【第二章 有理数的运算 02讲 有理数的乘法与除法】2025年暑假小升初衔接（新版人教版专用）七年级上册数学

第二章 有理数的运算 02讲 有理数的乘法与除法 知识清单 1、有理数乘法法则 1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2） 任何数同0相乘，都得0. 3） 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 2、有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式=0 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式=0 解：原式=－ =－ 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式=0 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 3、倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。 ② 没有倒数。 ③互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 ① 非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ② 带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4、有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1．计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式=0 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ． 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式=0 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 直击考点 题型1：有理数的乘法运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式=－10×0.2×2×5 =－2×2×5 =－20 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2：有理数乘法的实际应用 例1．宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键． 分别计算不同房价对应的收入，比较即可． 【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）. 所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高．故选：C． 例2．在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 变式1．下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，再列式王小武的应发工资是（元），即可作答． 【详解】解：∵在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”， ∴王小武的应发工资是（元）， 故选：A． 变式2．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 变式3．商店在上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的售出价格比前一天的涨跌情况（购进当日的售出价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品售出价格为每斤_____元； (2)本周内周_____该农产品的售出价格最低； (3)商店在本周的销售中的利润是多少元？ 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据题意，用前一天的售价加上与前一天的价格涨跌情况，进行求解即可； （2）求出每天的售价，进行判断即可； （3）用总售价减去总成本，进行计算即可． 【详解】（1）解：（元）； 故答案为：3.15； （2）星期一的售价为：元； 星期二的售价为：元； 星期三的售价为：元； 星期四的售价为：元； 星期五的售价为：元； 故周二的售价最低； （3）（元）； 答：商店在本周的销售中的利润是6575元． 变式4．根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量： 电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，据此列式计算即可作答； （2）结合刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，据此列式计算即可作答； （3）根据题意，制定一个奶茶订购方案为电话订购30杯，送3杯，则外卖订购杯，再结合红包类型尽可能多使用红包减少费用，据此列式计算即可作答． 【详解】解：问题1： 通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元）， 答：需花费630元． 问题2： 刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用， 则需花费（元）， 答：需花费667元． 问题3： 根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元， 则可以选择电话订购30杯，送3杯， 此时花费（元），则外卖APP订购杯； 通过某外卖分五次下单这13杯奶茶， 其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”， 则（元）， 订购总费用为（元）． 电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元． 故答案为：30；3；13（答案不唯一）． 题型3：有理数乘法的新定义问题 例1. 规定，则的值等于（     ） A．5 B． C． D．或 【分析】根据定义计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 例2．若定义一种新运算，规定，则________． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵，∴，故答案为：2． 变式1．定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解． 【详解】解：由题意，得：， ∴；故选D． 变式2．小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算___． 【分析】根据新定义的含义可得，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式3．记符号表示不超过x的最大整数，如，，． (1)分别写出和的值；(2)计算：． 【分析】（1）利用符号的意义解答即可； （2）利用符号的意义分别求得三个的值，再利用乘法法则运算即可． 【详解】（1），； （2）． 题型4：有理数的除法运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型5：有理数除法的实际应用 例1．一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，有理数除法的应用等知识点，读懂题意，根据“路程速度时间”正确列出算式是解题的关键． 先将换算成，然后根据“路程速度时间”列式计算即可． 【详解】解：， ， 故说法正确，说法错误； ， 故说法正确，说法错误； 综上，正确的说法有：， 故选：． 例2．教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【分析】本题考查了博弈策略，整数的除法运算及余数概念，熟练掌握整数的除法运算及余数概念是解题的关键； （1）根据每轮两人戳洞的总数情况，得出选择控制每轮两人一共戳3个洞（一人戳1个时另一人戳2个，或者一人戳2个时另一人戳1个）．根据不管先开始的人第一次戳1个还是2个圆圈，后开始的人都可以通过相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共3戳个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳3个圆圈，这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈获胜． （2）根据两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈，同样要从24个圆圈总数出发，找到合适的每轮戳洞总数，让其能整除（或结合余数来控制局面），以确定必胜策略．分别计算除以每轮可能总数的情况发现，如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 【详解】（1）解：后开始的必胜， ∵每人一次可戳一个或两个圆圈， ∴两人一轮戳洞的数量之和存在三种可能情况： 若两人都戳一个圆圈，一轮共戳2个圆圈； 若一人戳一个，另一人戳两个，一轮共戳3个圆圈； 若两人都戳两个圆圈，一轮共戳4个圆圈． 通过计算分别除以每轮可能的总数情况： （轮）； （轮）； （轮）． 发现24能被3整除，这意味着如果能保证每轮两人一共3戳个圆圈，经过8轮就能戳完所有圆圈，并且可以通过先后手的策略来控制局面． 具体操作如下： 先开始的人先戳洞，不管先开始的人第一次戳1个还是1个圆圈，后开始的人都可以相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共戳3个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共3戳个圆圈．这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈，从而获胜． （2）先开始的人有必胜策略． ∵游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个）， ∴两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈， ∴； ； ； ； ； ； ． 发现，即如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 具体操作如下： 先开始的人先戳4个圆圈，此时剩下个圆圈．然后不管后开始的人戳1个、2个、3个还是4个圆圈，先开始的人在后续的每一轮中，都根据后开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳5个圆圈．这样经过4轮后，先开始的人就可以戳到最后一个圆圈，进而获胜． 变式1．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 变式2．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打8折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ） A．80元 B．120元 C．160元 D．200元 【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数． 【详解】解：40÷（1-80%） =40÷20% =200（元） 200-40=160（元） 所以他购买这件商品花了160元． 故选：C． 变式3．天干地支纪年法源于中国，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支．如下表，算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以的余数查出地支．如：年尾数3为癸，除以余数为7，7为卯，那么年就是癸卯年，七年级某班小明同学出生年份是年，则年是（   ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 A．庚寅年 B．庚辰年 C．辛卯年 D．辛辰年 【分析】本题考查了有理数除法的实际应用，理解并掌握天干地支纪年法的确定方法是解题的关键．先根据的尾数确定天干，再用得到余数，确定地支即可． 【详解】的尾数为，1为辛， ，为卯， 年是辛卯年． 故选：C． 变式4．中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．    【分析】本题考查有理数运算的实际应用，先求出每千米的票价，进而求出李老师买票的费用除以单价，求出里程，进行判断即可． 【详解】   （元/千米） （千米） （千米）或（千米） 到站或到站都可． 题型6：有理数除法的新定义问题 例1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 例2． （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够理解取整的函数是解答本题的关键．利用取整函数把算式变为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式1．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 【分析】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．根据“和倍数”的定义依次判断即可 【详解】解∶∵ ， ∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确； ∵ ， ∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确； ∵ ， ∴214不是“和倍数”， ∵ ， ∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确； 故选：A． 变式2．我们规定，则（    ） A． B．1 C． D． 【分析】本题考查了有理数的乘除法、有理数的大小比较，正确理解规定的运算法则是解题关键．先根据规定的运算法则进行转化，再计算有理数的乘除法求解即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 变式3．对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算； (2)计算； (3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。 【分析】（1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据新定义先计算，再计算即可； （3）令，，分别计算和进行验证即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； （3）解：令，，则，， ∵，∴在这一运算中不成立． 题型7：有理数的四则混合运算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型8：有理数四则混合运算的实际应用 例1．某种品牌的型汽车年平均每辆汽车的生产及营销成本为万元，平均每辆汽车的销售价为万元，生产并售出万辆；通过技术革新和营销策略调整后，年平均每辆汽车的生产及营销成本比上一年降低了，平均每辆汽车的销售价为万元/辆，生产并售出万辆．若型汽车的年利润等于销售总价与生产及营销成本总价的差，则年型汽车年利润的增长率为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意分别求出年型汽车的年利润，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，年型汽车年利润为元， 年型汽车年利润为元， ∴年型汽车年利润的增长率为， 故选：． 例2．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 变式1．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有(个)，解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有(个)， 故选：C． 变式2．端午节到来之际，甲、乙、丙三个超市都进行促销活动，同一品牌原件20元一袋的八宝糯米粽子，甲超市每袋降价，乙超市买三送一，丙超市每袋打八折出售，妈妈要买4袋粽子，去（       ）超市购买更省钱． A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数大小比较，分别计算出三个超市优惠后的价格，进行比较法解决问题即可． 【详解】解：（元）， 甲超市优惠后价格： （元）， 乙超市优惠后价格： （元）， 丙超市优惠后价格：（元）， ， 则从乙超市购买最省钱， 故选：B． 变式3．2024年11月1日，《电动自行车安全技术规范（征求意见稿）》正式实施，“新国标”沿用了2018年提出的电动自行车设计速度最高不超过的规定，并强调不符合强制性标准的电动自行车一律不得生产、销售或者提供．某公司新生产一款电动自行车，并于11月5日进行上路试验产品是否符合国家标准．试验员王某驾驶这款电动自行车在试验场进行来回极限（最高速度）跑动测试，王某从试验起点出发，如果规定向东记为正，向西记为负，则王某跑动测试情况（单位：米）如下：，，，，，，． (1)试验员王某在跑动测试结束时，请计算说明王某在试验起点哪个方向，距离多少米？ (2)试验员王某在这次的极限（最高速度）跑动测试中所用总时间为（中间掉头时间不计），请判断该款电动自行车测试结果是否符合设计速度最高不超过的规定，并说明理由． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解题的关键． （1）把测试情况数据相加，根据结果的正负情况即可作出判断； （2）求出测试的总路程，根据速度、路程与时间的关系，求出速度，并与最高速度比较即可作出判断． 【详解】（1）解： （米）； 答：王某在试验起点西面，距离起点104米； （2）解：款电动自行车测试结果是符合设计速度最高不超过的规定． 理由如下： （米） 而1000米千米， 则测试时的速度为：（千米/时） 而， 即该款电动自行车测试结果是符合设计速度最高不超过的规定． 课后作业 一、单选题 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 【分析】本题考查的是倒数的含义，熟记倒数的定义是解本题的关键． 乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义可得答案． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 【分析】本题主要考查了最小公倍数的应用，有理数运算的应用，先求出45和55的最小公倍数为，即每走重合一个脚印，然后用（步），（步），得出每的脚印个数为个，然后用得出一圈共有5个循环，然后求出结果即可． 【详解】解：45和55的最小公倍数为， （步）， （步）， （个）， ， ， 即这个冰雕的底面周长大约是， 故选：D． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数在数轴上的位置与有理数的运算及绝对值的关系，解题的关键是根据数轴判断出a、b的正负性、绝对值大小，再据此分析各选项． 先根据数轴确定a、b的取值范围和绝对值大小关系，然后分别对每个选项进行分析判断． 【详解】A、因为是负数，是正数，且，根据异号两数相加，取绝对值较大的符号，所以，该选项错误，符合题意； B、，是正数，则是负数，也是负数，两个负数相加结果为负，即，该选项正确，不符合题意； C、为负，为正，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，所以，该选项正确，不符合题意； D、由数轴上到原点的距离大于到原点的距离，可知，该选项正确，不符合题意. 故选：A． 5．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 6．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）老师从一楼办公室去某教室上课，走一层楼有10个台阶，走了30个台阶．老师要去的这个教室在第（   ）层． A．三 B．四 C．五 D．无法确定 【分析】本题考查了有理数除法，解答本题的关键是掌握1楼没有台阶，所以楼层数间隔数．把楼层与楼层之间的10个台阶看作1个间隔，先求得一共走过了几个间隔：（个），一楼没有台阶，所以老师要去的这个教室在第层． 【详解】解：（层） 故答案为：B． 7．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：B． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 【分析】本题考查有理数的运算．根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解： ； 故选A． 9．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 10．（24-25七年级上·陕西·期末）一台计算机按如图所示的程序工作，若开始输入的值是，则最终输出的结果是（    ）    A．132 B．108 C．117 D．102 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，将代入程序中，可得，继续代入计算，再次代入，求出结果即可． 【详解】解：， ， ． 所以，最终输出的结果是102． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理，，，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可． 【详解】解：∵， 则的倒数是， ∴的相反数是 ， ∴的绝对值是， 故答案为： 12．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）定义新运算：，计算 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据列式计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 ． 【分析】本题主要考查了因数定义，新定义运算．解题的关键在于正确的计算．由题意知28的正因数有：1，2，4，7，14，28；其中真因数为1，2，4，7，14，计算求解即可． 【详解】解：∵28的正因数有：1，2，4，7，14，28；其中真因数为1，2，4，7，14， ∴28的“完美指标”为． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 15．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 三、解答题 16. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式的倒数为 ． 故原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式        解：原式 解：原式 解：原式          解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式式 解：原式 解：原式 解：原式 17．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正、向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，出发时油箱油量为20升，那么送完这5批客人后还剩多少升油？ 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意列出算式求解是解题的关键． （1）把表格中的行程记录相加，结果取绝对值即为与公司的距离，若结果为正，则在公司南边，为负则在公司北边，为0则回到公司，据此求解即可； （2）求出总路程，进而求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解：， 规定向南为正，向北为负， 接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南边处． （2）解：（升）， 答：送完这5批客人后还剩15升油． 18．（24-25七年级上·广西柳州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，正确根据新定义列出对应的算式是解题的关键． （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意得，； （2）解：， ∴ ． 19．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 【分析】本题主要考查了有理数混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意列出对应的算式是解题的关键。 （1）根据把表格中前三天的生产记录相加，再加上计划三天的生产量可以计算出前三天共生产了多少辆自行车； （2）根据表格中的数据，可以计算出生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少辆自行车； （3）根据题意先计算出总生产量，再计算出奖励和扣除的费用以及生产费用即可得到答案． 【详解】（1）解：辆， ∴前三天共生产了辆， 故答案为：； （2）解：由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆， 故答案为：； （3）解：， ， ， （元）， 答：工人这一周的工资总额是元． 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为： (元)． 答：周三收盘时股价为元； （2）解：周一股价为：(元)； 周二股价为：(元)； 周三股价为：(元)； 周四股价为：(元)∶ 周五股价为：(元)； 答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元； （3）解：根据题意得∶（元） 答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元． 21．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 22．（24-25六年级上·上海·期中）办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的算式求解是解题的关键． （1）先求出总加油数，则可求出按照原价加油的费用，再减去办卡的费用即可得到答案； （2）根据题意可得个位数字是5的日期有5天，那么分别求出5天普通日子的加油数和5天特殊日子加油的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：在计划日期内至少优惠了元； （2）解：2月15日至3月31日期间，个位数字是5的日期有2月15日，2月25日，3月5日，3月15日，3月25日，一共五天特殊日期， 升， ∴总共最多可以加升油． 23．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）解：由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数的运算 02讲 有理数的乘法与除法目录 【知识点1. 有理数乘法法则与运算律】…………………………………………… 1 【知识点2. 倒数】…………………………………………………………………… 3 【知识点3. 有理数除法法则】……………………………………………………… 4 【知识点4. 有理数的乘除混合运算】……………………………………………… 4 【题型1. 有理数的乘法运算】……………………………………………………… 5 【题型2. 有理数乘法的实际应用】………………………………………………… 6 【题型3. 有理数乘法的新定义问题】……………………………………………… 9 【题型4. 有理数的除法运算】……………………………………………………… 10 【题型5. 有理数除法的实际应用】………………………………………………… 11 【题型6. 有理数除法的新定义问题】……………………………………………… 13 【题型7. 有理数的四则混合运算】………………………………………………… 14 【题型8. 有理数四则混合运算的实际应用】……………………………………… 15 【课后作业】…………………………………………………………………………… 17 知识清单 1、有理数乘法法则 1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2） 任何数同0相乘，都得0. 3） 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 2、有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1. 计算 知识清单 3、倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。 ② 没有倒数。 ③互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 ① 非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ② 带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4、有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1．计算 直击考点 题型1：有理数的乘法运算 1. 计算 题型2：有理数乘法的实际应用 例1．宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 例2．在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 变式1．下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 变式2．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 变式3．商店在上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的售出价格比前一天的涨跌情况（购进当日的售出价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品售出价格为每斤_____元； (2)本周内周_____该农产品的售出价格最低； (3)商店在本周的销售中的利润是多少元？ 变式4．根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量： 电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 题型3：有理数乘法的新定义问题 例1. 规定，则的值等于（     ） A．5 B． C． D．或 例2．若定义一种新运算，规定，则________． 变式1．定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 变式2．小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算___． 变式3．记符号表示不超过x的最大整数，如，，． (1)分别写出和的值；(2)计算：． 题型4：有理数的除法运算 1. 计算 题型5：有理数除法的实际应用 例1．一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 例2．教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 变式1．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 变式2．某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打8折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ） A．80元 B．120元 C．160元 D．200元 变式3．天干地支纪年法源于中国，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支．如下表，算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以的余数查出地支．如：年尾数3为癸，除以余数为7，7为卯，那么年就是癸卯年，七年级某班小明同学出生年份是年，则年是（   ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 A．庚寅年 B．庚辰年 C．辛卯年 D．辛辰年 变式4．中国高铁设计标准高，行驶稳定，是中国发展的一张独特而亮丽的“名片”．至2022年底，中国高铁运营里程超过4.3万千米，位居世界第一，高铁的票价是按“票价每千米乘车价钱乘车路程”的方法计算的，已知站至站的里程为2000千米，全程票价为800元，沿途各站的路程如图．李老师从站上车，购买了一张80元的票，他可能会在哪一站下车？请列式说明．    题型6：有理数除法的新定义问题 例1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2． （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 变式1．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 变式2．我们规定，则（    ） A． B．1 C． D． 变式3．对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算； (2)计算； (3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。 题型7：有理数的四则混合运算 题型8：有理数四则混合运算的实际应用 例1．某种品牌的型汽车年平均每辆汽车的生产及营销成本为万元，平均每辆汽车的销售价为万元，生产并售出万辆；通过技术革新和营销策略调整后，年平均每辆汽车的生产及营销成本比上一年降低了，平均每辆汽车的销售价为万元/辆，生产并售出万辆．若型汽车的年利润等于销售总价与生产及营销成本总价的差，则年型汽车年利润的增长率为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 变式1．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．端午节到来之际，甲、乙、丙三个超市都进行促销活动，同一品牌原件20元一袋的八宝糯米粽子，甲超市每袋降价，乙超市买三送一，丙超市每袋打八折出售，妈妈要买4袋粽子，去（       ）超市购买更省钱． A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样 变式3．2024年11月1日，《电动自行车安全技术规范（征求意见稿）》正式实施，“新国标”沿用了2018年提出的电动自行车设计速度最高不超过的规定，并强调不符合强制性标准的电动自行车一律不得生产、销售或者提供．某公司新生产一款电动自行车，并于11月5日进行上路试验产品是否符合国家标准．试验员王某驾驶这款电动自行车在试验场进行来回极限（最高速度）跑动测试，王某从试验起点出发，如果规定向东记为正，向西记为负，则王某跑动测试情况（单位：米）如下：，，，，，，． (1)试验员王某在跑动测试结束时，请计算说明王某在试验起点哪个方向，距离多少米？ (2)试验员王某在这次的极限（最高速度）跑动测试中所用总时间为（中间掉头时间不计），请判断该款电动自行车测试结果是否符合设计速度最高不超过的规定，并说明理由． 课后作业 一、单选题 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 3．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）老师从一楼办公室去某教室上课，走一层楼有10个台阶，走了30个台阶．老师要去的这个教室在第（   ）层． A．三 B．四 C．五 D．无法确定 7．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 9．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·陕西·期末）一台计算机按如图所示的程序工作，若开始输入的值是，则最终输出的结果是（    ）    A．132 B．108 C．117 D．102 二、填空题 11．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 12．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）定义新运算：，计算 ． 13．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 ． 14．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 15．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 三、解答题 16. 计算 17．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正、向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，出发时油箱油量为20升，那么送完这5批客人后还剩多少升油？ 18．（24-25七年级上·广西柳州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 19．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 21．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 22．（24-25六年级上·上海·期中）办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 23．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$