复习06 平行垂直的判定与性质及空间角（八大考点）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

复习06 平行垂直的判定与性质及空间角 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 空间中的平行关系 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 4．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 5．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 6．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 7．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 8．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 9.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点2 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3. 平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 4.平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点3 空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点一：线面平行、面面平行的判定定理 例1．已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足.若，求证：直线平面； 【答案】证明见解析； 【详解】取中点Q，连接，，    由，得M是线段中点，则，， 由四边形是矩形，N是线段的中点，得，， 于是，，所以四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以直线平面. 变式1-1．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    【答案】①②③④ 【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示， 对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确； 对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确； 对于③，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题③正确； 对于④，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，、平面， 所以平面平面，命题④正确.    故答案为：①②③④. 变式1-2．如图，已知，且，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由． 【答案】点是的中点，理由见解析 【详解】解  当点是的中点时，平面． 理由如下：如图，取的中点，连接，，， 则且． 又且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 所以当点是的中点时，平面． 变式1-3．如图，在长方体中，分别为和的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图，在长方体中，取的中点O，连接OF，OE． 在中，因为F，O分别是，中点， 所以，且， 因为四边形为矩形，所以，， 因为是的中点，所以， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 考点二：线面平行、面面平行的性质定理 例2．如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥，∴ 所以. 故选：C. 变式2-1．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 变式2-2．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】    连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以. 故选：A 变式2-3．如图，在四棱锥中，为的中点，是上的点，且平面，证明：为的中点． 【答案】证明见解析 【详解】因为，平面平面， 所以平面． 因为平面，平面， 所以可设平面平面， 又因为平面， 所以． 因为平面平面，所以，从而得． 因为为的中点，所以为的中点． 考点三：线面垂直的判定定理与性质定理 例3．在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据直棱柱的性质，平面ABCD， 所以高， ， ． （2）如图，连接OB，．    根据直棱柱的性质，平面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为底面ABCD是菱形，所以． 因为BD，平面，， 所以平面， 又平面，所以． 变式3-1．（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 【答案】BD 【详解】由题意，平面，因为平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，且为圆上异于的任意一点，所以， 故A错误； 因为，，又平面， 所以平面，故B正确； 因为平面，又平面，所以，故D正确； 若，由，平面， 则平面，又平面，则，这与矛盾，故C错误. 故选：BD. 变式3-2．在四面体中，已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图，作平面于点，连接，，， 则，，分别为，，在平面上的射影．    因为，又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，又平面， 所以，同理可证， 所以是的垂心，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，又平面， 所以． 变式3-3．如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面； 因为，所以平面. 又平面，所以. 由（1）知平面，因为平面交于点，可得平面. 所以，又，平面； 所以平面. 考点四：面面垂直的判定定理与性质定理 例4．如图，已知正方体．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为为正方体， 所以，且平面，平面， 所以平面. （2）因为为正方体， 所以平面， 又平面，所以. 又因为四边形为正方形，所以. ，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 变式4-1．如图，四棱锥的底面是菱形，底面，分别是的中点，，， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【详解】（1）四棱锥底面是菱形，连接，， 则是正三角形，由底面ABCD，平面， 得，由是的中点，得， 而平面，所以平面； （2）连接，由菱形，得，由是的中点， 得，则， 由底面，底面，得， 而平面，则平面， 又平面， 所以平面平面. 变式4-2．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. 变式4-3．如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为、分别为线段、上的点，且， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为，所以， 所以，，连接，又， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. 考点五：异面直线所成的角 例5．在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接，取的中点，连接， 因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 因为， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C.    变式5-1．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ． 【答案】 【详解】将平面展开图复原为如图所示的正方体： 设正方体的棱长为，连接，则， 由正方体的性质可得，故四边形为平行四边形， 故，故与所成的角即为或其补角，而， 故与所成的角为， 故答案为：. 变式5-2．如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接，如图所示， 由正方体得，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为中点，所以，所以， 则和所成角即为或其补角， 连接，在中，， 在中，，则， 所以和所成角的余弦值为， 故选：A． 变式5-3．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为 ． 【答案】或2 【详解】如图，过点D作DK∥CE，使得，则四边形是平行四边形，所以，且， 由异面直线所成角的定义，（或其补角）为异面直线a，b所成的角，不妨设，则，或． 先求，易知是正三角形，则 因为，所以，又，且，所以平面,而，于是平面，所以，于是. 再求，在中，由余弦定理可得，由前面推理可知，，所以. 于是或2. 故答案为：或2. 考点六：直线与平面所成的角 例6．已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，取正四棱台的上下底面中心为， 连接，则与正四棱台的上下底面垂直，即为棱台的高，设， 取的中点分别为，连接， 在直角梯形中，过点作交于点， 在等腰中，由，可得， 在等腰梯形中，由分别为的中点，可得， 所以为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角， 因为且正四棱台的体积为， 可得，解得，即， 在直角中，可得， 所以，即侧面与底面所成的二面角的余弦值为. 故选：A. 变式6-1．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，直线与平面所成夹角为，是侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接、，如下图所示：    因为平面，则直线与平面所成夹角为， 因为、平面，则，， 又因为，且，所以，， 故，同理可得， 因为、分别为、的中点，故且，且， 所以，异面直线与所成角或其补角， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，则， 所以，， 由余弦定理可得. 故选：D. 变式6-2．在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角. 设，则，，. 在中，由余弦定理可得， 则，所以. 故选：A 变式6-3．在空间内，若，则直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】如图，过点作平面，垂足为点，点在的平分线上， 作，连结， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 设，则，， 所以，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 考点七：平面与平面所成的角 例7．如图，在三棱锥中，． (1)平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，， 由余弦定理， 即，解得， 所以，即，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角， 取的中点，连接，因为，所以， 又，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 变式7-1．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，甲乙之间拉紧的绳长为，则库底与水坝所在平面夹角为 ． 【答案】 【详解】 过点作∥，且，所以四边形为平行四边形，∥，且，由题意知，，，因为∥，∥，所以，，又，所以平面，因为平面，所以，在中，，，所以，因为，，，所以为库底与水坝所在水平面夹角的平面角，，又，所以. 故答案为：. 变式7-2．如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. (1)求证：平面平面 (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴. ∵，点是线段的中点，∴， ∴为等腰直角三角形，故， ∴，即. ∵在直三棱柱中，，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） ∵四边形为矩形，点是线段的中点，∴， ∵，∴为等边三角形，故. 由题意得，，，∴， ∵，∴. 如图，过作平面，垂足为，连接，. 由（1）得，平面平面， ∵平面，∴平面平面. ∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离等于到平面的距离， ∵平面，平面，∴， ∵面，∴， ∴四边形为矩形，故，. 由平面，平面，∴，故. 由，得，     由（1）知，， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角， 在中，，∴. 由，，得为等腰直角三角形，即， ∴二面角的正弦值为. 变式7-3．已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； （3） 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 考点八：探索性问题 例8．三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为. (1)求证：面； (2)求三棱台的体积； (3)问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【详解】（1）连接， 在梯形中，过作交于， 由， 则为等边三角形,则， 四边形为菱形，则， 所以，即， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面， 过作，连接，平面， 平面平面， 则平面， 故几何体的高为， 如图，延长侧棱交于点，作于，连接， 由已知为中点，， 由（1）得，平面， 因为与底面所成角的正弦值为，则余弦值为， ，，， ， 由（1）得，则， 又因为与底面所成角的正弦值为， 所以， 故三棱台体积为. （3）如图， 作交于，过作于，则， 由（2）可得，平面， 则即为二面角的平面角， 又平面，则， 设，则， 则， 由，得，又， 所以， 若，则， 解得，所以，即为中点， 即侧棱上是存在点，使二面角成， 则. 变式8-1．如图，六面体的侧面为矩形，，，，，．    (1)求证：平面平面． (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：如图，连接，    侧面为矩形，所以，则， 因为，所以，所以， 因为，，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）线段上存在点，使得平面． 如图，过作于，则，    过作交于点，则，得． 下面证明时，平面， 因为，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． 变式8-2．如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点， 则， 又平面，平面， 则有， 而，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面， 所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，， 所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. 变式8-3．如图所示，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，为侧棱上的动点．侧面与底面所成的二面角的平面角为60°． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正切值； (3)在（2）条件下，在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）证明:因为在正四棱锥中,为底面正方形的中心, 所以平面平面,所以, 因为正四棱锥的底面为正方形,所以, 又平面, 所以平面,又平面, 所以平面平面. （2） 在上取点使得因为面又因为， 所以可知面又因为面所以 又底面为正方形，所以所以为二面角的平面角， 故正切值为 又因为侧面与底面所成的二面角的平面角为60°， 可知 故 所以二面角的正切值为. （3）延长交于,取中点,连接. 因为, 所以平面, 所以平面平面. 又, 所以为正三角形. 所以.又平面平面, 所以平面. 假设在棱上存在一点,使侧面, 则, 因为平面平面, 所以平面,又平面平面, 平面,所以,则, 因为为的中点,则为的中点,与已知矛盾, 故假设不成立, 所以在棱上不存在一点,使侧面. 一、单选题 1．为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列描述中正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【答案】D 【详解】对于A： 若，，则与平行或相交或异面，故A错误； 对于B： 若，，则或与相交，故B错误； 对于C： ，，则或与异面，故C错误； 对于D： 若，，，由面面平行的性质可知，故D正确． 故选：D． 2．在正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体棱长为，则， 由，知是与所成的角， 正方体中可知：， 所以. 故选：C 3．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 点在以为直径的圆的圆周上， 平面平面，, 又平面平面， 因为平面，所以, 是二面角的平面角， 又. 故选：C. 4．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 【答案】D 【详解】 如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 同理，， 则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以． 又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 即，所以， 所以该五面体的体积为 故选：D. 二、多选题 5．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 6．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A．直线与直线所成角为 B．平面 C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为 【答案】ABC 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 三、填空题 7．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 【答案】 【详解】连接， 由直四棱柱可得平面， 因为平面，故， 当时，因为，故平面， 而平面，故. 故答案为：. 8．A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时， ．    【答案】4 【详解】因为平面，平面，平面平面. 所以，M是的重心，N是的中线AF上的点， 所以E，F分别是BC，CD的中点，N是的重心, 所以， 又因为M，N分别是和的重心， 所以 且, 所以. 故答案为：4. 9．如图，矩形 ，，， 分别是 ， 的中点，将平面 沿 折起，使得二面角 的大小为 ．在折起后形成的空间图形中，有如下 个结论： ①平面平面； ②四边形是正方形； ③直线和所成角的正切值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】如图，设，则， 因为，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故①正确； 因为，平面，平面， 所以即为二面角的平面角，即， 所以， 因为，所以平面，则， 又，且，所以四边形是正方形，故②正确； 连接，则，又， 因为，所以即直线与所成的角， ，故， 所以，即直线与所成角的正切值为，故③正确. 综上，正确的有①②③. 故答案为：①②③. 四、解答题 10．如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，平面，平面，所以， 由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知， 因为分别为的中点，所以，则， 又因为平面，，所以平面； （2）连接，因为D、F分别为、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，而平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 11．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接， 在梯形中，由，得， 由点是棱上靠近端的三等分点，得，则， 而平面，平面，所以平面. （2）在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，，在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 12．如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在直角梯形中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在直角梯形中，，则， 因为为的中点，，故，， 所以四边形为矩形，故， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角是二面角的余角， 因此二面角的正弦值等于， 因为， 因为，故，所以， 综上所述，二面角正弦值的取值范围是. 13．如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. （3）取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 14．如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【详解】（1）连接，设的交点为，连接； 因为，，所以与全等，所以， 因为底面为菱形，所以，且为的中点，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以. （2）因为四边形是边长为2的菱形，且, 所以，. 因为，且为的中点，所以. 因为，所以,所以，. 由（1）知，因为，平面，所以平面; 设点C到平面的距离为， 因为，所以,解得. 因为平面，所以点到平面的距离为. （3）因为直线与平面所成角的正弦值为，所以,即. 过E作平面,垂足为F,连接，则点在的延长线上, ,从而, 设,则； 因为四边形为菱形,且,所以,所以, 由余弦定理可得, 则,解得,故. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习06 平行垂直的判定与性质及空间角 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 空间中的平行关系 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 4．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 5．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 6．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 7．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 8．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 9.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点2 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3. 平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 4.平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点3 空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点一：线面平行、面面平行的判定定理 例1．已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足.若，求证：直线平面； 变式1-1．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①平面；②平面； ③平面平面；④平面平面. 以上四个命题中，正确命题的序号是 .    变式1-2．如图，已知，且，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由． 变式1-3．如图，在长方体中，分别为和的中点．求证：平面． 考点二：线面平行、面面平行的性质定理 例2．如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 变式2-3．如图，在四棱锥中，为的中点，是上的点，且平面，证明：为的中点． 考点三：线面垂直的判定定理与性质定理 例3．在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 变式3-1．（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 变式3-2．在四面体中，已知，，求证：． 变式3-3．如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 考点四：面面垂直的判定定理与性质定理 例4．如图，已知正方体．求证： (1)平面； (2)平面平面． 变式4-1．如图，四棱锥的底面是菱形，底面，分别是的中点，，， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 变式4-2．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.证明：平面. 变式4-3．如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 考点五：异面直线所成的角 例5．在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ． 变式5-2．如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为 ． 考点六：直线与平面所成的角 例6．已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，直线与平面所成夹角为，是侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 变式6-2．在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．在空间内，若，则直线与平面所成角的余弦值为 . 考点七：平面与平面所成的角 例7．如图，在三棱锥中，． (1)平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 变式7-1．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，甲乙之间拉紧的绳长为，则库底与水坝所在平面夹角为 ． 变式7-2．如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. (1)求证：平面平面 (2)若，求二面角的正弦值. 变式7-3．已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 考点八：探索性问题 例8．三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为. (1)求证：面； (2)求三棱台的体积； (3)问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 变式8-1．如图，六面体的侧面为矩形，，，，，．    (1)求证：平面平面． (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 变式8-2．如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式8-3．如图所示，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，为侧棱上的动点．侧面与底面所成的二面角的平面角为60°． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正切值； (3)在（2）条件下，在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列描述中正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 2．在正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 4．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 二、多选题 5．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 6．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A．直线与直线所成角为 B．平面 C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为 三、填空题 7．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）. 8．A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时， ．    9．如图，矩形 ，，， 分别是 ， 的中点，将平面 沿 折起，使得二面角 的大小为 ．在折起后形成的空间图形中，有如下 个结论： ①平面平面； ②四边形是正方形； ③直线和所成角的正切值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 10．如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 11．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 12．如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 13．如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 14．如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$