22.2 相似三角形的判定 课件-2025-2026学年沪科版数学九年级上册

22.2 相似三角形的判定 第1课时 平行线与相似三角形 说一说：什么是相似三角形？ 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 新课导入 如图, △ABC 与△A′B′C′ 相似, 记作“△ABC∽△A′B′C′”, 读作“△ABC 相似于△A′B′C′”. A B C A′ B′ C′ 新课探究 A B C A′ B′ C′ 对于△ABC∽△A′B′C′ ,根据相似形的定义，应有 ∠A=∠___, ∠B=∠___, ∠C=∠___, A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ 设△ABC与△A′B′C′ 的相似比为 k1 , △A′B′C′与△ABC 的相似比为 k2 . 当且仅当这两个三角形全等时，才有 k1 = k2 = 1. 1.两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 思考 2.两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？ 3.两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？ 如图, 在△ABC 中, D 为AB上任意一点, 过点 D 作 BC 的平行线 DE, 交 AC 于点 E. 那么, △ADE 与△ABC 相似吗？ 探究 A B C D E 要证△ADE 与△ABC 相似, 关键是要证明它们的对应边长度的比相等. 过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 F. A B C D E F ∵ DE // BC, DF // AC , ∴ ∵ 四边形DFCE是平行四边形, ∴DE = FC, 即 ∵ (对应边成比例) 又∵∠A=∠A, ∠B=∠ADE, ∠C=∠AED,（对应角相等） 在△ADE 和△ABC 中， ∴△ADE ∽△ABC . A B C D E F 当 DE 在 AB, AC 的延长线或 BA, CA 的延长线上时，△ADE与△ABC 相似吗？ 想一想 A B E D C A D E B C 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交, 截得的三角形与原三角形相似. 1. 如图, 点 D 在△ABC 的边 AB 上, DE//BC, DE交 AC 于点E, DF//AC, DF 交 BC 于点F, 判断下列比例式子是否成立. A B C D E F √ √ × √ 随堂演练 2. 如图, △ABC 中, DE//BC, GF//AB, DE、GF 交于点O, 则图中与△ABC 相似的三角形共有多少个？请你写出来. A B C D E F O G 3.如图,在△ABC中，DG//EH//FI//BC, （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果 AD = 1, DB = 3, 那么DG∶BC=______. A D G E H F I B C △ADG、△AEH、△AFI、△ABC. 1∶4 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交, 截得的三角形与原三角形相似. 课堂小结 第2课时 相似三角形判定定理1 观察两副三角尺，其中同样角度的两个三角尺大小不同，它们相似吗？ 新课导入 交流 根据定义,要判定两个三角形相似,必须证明对应角相等,对应边成比例,那么能不能像判定三角形全等一样,用较少的条件就能判定三角形相似呢？ 探究 已知:如图, 在△ABC 和△A′B′C′ 中, ∠A=∠A′, ∠B=∠B′. 求证: △ABC∽△A′B′C′. A B C C′ A′ B′ 证明 在 △ABC 的边 AB (或延长线)上,截取AD=A′B′, 过点 D 作 BC 的平行线 DE 交AC 于点 E, 则 △ADE∽△ABC. A B C C′ A′ B′ D E ∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B′, ∴∠ADE=∠B′. ∵∠A=∠A′, AD = A′B′, ∴△ADE≌△A′B′C′(ASA). ∴△ABC∽△A′B′C′. A B C D E C′ A′ B′ 相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 简记为：两角分别相等的两个三角形相似. 几何语言： ∵∠A =∠A′ ,∠B =∠B′, ∴△ABC∽△A′B′C′. A B C C′ A′ B′ 1.已知:如图, 矩形ABCD中, E 为BC 上一点, DF⊥AE 于 F, 若AB = 4, AD = 5, AE = 6, 求DF的长. A B C D E F 解 ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD // BC，∠B = 90° ∴∠DAE =∠AEB ∵DF⊥AE ∴∠DFA =∠B = 90° ∴△AFD∽△EBA 随堂演练 A B C D E F ∴ , 又∵ AB = 4, AD=5, AE=6. ∴ , ∴ . 2. 如图, 在△ABC 中, ∠C=90°, DE⊥AB 于E, DF⊥BC 于F. 求证: △DEH∽△BCA. 证明 ∵DE⊥AB, DF⊥BC, ∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90°, 而∠BHF = ∠DHE, ∴∠D=∠B, 又∵∠HED = ∠C = 90°, ∴△DEH∽△BCA. 3.已知△ABC 中, AB = AC, ∠A = 36°, BD 是角平分线, 求证: △ABC∽△BCD. 证明 ∵∠A=36°,△ABC 是等腰三角形, ∴∠ABC =∠C = 72°, 又 BD 平分∠ABC, 则∠DBC = 36°,在△ABC和△BCD中, ∠C 为公共角∠A = ∠DBC = 36°, ∴△ABC∽△BCD. 第3课时 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 说一说什么是相似三角形的判定定理1？ 简记为：两角分别相等的两个三角形相似. 新课导入 几何语言： ∵∠A =∠A′ ,∠B =∠B′, ∴△ABC∽△A′B′C′. A B C C′ A′ B′ 全等三角形可以用SAS来判定，那么相似三角形呢？能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 思考 交流 已知:如图, 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中, , ∠A=∠A′. 求证:△ABC ∽ △A′B′C′ . A C B A′ C′ B′ 证明 在△ABC 的边 AB（或延长线）上, 截取 AD = A′B′, 过点 D 作 BC 的平行线 DE 交 AC 于点 E, 则 A C B A′ C′ B′ D E △ADE ∽ △ABC. ∵ ∴ ∵ ∴ ∵∠A=∠A′, ∴△ADE ≌ △A′B′C′ (SAS). ∴△ABC ∽ △A′B′C′ . A C B A′ C′ B′ D E 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 相似三角形判定定理2 简记为:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 对于△ABC和△A′B′C′, 如果 ∠B=∠B′, 这两个三角形一定相似吗?试着画画看. 思 考 A B C B′ A′ C′ 1.下列条件能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( ). A. B. C. D. ，且∠A=∠C' ，且∠B=∠B' ，且∠B=∠B' D 随堂演练 2.如图，已知△ABD∽△ACE. 求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵ △ABD∽△ACE, ∴∠BAD=∠CAE, . ∴∠BAD+∠DAC= ∠CAE+ ∠DAC. 即∠BAC=∠DAE. 又∵ , ∴△ABC∽△ADE. 3.如图, 已知△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形, ∠ACB =∠EDB = 90°, 点 E 在边AC 上, CB、ED 交于点F. 证明：△ABE∽△CBD. 证明：∵△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形, ∴∠DBE=∠CBA =45°, ∴∠DBE-∠CBE=∠CBA-∠CBE. 即∠ABE=∠CBD，又 ∴△ABE∽△CBD. 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简记为:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 课堂小结 第4课时 相似三角形判定定理3 三边对应相等的两个三角形全等，这是判定三角形全等的SSS方法. 类似地，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ 新课导入 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍. 度量这两个三角形的角，他们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论. 交流 如图，在△ABC 和△A'B'C‘ 中， 求证: △ABC∽ △A'B'C' . A B C A′ B′ C′ 探究 A B C A′ B′ C′ 证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取 A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′ , 交A′C′ 于点E, 根据前面的定理, 可得 △A'DE∽△A'B'C'. D E ∴ . 又 , A'D=AB. ∴ , . ∴ DE=BC, A'E=AC. ∴△A′DE ≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C' . A B C A′ B′ C′ D E 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例, 那么这两个三角形相似. 相似三角形判定定理3 可以简单说成: 三边成比例的两个三角形相似. 几何语言： ∵ A B C A′ B′ C′ ∴ △A′B′C′∽△ABC . 例1 在△ABC和△A′B′C′ 中, 已知下列条件成立, 判断这两个三角形是否相似, 并说明理由. （1）AB=5, AC=3, ∠A=45°, A′B′=10, A′C′=6, ∠A=45°; （2）∠A=38°, ∠C=97°, ∠A′ =38°, ∠B′=45°; （3）AB=5, BC= , AC= , A′B′= , B′C′= 1, A′C′= . 例2 如图，BC与DE相交于点O.问： （1）当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ （2）当AC:AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ A 例3 如图,方格网的小方格是边长为 1 的正方形, △ABC与△A′B′C′ 的顶点都在格点上, 判断△ABC与△A′B′C′ 是否相似, 为什么？ C B A′ B′ C′ 1.试判定 △ABC 与△A′B′C′ 是否相似并说明理由. 已知: AB=6 cm, BC=8 cm, AC=10 cm, A′B′=18 cm, B′C′=24 cm, A′C′=30 cm. 解 ∵ ∴ △ABC∽△A′B′C′ . 随堂演练 2. 试判定△ABC 与△A′B′C′ 是否相似, 并说明理由. 在△ABC 和△A′B′C′ 中, 已知: AB=12 cm, BC=15 cm, AC=24 cm, A′B′=16 cm, B′C′= 20 cm, A′C′=30 cm. 不相似，因为对应边的比不相等. 3. 要制作两个形状相同的三角形框架, 其中一个三角形框架的三边长分别为 4、5、6, 另一个三角形框架的一边长为 2, 它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？ 解 设另外两条边长分别为 x , y . 方案(1) 3. 要制作两个形状相同的三角形框架, 其中一个三角形框架的三边长分别为 4、5、6, 另一个三角形框架的一边长为 2, 它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？ 方案(2) 3. 要制作两个形状相同的三角形框架, 其中一个三角形框架的三边长分别为 4、5、6, 另一个三角形框架的一边长为 2, 它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？ 方案(3) 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例, 那么这两个三角形相似. 可以简单说成: 三边成比例的两个三角形相似. 课堂小结 第5课时 直角三角形相似的判定方法 到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？ 判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似. 判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似. 新课导入 思考 两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形、两个直角三角形呢？ （1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？ 想一想 A B C D E F （2）一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的两条直角边对应成比例，这两个直角三角形是否相似？ A B C D E F （3）如果把（2）中的条件改为一条斜边和一条直角边对应成比例呢？ A B C D E F 已知: 如图, 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中, ∠C =∠C′ = 90°, . 求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ . A C B B′ A′ C′ 证明 设 , 则 AB = kA′B′ , AC = kA′C′ . ∴ △ABC∽△A′B′C′ . A C B B′ A′ C′ 直角三角形相似的判定方法 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 例4 如图, ∠ABC =∠CDB = 90°, CB = a, AC = b. 问当 BD 与 a, b 之间满足怎样的函数表达式时, 以点 A, B, C 为顶点的三角形与以点 C, D , B 为顶点的三角形相似？ A B D C a b 1. 锐角三角形ABC 的边 AB, AC 上的高 CE, BF相交于点 D, 请写出图中的两对相似三角形. A B C E F D △BED ∽△CFD. △BED ∽△BFA. 随堂演练 2. 在 Rt△ABC 与△A′B′C′中,∠C =∠C′ = 90°, 当具有下列条件时, 这两个直角三角形是否相似, 为什么？ （1）AB=10cm, AC=8cm, A′B′=15cm, B′C′=9cm; （2）AB=5cm, AC=4cm, A′C′=12cm, B′C′=9cm. （1）AB=10cm, AC=8cm, A′B′=15cm, B′C′=9cm; 解 由勾股定理得 A′C′=12 cm, B A C ∵ ∴ ∴△ABC ∽△A′B′C′. A′ C′ B′ （2）AB=5cm, AC=4cm, A′C′=12cm, B′C′=9cm. 解 由勾股定理得 A′B′=15 cm, B A C ∵ ∴ ∴△ABC ∽△A′B′C′. A′ C′ B′ 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 判断直角三角形相似的方法： 课堂小结 $$