第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习培优讲义，7题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 有理数的乘法 2 知识点02 有理数的除法 3 剖题型·讲技巧 题型1 基础单步有理数乘除运算 4 题型2 多个有理数连乘运算 6 题型3 倒数相关求值问题 7 题型4 乘法分配律简便运算（培优核心） 8 题型5 有理数乘除混合运算 9 题型6 乘积符号判断选择题（高频易错） 10 题型7 乘除实际应用题 11 释疑惑·重难拓展 题型1 带分数拆分简便运算（压轴必考） 13 题型2 倒数、相反数、绝对值综合求值 14 题型3 含参数符号分类讨论（七上难点） 14 知中考·真题探源 15 练好题·提分培优 17 课标要点 1. 理解有理数乘法、除法的意义，掌握有理数乘、除运算法则，能熟练进行有理数乘除基础运算。 2. 掌握多个有理数相乘的符号判定规则，熟练运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算。 3. 掌握倒数的概念与性质，明确0没有倒数，能够快速求解任意非零有理数的倒数。 4. 熟记有理数乘除混合运算顺序，掌握“化除为乘”的核心方法，能解决基础实际应用问题。 5. 建立符号意识，规避乘除运算常见易错点，提升有理数运算的准确性和熟练度。 知识点01 有理数的乘法 1. 两数相乘法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，结果都为0。 公式总结： ① 同号相乘：若 同为正数或同为负数，则 ； ② 异号相乘：若 一正一负，则 ； ③ 特殊运算：。 2. 多个有理数相乘符号规律 ① 因数中不含0：积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负，最终结果为符号乘以所有因数绝对值的乘积； ② 因数中含0：无论其他因数是什么，积直接为0。 3. 有理数乘法运算律（全程适用） 有理数范围内，小学所有乘法运算律依然成立，是简便运算的核心依据： ① 乘法交换律： ② 乘法结合律： ③ 乘法分配律：（培优重难点，必考简便运算） 4. 倒数的概念与性质 定义：乘积为1的两个数互为倒数。若 ，则 与 互为倒数。 核心性质： ① 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，倒数不改变数的符号； ② 1的倒数是1， 的倒数是 ； ③ 0没有倒数（不存在任何数与0相乘等于1）。 练习 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 知识点02 有理数的除法 1. 除法法则一（符号判定法则） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 2. 除法法则二（化除为乘万能法则） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，是乘除混合运算的核心方法。 公式： 3. 有理数乘除混合运算通用步骤 第一步：统一变形，将所有除法转化为乘法（除数变倒数）； 第二步：判定符号，数式子中负因数的个数，遵循“奇负偶正”； 第三步：计算数值，对所有绝对值进行约分、相乘； 第四步：整合结果，组合符号与数值，写出最终答案。 练习 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型1 基础单步有理数乘除运算 方法技巧 先定符号，再算绝对值；分数运算优先约分，再相乘相除，简化计算量。 【典例1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 多个有理数连乘运算 方法技巧 有零积为零，无零看负号，奇负偶正定符号，绝对值相乘算数值。 【典例2-1】计算： (1)； (2)． 【典例2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 倒数相关求值问题 方法技巧 小数、带分数求倒数必须先化为假分数；题干出现“互为倒数”，直接默认 代入计算。 【典例3-1】写出下列各数的倒数： ，，，，，，． 【典例3-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，求的值． 【变式3-1】求下列各数的倒数：，，，，． 【变式3-2】（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）列式计算． 一个数的倒数与的和是，这个数是多少？ 【变式3-3】（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）定义新运算． (1)求； (2)这种新运算满足结合律吗？若满足，请说明理由；若不满足，请举反例． 题型4 乘法分配律简便运算（培优核心） 方法技巧 包含两大必考模型，是期中期末高频考点： ① 正向分配：，多用于数乘分数和式展开 示例： ② 逆向提取：，多用于合并同类因式简化运算 示例： 【典例4-1】计算： (1)； (2)． 【典例4-2】数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确 (2)请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： 【变式4-1】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【变式4-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【变式4-3】计算的值． 题型5 有理数乘除混合运算 方法技巧 坚决杜绝分步计算，统一化除为乘，一次性判定符号，整体约分计算，减少出错概率。 【典例5-1】（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【典例5-2】（25-26七年级上·全国·期末）计算：． 【变式5-1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： 【变式5-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算：． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）计算： 【变式5-4】（25-26六年级上·上海·期末）计算： 题型6 乘积符号判断选择题（高频易错） 方法技巧 乘积的符号只与负因数个数有关，与正数因数无关。 ① 同正或同负； ② 一正一负； ③ 多个数相乘为正，负因数个数为偶数；相乘为负，负因数个数为奇数。 【典例6】（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【变式6-2】（2026·湖北随州·一模）数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式6-3】如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7 乘除实际应用题 【典例7】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【变式7-1】（25-26七年级上·吉林辽源·期末）体育课上，全班女生进行了百米跑步测验，把跑步时间达标成绩18秒记为0，大于18秒的用正数表示，小于18秒的用负数表示，第一小组8名女生的百米跑步成绩如下： (1)第一小组女生达标率为多少？（达标率） (2)第一小组女生的平均成绩是多少秒？ 【变式7-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）延时课上，小徽设计了一个数字游戏，先在黑板上写了算式：，转动转盘（指向边界处重转），将指针所指数字填入“□”计算． (1)若指针指向2，求此时算式的结果； (2)若某次计算的结果是15，请用有理数混合运算逆求指针所指向的数字． 【变式7-3】（25-26七年级上·吉林四平·阶段检测）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 题型1 带分数拆分简便运算（压轴必考） 【典例1】（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【变式1-1】计算： 【变式1-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： 题型2 倒数、相反数、绝对值综合求值 【典例2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）已知：有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数．求：的值． 【典例2-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数，试求的值． 【典例2-2】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数．求代数式的值． 题型3 含参数符号分类讨论（七上难点） 【典例3-1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）若，且，则的值等于_____． 【典例3-2】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 【变式3-1】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 【变式3-2】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， (1)当时，求______，当时，求______． (2)请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． (1)比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 一、单选题 1．（2026·四川凉山·中考真题）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·中考真题）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2022·广西玉林·中考真题）计算：_____________． 5．（2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． 6．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为_________． 7．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 三、解答题 8．（2022·广西桂林·中考真题）计算：（﹣2）×0+5． 9．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 一、单选题 1．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 5．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）若，，且，则_________ ． 6．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）数学活动课上，小语设计了一个如图的程序图．若输入的，输出的数是a，若输入的，输出的数是b，则的值为______． 7．（2023七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________． 8．已知，，，则的值等于____________． 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： 10．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 11．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）计算并按要求填空： 目的是：_______ 依据是：________ _____法则是：___________ _____．理由是：____________ 12．（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 13．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 14.（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 15．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 有理数的乘法 2 知识点02 有理数的除法 4 剖题型·讲技巧 题型1 基础单步有理数乘除运算 5 题型2 多个有理数连乘运算 7 题型3 倒数相关求值问题 9 题型4 乘法分配律简便运算（培优核心） 11 题型5 有理数乘除混合运算 14 题型6 乘积符号判断选择题（高频易错） 15 题型7 乘除实际应用题 17 释疑惑·重难拓展 题型1 带分数拆分简便运算（压轴必考） 20 题型2 倒数、相反数、绝对值综合求值 21 题型3 含参数符号分类讨论（七上难点） 22 知中考·真题探源 24 练好题·提分培优 27 课标要点 1. 理解有理数乘法、除法的意义，掌握有理数乘、除运算法则，能熟练进行有理数乘除基础运算。 2. 掌握多个有理数相乘的符号判定规则，熟练运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算。 3. 掌握倒数的概念与性质，明确0没有倒数，能够快速求解任意非零有理数的倒数。 4. 熟记有理数乘除混合运算顺序，掌握“化除为乘”的核心方法，能解决基础实际应用问题。 5. 建立符号意识，规避乘除运算常见易错点，提升有理数运算的准确性和熟练度。 知识点01 有理数的乘法 1. 两数相乘法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，结果都为0。 公式总结： ① 同号相乘：若 同为正数或同为负数，则 ； ② 异号相乘：若 一正一负，则 ； ③ 特殊运算：。 2. 多个有理数相乘符号规律 ① 因数中不含0：积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负，最终结果为符号乘以所有因数绝对值的乘积； ② 因数中含0：无论其他因数是什么，积直接为0。 3. 有理数乘法运算律（全程适用） 有理数范围内，小学所有乘法运算律依然成立，是简便运算的核心依据： ① 乘法交换律： ② 乘法结合律： ③ 乘法分配律：（培优重难点，必考简便运算） 4. 倒数的概念与性质 定义：乘积为1的两个数互为倒数。若 ，则 与 互为倒数。 核心性质： ① 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，倒数不改变数的符号； ② 1的倒数是1， 的倒数是 ； ③ 0没有倒数（不存在任何数与0相乘等于1）。 练习 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【详解】（1）解： ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 知识点02 有理数的除法 1. 除法法则一（符号判定法则） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 2. 除法法则二（化除为乘万能法则） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，是乘除混合运算的核心方法。 公式： 3. 有理数乘除混合运算通用步骤 第一步：统一变形，将所有除法转化为乘法（除数变倒数）； 第二步：判定符号，数式子中负因数的个数，遵循“奇负偶正”； 第三步：计算数值，对所有绝对值进行约分、相乘； 第四步：整合结果，组合符号与数值，写出最终答案。 练习 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型1 基础单步有理数乘除运算 方法技巧 先定符号，再算绝对值；分数运算优先约分，再相乘相除，简化计算量。 【典例1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【典例1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 题型2 多个有理数连乘运算 方法技巧 有零积为零，无零看负号，奇负偶正定符号，绝对值相乘算数值。 【典例2-1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 【典例2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 题型3 倒数相关求值问题 方法技巧 小数、带分数求倒数必须先化为假分数；题干出现“互为倒数”，直接默认 代入计算。 【典例3-1】写出下列各数的倒数： ，，，，，，． 【答案】倒数分别为：． 【详解】解：∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的倒数为． 【典例3-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，求的值． 【答案】1 【详解】解：已知、互为相反数，根据相反数的定义，得； c、互为倒数，根据倒数的定义，得； 是最大的负整数，故． 将这些值代入： ． 【变式3-1】求下列各数的倒数：，，，，． 【详解】解：的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为． 【变式3-2】（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）列式计算． 一个数的倒数与的和是，这个数是多少？ 【答案】15 【详解】解：， 的倒数是15， 答：这个数是15． 【变式3-3】（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）定义新运算． (1)求； (2)这种新运算满足结合律吗？若满足，请说明理由；若不满足，请举反例． 【详解】（1）根据题中的新定义得：； （2）不满足，例如：， ， ∴ 题型4 乘法分配律简便运算（培优核心） 方法技巧 包含两大必考模型，是期中期末高频考点： ① 正向分配：，多用于数乘分数和式展开 示例： ② 逆向提取：，多用于合并同类因式简化运算 示例： 【典例4-1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： （2）解： 【典例4-2】数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确 (2)请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： 【详解】（1）解：小明的解答正确， 理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解： ， ∴． 【变式4-1】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-3】计算的值． 【答案】 【详解】解： 所以原式 题型5 有理数乘除混合运算 方法技巧 坚决杜绝分步计算，统一化除为乘，一次性判定符号，整体约分计算，减少出错概率。 【典例5-1】（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【详解】解：小李的解法不正确．错误原因：有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小李错误运用除法结合律改变了运算顺序，导致结果错误； 正确解答： 原式 ． 【典例5-2】（25-26七年级上·全国·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： 【详解】解： 【变式5-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算：． 【详解】解： ． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）计算： 【详解】解： ． 【变式5-4】（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】5 【详解】解：原式 . 题型6 乘积符号判断选择题（高频易错） 方法技巧 乘积的符号只与负因数个数有关，与正数因数无关。 ① 同正或同负； ② 一正一负； ③ 多个数相乘为正，负因数个数为偶数；相乘为负，负因数个数为奇数。 【典例6】（2026·浙江温州·二模）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 【变式6-1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 【变式6-2】（2026·湖北随州·一模）数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【详解】解：由数轴性质知，， ， ，， 原点在a与b之间，故点C可能为原点． 【变式6-3】如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，， ∴，，，， 故选项D符合题意． 题型7 乘除实际应用题 【典例7】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ∴，， ∴的值是，的值是； （2）解：由题意可得， 相遇所需的时间：（秒）， ∴点对应的数是：， ∴点对应的数为； 相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【变式7-1】（25-26七年级上·吉林辽源·期末）体育课上，全班女生进行了百米跑步测验，把跑步时间达标成绩18秒记为0，大于18秒的用正数表示，小于18秒的用负数表示，第一小组8名女生的百米跑步成绩如下： (1)第一小组女生达标率为多少？（达标率） (2)第一小组女生的平均成绩是多少秒？ 【详解】（1）解：由题意，小于等于18秒的为达标， 故达标人数为6人，； 答：第一小组女生达标率为； （2）（秒）； 答：第一小组女生的平均成绩是秒． 【变式7-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）延时课上，小徽设计了一个数字游戏，先在黑板上写了算式：，转动转盘（指向边界处重转），将指针所指数字填入“□”计算． (1)若指针指向2，求此时算式的结果； (2)若某次计算的结果是15，请用有理数混合运算逆求指针所指向的数字． 【详解】（1）解：由题意，得． 答：若指针指向2，此时算式的结果为． （2）解：根据有理数混合运算法则，列式如下： ． 答：用有理数混合运算逆求指针所指向的数字为． 【变式7-3】（25-26七年级上·吉林四平·阶段检测）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【详解】（1）解：， 答：多走； （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了； （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 题型1 带分数拆分简便运算（压轴必考） 【典例1】（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式1-1】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： 解： ； 题型2 倒数、相反数、绝对值综合求值 【典例2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）已知：有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数．求：的值． 【答案】3或 【详解】∵有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴或，，， 当时，原式； 当时，原式． 综上，代数式的值为3或． 【典例2-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数， ∴，，， ∴ ． 【典例2-2】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数．求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∴． 题型3 含参数符号分类讨论（七上难点） 【典例3-1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）若，且，则的值等于_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴或， ∴或． 即的值等于． 故答案为：． 【典例3-2】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 【答案】4或或0 【详解】解：当a、b、c同正时，原式； 当a、b、c同负时，原式； 当a、b、c一正两负时，不妨设a为正，则原式； 当a、b、c一负两正时，不妨设a为负，则原式； 综上：的值为4或或0； 故答案为：4或或0． 【变式3-1】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴或，或． ①当，时，，满足条件，此时； ②当，时，，满足条件，此时； ③当，时，，不满足的条件，舍去； ④当，时，，不满足的条件，舍去． 综上，的值为． 【变式3-2】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， (1)当时，求______，当时，求______． (2)请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 故答案是：，； （2）解：由数轴可得：，，，． ∴． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． (1)比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【详解】（1）解：由数轴可得：，又， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由数轴可得：，又， ∴，，， ∴ ． （3）解：∵， ∴，， ∴ ． 一、单选题 1．（2026·四川凉山·中考真题）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的倒数是. 2．（2026·湖南·中考真题）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 二、填空题 4．（2022·广西玉林·中考真题）计算：_____________． 【答案】-1 【详解】解：原式=； 故答案为-1． 5．（2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 6．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为_________． 【答案】－6或零下6 【详解】解：山顶的气温约为 故答案为：－6或零下6． 7．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【答案】 60 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 三、解答题 8．（2022·广西桂林·中考真题）计算：（﹣2）×0+5． 【答案】5 【详解】解：（﹣2）×0+5 ＝0+5 ＝5． 9．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟 一、单选题 1．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【答案】C 【详解】解：A．0的相反数是0，0没有倒数，错误 ​B．乘积为1的两个数互为倒数，的倒数是，不是4，错误 ​C．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，相加结果恒为0，正确 ​D．倒数等于本身的数有1和，错误 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 二、填空题 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 【答案】6 【详解】解：根据题意进行计算：， ∵，满足输出条件， ∴输出结果为6． 5．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 6．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）数学活动课上，小语设计了一个如图的程序图．若输入的，输出的数是a，若输入的，输出的数是b，则的值为______． 【答案】 【详解】解：当时，输出的结果为； 当时，输出的结果为； ∴，， ∴， 故答案为： ． 7．（2023七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________． 【答案】 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 8．已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】12 【详解】解：根据乘法分配律， ． 10．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 11．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）计算并按要求填空： 目的是：_______ 依据是：________ _____法则是：___________ _____．理由是：____________ 【详解】解： 目的是：把减法运算转化为加法运算 依据是：乘法对加法的分配律 法则是：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负 ．理由是：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 12．（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 13．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 14.（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 15．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【详解】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $