21.2 解一元二次方程第5课时 课件-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章　一元二次方程 §21.2　解一元二次方程 *第5课时　根与系数的关系 目录 CONTENTS A 课前导航预习 B 课内精讲精练 C 课后分层作业 1. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝_____.在初中阶段运用根与系数的关系时一定要注意“Δ＝b2－4ac≥0”这个前提条件. 课前导航预习 － 2. 利用根与系数的关系求含有两根x1，x2的代数式的值时，常见的代数式及变形如下： (1)＋＝______________________； (2)＋＝____________； (3)(x1＋1)(x2＋1)＝_______________________； (x1＋x2)2－2x1x2 x1x2＋(x1＋x2)＋1 2. 利用根与系数的关系求含有两根x1，x2的代数式的值时，常见的代数式及变形如下： (4)＋＝________________＝__________________ ； (5)＝______________ ＝ _________________ . 　 知识点1　一元二次方程的根与系数的关系 已知方程 2x2＝1－3x的两个根是x1，x2. (1)x1＋x2＝__________；x1x2＝__________. 课内精讲精练 典例探究 － － 变式 已知方程 2x2＝1－3x的两个根是x1，x2. (2)求＋的值. 解：原式＝＝. 将x1＋x2＝－，x1x2＝－代入，得 原式＝＝13. 解题策略 　　将含两根的代数式转化成含有x1＋x2和x1x2的形式是解决此类问题的关键. 知识点2　由含两根的等式求参量的值 若关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0的两实数根的平方和等于8，求m的值. 解：设方程的两实数根为x1，x2，则＋＝8， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝8. ∵x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2－2， ∴[2(m＋1)〗2－2(m2－2)＝8， 变式 整理，得m2＋4m＝0，解得m1＝0，m2＝－4. 当m＝0时，Δ＝12＞0，方程有两个实数根； 当m＝－4时，Δ＝－20＜0，方程无实数根. 综上所述，m的值为0. 解题策略 　　通过根与系数的关系将含两根的等式转化成含系数参量的方程求系数参量，注意最后一定要将参量值代入Δ＝b2－4ac检验，以确保方程有实数根.   达标练1　确定含两根代数式的值 1. 已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ＝_______. 达标小练 1 2. 已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是_________. －4 3. [2024·泸州]已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是________. 14 达标练2　确定字母参量的值 4. [2023·怀化]已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的一个根为－1，则m的值为_________，另一个根为_______. －1 2 5. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1x2＝1，则ba的值为______. 变式 6. [2024·遂宁]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1 ＝0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 证明：易得Δ＝－4(m－1)＝m2＋8. ∵m2≥0，∴m2＋8≥8＞0，即Δ＞0， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. 变式 6. [2024·遂宁]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1 ＝0. (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且＋－x1x2＝9，求m的值. 解：∵＋－x1x2＝9， ∴(x1＋x2)2－3x1x2＝9. 又x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1， ∴(m＋2)2－3(m－1)＝9， 整理，得m2＋m－2＝0， 解得m1＝－2，m2＝1， ∴m的值为－2或1. 1. [2023·天津]若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则( 　) A.x1＋x2＝6 B.x1＋x2＝－6 C.x1x2＝ D.x1x2＝7 课后分层作业 基础巩固 A 2. 若x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＋x1x2的值是(　 　) A.1 B.－1 C.5 D.－5 B 变式 3. 若方程x2＋x－1＝0的两实数根分别为α，β，则下列说法错误的是(　 　) A.α＋β＝－1 B.αβ＝－1 C.α2＋β2＝3 D.＋＝－1 D 4. 若关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－2m＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是(　 　) A.m＞0 B.m＞ C.m＜ D.m＜0 B 5. 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(　 　) A.－2 B.3或－2 C.3 D.－3或2 A 6. 若关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为_______. － 7. 若x1，x2是方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根，且(x1＋1)(x2＋1)＝－1，则k的值是_______. 3 8. [2024·乐山改编]若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0的两根为x1，x2，且＋＝3，则p的值为________. － 9. [2024·成都]若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为_______. 7 变式 10. 已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不等的实数根x1，x2. (1)若a为正整数，求a的值； 解：∵原方程有两个不等的实数根， ∴Δ＝－4(a2－a－2)＞0，解得a＜3. ∵a为正整数，∴a的值为1或2. 10. 已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不等的实数根x1，x2. (2)若x1，x2满足＋－x1x2＝16，求a的值. 解：∵＋－x1x2＝16， ∴－3x1x2＝16. 又x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2， ∴－3(a2－a－2)＝16， 即a2－5a－6＝0，解得a1＝－1，a2＝6. 由(1)可得a＜3，∴a的值为－1. 11. [2023·南充]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 证明：∵Δ＝[－(2m－1)]2－4(－3m2＋m) ＝16m2－8m＋1 ＝(4m－1)2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根. 变式 11. [2023·南充]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m ＝0. (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值. 解：由根与系数的关系， 得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵＋＝＝＝－2， ∴－2＝－，整理可得5m2－7m＋2＝0， 解得m1＝1，m2＝， 即m的值为1或. 12. [2023·泸州]若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　 　) A. B.2 C. D.2 能力提升 C 13. [2024·烟台]若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为_______. 6 变式 14. 已知x1，x2是关于x的方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且满足－＝10，则a的值为______. 15. 如果m，n是两个不相等的实数，且m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 014的值是___________. 2 025 变式 16. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0. (1)当m为何值时，方程有两个不等的实数根？ 思维拓展 解：∵方程有两个不等的实数根， ∴Δ＝(2m＋1)2－4(m2－4)＞0，解得m＞－， ∴当m＞－时，方程有两个不等的实数根. 16. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0. (2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值. 解：设方程的两根分别为a，b， 则a＋b＝－2m－1，ab＝m2－4. ∵2a，2b是边长为5的菱形的两条对角线的长， ∴a2＋b2＝52＝25，即(a＋b)2－2ab＝25， ∴(－2m－1)2－2(m2－4)＝25. 整理，得m2＋2m－8＝0，解得m1＝－4，m2＝2. ∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝－2m－1＞0， 且ab＝m2－4＞0，解得m＜－2. 由(1)可知m＞－， ∴－＜m＜－2，∴m的值为－4. 谢谢观看 $$