2024—2025学年北师大版七年级下册数学期末复习解答题压轴题训练

2024—2025学年北师大版七年级下册数学期末复习 解答题压轴题训练 1．（1）问题解决：如图1，，，，求的度数． （2）拓广延伸：如图2，，点在射线上运动，则，，之间有何数量关系？请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，把三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为点，，． (1)写出点， 的坐标． (2)在图中画出平移后的三角形． 3．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为______________________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为______________________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 4．在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明． 5．如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 6．探究感知 （1）如图1，，，，求的度数； 类比应用 （2）如图2是一盏可以伸缩的台灯达到最佳照明角度的示意图，已知灯头与支架平行，与平行，支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．请分别求出和的度数． 7．【感知】 （1）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．按小明的思路，易求得的度数为 度； 【探究】 （2）如图2，点B，D在射线上，点A，C在射线上，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与，之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】 （3）在（2）的条件下，如果点P在线段外运动时（点P与点O，B，D不重合），试探究与，之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在射线上； ②点P在线段上． 8．为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，香远中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)求本次抽样的学生人数是多少； (2)将条形统计图补充完整； (3)该校九年级共有400人参加了这次考试，请估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，是的立方根．． (1)直接写出：________，________，________； (2)将线段平移得到线段，点的对应点是点，，点A的对应点是点D． ①直接写出点D的坐标_______； ②若点M在y轴上，且三角形的面积是6，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点E在y轴负半轴上运动，但不与点D重合，写出、、之间的数量关系，并说明理由． 10．如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，请找出之间的关系，并说明理由； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间如图所示位置时，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 11．如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 12．如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 13．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，．如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向/秒旋转，在36秒后停止运动． (1)当时间秒时，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当三角板的一边与三角形的某一边平行（不共线）时，求出时间的所有值． 14．如图，已知点，满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上平移运动，设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 15．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1） （2）当在之间时，；当在延长线时， ；当在之间时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）过作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）分①当在之间时；②当P在延长线时；③当P在之间时，三种情况分别同（1）方法可得． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴； （2）当在之间时，；当在延长线时， ；当在之间时，，理由如下： ①如图，当在之间时，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当在延长线时， 此时同理可得； ③如图，当在之间时， 此时同理可得， 综上所述，当在之间时，；当在延长线时， ；当在之间时，． 2．(1)， (2)作图见解析 【分析】本题考查坐标变换平移变换，熟练根据平移特征得出平移后的点的坐标是解题的关键． （1）利用向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度即横坐标加，纵坐标减，即可求解； （2）求出的坐标，再画图即可． 【详解】（1）解：∵三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形， ∴的对应点为，即， 的对应点为，即； （2）解：的对应点为，即， 如图，三角形为所求． 3．(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质分别求解即可； （2）①根据角平分线的定义设，，再结合（1）所得数量关系求解即可； ②同①可得，，，……从而推出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，当点在的左侧时，过点作， ， ， ，， ； 如图2，当点在的右侧时， ， ， ，， ， ； （2）解：①，分别平分和， 设，， ，， 由（1）可知，，， ，， ， ， ； ②与的角平分线交于点， ，， ， 同理可得，，，…… 则， ， ， ， ． 4．(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键． （1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答； （2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答； 【详解】（1）解：由图1可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； （2）解：由图2知： ∵平分， ∴， 设，所以， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴； 5．(1)20 (2)不能剪出满足题意的长方形，见解析 (3)能，大正方形的边长为，见解析 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得x的值，则长为，即可得出结论； （3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设小正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． （2）解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 不能剪出满足题意的长方形； （3）解：一共有5个边长为1的小正方形， 组成的大正方形的面积为5， 该大正方形的边长为，示意图如下： 6．（1）；（2）， 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图，过点作直线，先求出，再由，可得， 可得，且，从而求得，最后再由，求出的度数； （2）过点作直线，可得，再求出，得出，再由平行线的性质可得，，从而得出，最后再求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作直线， ， ， ． ， ， ，且， ， ， ； （2）如图，过点作直线， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（1）110；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，即可得到答案； （2）利用两直线平行内错角相等得到，，由即可得到结论； （3）①过点P作，．则．由即可得到； ②过点P作，则．再证得到．由即可得到结论． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）①如图，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ②如图，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 8．(1)本次抽样的学生人数为50人 (2)见解析 (3)80名 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数； （2）总人数乘以成绩类别为“中”的人数所占百分比即可得出其人数，即可补全条形统计图． （3）校九年级学生的数学成绩达到优秀的人数成绩类别为“优”的学生所占的百分比． 【详解】（1）解：（人）， 答：本次抽样的学生人数为50人； （2）解：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：数学成绩达到优秀有：（名）， 答：九年级大约共有80名学生的数学成绩达到优秀． 9．(1)，，． (2)①；②或； (3)，或，理由见解析． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根，平移，坐标与图形，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用平方根和绝对值得非负性，算出、的值，由立方根的定义求出的值； （2）①根据点B和点C的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点D坐标；②根据三角形的面积是，建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论点的位置，过点作，根据平行线的性质，得出，，的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，， 解得：，， ∵m是64的立方根， ∴， ∴，； 故答案为：，，． （2）解：①如图，∵将线段平移得到线段，点的对应点是点， ∴点D的坐标为，即； ②设点的坐标为， ∵，，且三角形的面积是， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：或，理由如下： 如图，当点在之间时，过点作， ∴，， ∴； 如图，当点在点的下方时，过点作， ∴，，， ∴． 综上所述，或． 10．(1)，见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键． （1）过点作，可是，再由可得，得出，再求解即可； （2）过点作，设，由可得，设，由，可得，得出，，即，再由可得，由（1）可得，得出，求得，即可得出答案； （3）由，，可得，，设，设，得出，由（1）可得，，可得，即可得出． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， 设， ∵与的角平分线交于点， 设 如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述， 11．(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，进而得出，则，即可得证； （2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解； （3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 由（1）可得 ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， 设 ∵与的角平分线交于点， 设 如图所示， ∵ 由（1）可得， ∴ ； 如图所示， 由（1）可得， ∴ 如图所示， 由（1）可得， ∴ 综上所述，或或 12．(1)64 (2) (3)18或90 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的判定与性质． （1）依据题意，过C作，又因为，从而，可得，又由，，最后可得，进而得解； （2）依据题意，平分，求出，根据角平分线的性质，平行线的性质，求解； （3）分情况讨论，列出关于t的式子，进行求解． 【详解】（1）解：过C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当位于与之间时，如图①， 由得：， ∵，经过时间t， 有， 则 而， ∴， 又∵，平分， ∴， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：； ②当位于下方时，如图②， ∵， ∴， 经过时间， 同理：， 则， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得， 综上：或90． 13．(1)，理由见解析 (2)或； (3)3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 【分析】本题考查了角的动态定义、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置． （1）如图，记，的交点为，求解，再结合三角形的内角和定理与垂直的定义可得答案； （2）分、和三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论； （3）分，，，，五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，记，的交点为， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：记旋转角为，如图，当时， ∴， 则， 如图，当时， ∴， 则， 如图，当时， ∴ 则 综上，在旋转过程中，与之间的关系为或； （3）依题意，分以下五种情况： ①当时，如图， ∴， ∴， 则（秒）， ②当时，此时，与重合，如图， 则（秒） ③当时，此时，，如图， 则， ∴（秒） ④当时，此时，与重合，如图， 则， ∴（秒） ⑤当时，如图， 则 （秒） 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 14．(1)，，， (2)存在， (3)不变，定值为3 【分析】本题考查非负性，坐标与图形，坐标与平移，正确的求出点的坐标，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）非负性求出的值，进而得到的坐标，平移求出坐标即可； （2）过D作的延长线，垂足为H，设M点坐标为，连接，根据，列出方程进行求解即可； （3）分当点N在线段上和点N运动到线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平移， ∴，，即：，； （2）解：存在 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点C和点D的坐标分别为和， ， 设M点坐标为，连接， ， ， ，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为t秒，， 过D作的延长线，垂足为H，连接， ， ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为t秒，，连接， ； 为定值3，故其值不会变化． 15．(1) (2) (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$