥统称为锥体 图中圆锥记作圆锥SO 等腰三角形 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 棱台与圆台统称为台体 图中圆台记作圆台O'O 等腰 梯形 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中球记作球O 圆 考点清单2 立体图形的直观图 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2.直观图的还原与计算 (1)直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. (2)若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 考点清单3 空间几何体的表面积和体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积 棱柱 S棱柱表=S棱柱侧+2S底 棱锥 S棱锥表=S棱锥侧+S底 棱台 S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台=h(S'++S) S'，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 3.圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积： S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 4.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 5.柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 球体 表面积是S球=4πR2；体积是V球=πR3. 考点清单4 空间点、线、面之间的位置关系 1.平面的概念及基本性质 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 作用；证明两条直线平行 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 2. 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.空间中直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系有且只有三种 （2）异面直线的画法 3.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 4.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条公共直线上) 符号表示 α∥β α∩β=l 图形表示 5.空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 考点清单5 空间直线、平面的平行 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 简记 线线平行，线面平行 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b 图形语言 简记 线面平行，线线平行 3.平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒β∥α 图形语言 简记 线面平行，面面平行 4.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 简记 面面平行，线线平行 　考点清单6 空间直线、平面的垂直 1.异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 2..直线与平面垂直的定义及画法 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 3.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 4.直线与平面垂直的判定定理及应用 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 简记 线线垂直，线面垂直 5.直线与平面垂直的性质定理及应用 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 6.平面与平面垂直的判定定理及应用 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直. 7.平面与平面垂直性质定理的应用 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，线面垂直 考点清单7 空间几何体距离和角度的计算 1.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 3.异面直线所成的角 可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法 (1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 3.直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角　 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 求斜线和平面所成的角的步骤 (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算. (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角. (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 4.二面角的概念 （1）二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）画法： （3）记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q. （4）二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 5.求二面角的方法 （1）定义法求二面角 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. （2）垂面法求二面角 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. （3）垂线法求二面角 垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的点A向另一个半平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. （5）射影面积法 反思感悟　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ=. 考点清单8 与球有关的内切、外接问题 一、求外接球半径的方法 1.直接法 找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 2.构造法 (1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解. ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示. ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示. ③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示. ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示. 3.寻求轴截面圆半径法 反思感悟　与球截面有关的解题策略 (1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. 4.确定球心的位置法 反思感悟　对于一般的几何体来说，解决外接球问题，关键是找到球心.由外接球定义，其球心在过每个面的多边形的外心且与该面垂直的直线上. 5.等体积法求内切球问题 求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点，各个面为底面的棱锥，这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小. 考点题型·巩新知 考点一 空间几何距离最短问题 1．如图，是圆柱的直径，是圆柱的母线，，，点是圆柱底面圆周上的点.，是线段上靠近点的三等分点，点是线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 3．正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 5．已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 考点二 立体几何的直观图 6．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A．B．C． D． 8．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（  ） A．8 B．10 C．12 D． 9．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ． 考点三 空间几何截面问题 11．已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 12．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 13．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．是平行四边形，且周长为 B．是平行四边形，且周长为 C．是等腰梯形，且周长为 D．是等腰梯形，且周长为 14．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 15．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 考点四 多面体的表面积和体积 16．如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 17．一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 18．某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（   ）（不考虑储物料斗斗壁的厚度） A．立方米 B．28立方米 C．立方米 D．84立方米 19．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 20．高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. (1)若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； (2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 考点五 旋转体的表面积和体积 21．某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 22．下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 23．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）．其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为（    ） A． B． C． D． 24．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 25．如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 考点六 直线与平面平行 26．如图，在直三棱柱中，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若 求直三棱柱的体积和表面积； 27．如图，在正方体中，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 28．已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 29．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． (1)线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； (2)求四面体的体积． 30．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 考点七 平面与平面平行 31．如图所示，三棱柱，是的中点，是的中点．求证： (1)//平面； (2)平面//平面D. 32．如图，在四棱锥中，平面，且分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为等边三角形，，判断几何体是什么几何体，并求其体积. 33．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 34．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 35．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 考点八 直线与平面垂直 36．如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 37．在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 38．如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 39．如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，分别为，的中点，. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 40．在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 (1)设F为ED的中点，求证：平面BCD； (2)求证：平面 考点九 平面与平面垂直 41．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． 42．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面平面.，，分别为的中点.求证： (1)平面； (2)平面平面； (3)求四棱锥的体积. 43．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 44．如图，在中，，平面，分别是上的动点，且.    (1)求证：不论为何值，总有平面⊥平面； (2)若，求证：平面⊥平面. 45．如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：EF平面ABC． (2)证明：平面EFA⊥平面PAC． 考点十 点到平面的距离 46．已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 47．已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 48．如图，在四棱锥中，底面，，，点是的中点，且，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 49．如图，在正四棱柱中，分别是的中点，且．    (1)求的长； (2)求点到平面的距离； (3)求证：． 50．如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点十一 异面直线所成角 51．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 52．如图，在三棱锥中，，，，，，则（    ） A． B．平面 C． D．与所成角的余弦值为 53．将边长为2的正方形（图1）沿对角线折成直二面角（图2），则（    ） A． B． C．直线与所成角为 D．点到平面的距离是 54．已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 . 55．如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形. (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 考点十二 直线与平面所成角 56．棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 57．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 . 58．如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 59．如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点． (1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 60．如图，在三棱柱中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角的正弦值． 考点十三 平面与平面所成角 61．在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的二面角的平面角为，侧面等腰三角形的底角为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 62．在正方体中，二面角的平面角等于 ． 63．如图，棱长为2的正四面体中，分别是棱的中点，是点在平面内的射影. (1)求证：直线平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的大小. 64．如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)在四棱锥中，求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的大小. 65．如图，直三棱柱内接于高为2的圆柱中，已知，，为的中点. (1)求圆柱的表面积； (2)求二面角的余弦值； (3)求到平面的距离. 考点十四 内切球的有关计算 66．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 67．若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 68．三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为 . 69．某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 70．从点出发三条射线两两成且分别与球相切于三点，若球的体积为，则的距离为 A． B． C． D．1 考点十五 外接球的有关计算 71．在三棱锥中，，其他棱长都是，则三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 72．在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A．49π B．36π C．32π D．28π 73．四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 74．所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 75．在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$