精品解析：2025年安徽省马鞍山市中考三模数学试题

2025年安徽省初中学业水平考试 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 某地区2024年前三个季度的新能源汽车产量达606000辆，同比增长．将数据606000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 一个正方体截去一部分后得到的几何体按如图所示的方式水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线和上，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，，为上一点，过点作交于点，，连接，，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的面积为，为的中点，点在上，且，，，于点．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 9. 已知二次函数部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. E. 10. 如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____． 12. 已知方程的一个根为1，则方程的另一个根为_____． 13. 某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，交反比例函数的图象于点、点，，过点作轴于点，射线交轴于点，连接．完成下列探究： （1）若点的坐标为，则点的坐标为_____（用含，的代数式表示）； （2）若的面积是4，则的值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．（不写作法，保留作图痕迹） （1）请画出先向左平移7个单位再向下平移2个单位后得到的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在所给的网格中确定一个格点，使得射线平分的面积，写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． （1）设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ （2）若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 18. 如图，学校在体育中心正南方向处，商场在学校的正东方向．在大剧院处测得体育中心在北偏西方向，商场在南偏东方向处（点A，B，C，P在同一平面内），求学校与商场的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． （1）老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． （2）兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 20. 已知四边形内接于，与直径交于点，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，点在的延长线上，连接，，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】在数字化农业快速发展的时代，大数据分析与智能决策在水果产业中的作用愈发关键．芒果作为深受消费者喜爱的热带水果，其市场需求持续增长．为提升芒果产业的整体效益，实现精准化种植与科学化管理，某农业科技研究小组针对2024年个芒果主产区的产量数据展开深入研究．通过对这些数据的专业分析，为芒果种植园的规划布局、采摘时间安排、仓储保鲜策略及市场销售渠道拓展提供有力的数据支撑，借助科技力量优化芒果产业的全流程发展． 【数据收集与整理】将收集的个芒果主产区的产量数据（产量：，单位：万吨）进行如下分组： 组别 /万吨 整理数据后得到部分信息如下： ①组的数据（单位：万吨）为51，56，56，54，55，58． ②2024年芒果产量的频数分布直方图和扇形统计图如图所示： 任务1：_____，_____． 【数据分析与运用】任务2：C组数据的众数是_____；收集的这个芒果主产区2024年芒果产量的中位数是_____． 任务3：2024年各组芒果的平均产量如下表： 组别 平均产量/万吨 35 43 55 68 74 求这个芒果主产区2024年芒果的平均产量． 任务4：下列结论正确的是_____（填正确结论的序号）． ①如果收集个芒果主产区的产量数据都增加万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加万吨； ②如果组的所有数据都增加5万吨，那么这个芒果主产区芒果产量的平均数会增加0.5万吨； ③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在组，那么最高产量一定在组． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． （1）求抛物线的函数表达式． （2）为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，上一点，，为内一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，若点在线段上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽省初中学业水平考试 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 某地区2024年前三个季度的新能源汽车产量达606000辆，同比增长．将数据606000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：将数据606000用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 一个正方体截去一部分后得到的几何体按如图所示的方式水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：C． 4. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，熟知积的乘方运算法则是解题的关键； 根据积的乘方法则求解即可. 【详解】解：； 故选：D 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解不等式，用数轴表示不等式的解集，正确求解不等式的解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再用数轴表示这个解集即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 得， 在数轴上表示为： 故选：A． 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线和上，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质和三角板中的角度计算，弄清图形中各角之间的关系是解题的关键； 先根据三角板的特点和邻补角的定义求出，然后根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质即可求出答案. 【详解】解：如图，∵，， ∴根据三角板的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 7. 如图，为的直径，，为上一点，过点作交于点，，连接，，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，等边对等角等等，先由等边对等角得到，再由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴的长为， 故选：C． 8. 如图，的面积为，为的中点，点在上，且，，，于点．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作交于点，证明得，解得，由三角形的面积得，解出的值即可． 【详解】解：过点作交于点， ， ， ， ， 又， ， 的面积为， ， ， 为的中点， ， 故选：A． 9. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B. C. D. E. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是解题的关键； 先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点，得到，，当时，对应的函数，即，进一步即可作出判断. 【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点， ∴，抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，当时，对应的函数，即， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 观察各选项，只有B选项符合； 故选：B. 10. 如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．作于点，连接，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，求得，，证得，求得，推出点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，当点共线时，有最小值，最小值为的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：作于点，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∴点在上， ∴，， 此时点是的中点， ∵， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵为的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、零次幂，先化简算术平方根、零次幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6 12. 已知方程的一个根为1，则方程的另一个根为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵一个根为1， ∴另一个根为， 故答案为：． 13. 某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，根据题意列举出所有的等可能性的结果数，再找到两枚芯片编号的差值超过2的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，一共有1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4这6种情况，其中两枚芯片编号的差值超过2的只有1、4这种情况， ∴两枚芯片编号的差值超过2的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，交反比例函数的图象于点、点，，过点作轴于点，射线交轴于点，连接．完成下列探究： （1）若点的坐标为，则点的坐标为_____（用含，的代数式表示）； （2）若的面积是4，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质， （1）作，证明，得到，进而得到，根据点的坐标为，得到，，进而得到，求出点坐标即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，利用分割法列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）作， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∴，即：， 故答案为：； （2）由（1）设点的坐标为，则：，， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴ ， ∴； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简并准确计算是解答的关键．首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．（不写作法，保留作图痕迹） （1）请画出先向左平移7个单位再向下平移2个单位后得到的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在所给的网格中确定一个格点，使得射线平分的面积，写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2） （3）图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质确定点，再依次连接，得，则点的坐标为，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）根据网格特征，，即四边形是平行四边形，连接，则射线平分的面积，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：， 的面积为． 【小问3详解】 解：如图，点即为所求，点的坐标为． 【点睛】本题考查了勾股定理，点的坐标、平移作图，运用网格求面积，平行四边形的性质，中线平分面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． （1）设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ （2）若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 【答案】（1）填表见解析 （2）店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克 【解析】 【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组解应用题，设采购龙井茶千克、普洱茶千克，根据茶叶总量、茶叶单价即可列出代数式，再由等量关系列方程组求解即可得到答案．读懂题意，理解相关关系是解决问题的关键． （1）由题意，直接列表达式即可得到答案； （2）由（1）中表格数据，列二元一次方程组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：店主计划采购这三种茶叶总共50千克， 茉莉花茶质量为千克， 茉莉花茶的采购价为每千克200元， 茉莉花茶采购总价元， 填表如下： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 【小问2详解】 解：由（1）知，设采购龙井茶千克、普洱茶千克、茉莉花茶千克， 龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元，店主总共花了15000元购茶， ， 等式两边同时除以得， 等式两边同时除以得， 采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克， ， 由题意得， ，解得， 即龙井茶有7千克，普洱茶有15千克， 茉莉花茶为． 答：店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克． 18. 如图，学校在体育中心的正南方向处，商场在学校的正东方向．在大剧院处测得体育中心在北偏西方向，商场在南偏东方向处（点A，B，C，P在同一平面内），求学校与商场的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】学校与商场的距离约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点作于点，作于点，证明，．求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ，． 在中，，， ，， ． ， ． 在中，， ， ， ． 答：学校与商场的距离约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． （1）老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． （2）兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 【答案】（1）（ⅰ）11，16，19，17 ；（ⅱ）287 （2）过程见解析，， 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法计算，整式的加法计算等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）（i）根据题干即可求解； （ii）按照同样分式构造，那么第四次构造后的数，再相加即可； （2）仔细观察，整体代入，替换求解即可． 【小问1详解】 解：（i）， 故答案为：11，16，19，17 ； （ii）第三次构造后的数为：2，11，9，16，7，19，12，17，5， 按照同样分式构造，那么第四次构造后的数为：2，13，11，20，9，25，16，23，7，26，19，31，12，29，17，22，5， ∴第四次构造后， 故答案为：287； 【小问2详解】 解：假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 ， ∴． 20. 已知四边形内接于，与直径交于点，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，点在延长线上，连接，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由圆周角定理可得，再由平分，可得．再由，，可得，再由圆周角定理可得，得出，即可得出，再由等腰三角形的判定即可求证； （2）先由勾股定理可得，求出．再由平分，可得出，得出，即．再由圆内接四边形的性质可得．再求得．再证明，可得，，再证明为等腰直角三角形，可得，即，再求解即可． ． 【小问1详解】 证明：为的直径， ． 平分， ． ，， ． 和是所对的圆周角， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于， ． ， ． 在和中， ，，， ， ，． 为的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定与性质及勾股定理是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】在数字化农业快速发展的时代，大数据分析与智能决策在水果产业中的作用愈发关键．芒果作为深受消费者喜爱的热带水果，其市场需求持续增长．为提升芒果产业的整体效益，实现精准化种植与科学化管理，某农业科技研究小组针对2024年个芒果主产区的产量数据展开深入研究．通过对这些数据的专业分析，为芒果种植园的规划布局、采摘时间安排、仓储保鲜策略及市场销售渠道拓展提供有力的数据支撑，借助科技力量优化芒果产业的全流程发展． 【数据收集与整理】将收集的个芒果主产区的产量数据（产量：，单位：万吨）进行如下分组： 组别 /万吨 整理数据后得到部分信息如下： ①组的数据（单位：万吨）为51，56，56，54，55，58． ②2024年芒果产量的频数分布直方图和扇形统计图如图所示： 任务1：_____，_____． 【数据分析与运用】任务2：C组数据的众数是_____；收集的这个芒果主产区2024年芒果产量的中位数是_____． 任务3：2024年各组芒果的平均产量如下表： 组别 平均产量/万吨 35 43 55 68 74 求这个芒果主产区2024年芒果的平均产量． 任务4：下列结论正确的是_____（填正确结论的序号）． ①如果收集的个芒果主产区的产量数据都增加万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加万吨； ②如果组的所有数据都增加5万吨，那么这个芒果主产区芒果产量的平均数会增加0.5万吨； ③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在组，那么最高产量一定在组． 【答案】任务1：20，4；任务2：56万吨，56万吨；任务3：这20个芒果主产区2024年芒果平均产量是56.4万吨；任务4：②③ 【解析】 【分析】任务1：根据的区域个数和所占的百分比，求出总个数n即可；用总个数减去其他各项的数据得出a的值即可； 任务2：根据众数和中位数定义进行求解即可； 任务3：根据平均数计算公式求出这个芒果主产区2024年芒果的平均产量即可； 任务4：根据统计数据逐项进行判断即可． 【详解】解：任务1：， ； 任务2：C组数据中56出现的次数最多，因此众数是56万吨； 将收集的这个芒果主产区2024年芒果产量从小到大进行排序，排在第10和第11的都是56，因此中位数是（万吨）． 任务3：这个芒果主产区2024年芒果的平均产量为： （万吨）； 任务4：①如果收集的个芒果主产区的产量数据都增加万吨，那么这些地区芒果产量的总数会增加万吨，故此说法错误； ②如果组的所有数据都增加5万吨，那么这个芒果主产区芒果产量的平均数会增加万吨，故此说法正确； ③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差40万吨，且最低产量在组，那么最高产量一定在组，故此说法正确． 综上分析可知：正确的是②③． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，众数和平均数，根据统计信息回答问题，解题的关键是理解题意，熟练掌握统计图的特点． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． （1）求抛物线的函数表达式． （2）为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可； （ⅱ）先求出当抛物线经过点时，，当抛物线经过点时，，得出答案即可． 【小问1详解】 解：点在直线上， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， ， ， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为． ， ． ，， ， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ， 当时，取得最大值， ， 点的纵坐标也为． 令， 解得， 点的坐标为． （ⅱ）由题意，得点的坐标为． 如图，当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有两个交点， 当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有一个交点， 综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的特点． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，为上一点，，为内一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，若点在线段上，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由，可得，即，得出，再由，可得，可得出，即可证得结论； （2）在上取一点，使得，连接，先证明， 可得出，．再由，可得，得出，从而得出，再证明 ，可得，得出，再求解即可； （3）设，．先证明，可得．再由，可得，可得．由（2）同理可证，可得出，再求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，在上取一点，使得，连接． ，，， ， ，． ， ， ， ． ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设，． ，， ， ． 由（2）易知， ， ， ． 由（2）同理可证， ， ， 即， 解得（负值已舍去）， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$