第2讲 矩形、菱形与正方形(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

第五单元　四边形 第2讲　矩形、菱形与正方形 数学·安徽中考 授课人：XXXX YUHENG 1 2 目录 温馨提示：点击相应文字即可跳转到相应页面 中考考点讲练 考点过关训练 重点难点突破 3 人教：八下第十八章第52~65页　北师：九上第一章第1~29页 沪科：八下第19章第86~98页 中考考点讲练 4 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.性质(2022题6，2020题23，2018题14，2017题10，2016题14，2015题9) (1)边：对边平行且相等； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线相等且互相平分； (4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，有两条对称轴(分别是过两对边中点的直线). 矩形的性质与判定(10年6考) 点击返回目录页 5 3.判定 (1)角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；②有三个角是直角的四边形是矩形. (2)对角线：对角线相等的平行四边形是矩形. 4.周长、面积的计算：C＝2(a＋b)，S＝ab(a，b分别为矩形的长和宽). 点击返回目录页 1.在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB＝60°， AB＝2，则对角线AC的长是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 A 点击返回目录页 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC边上的一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N.若AP＝12，则MN的值为___________.  12 点击返回目录页 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质(2021题8，2018题12，2015题9) (1)边：四条边都相等，对边平行； (2)角：对角相等； (3)对角线：对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角； (4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，有两条对称轴(分别是两条对角线所在的直线). 菱形的性质与判定(10年5考) 点击返回目录页 3.判定〔2022题22(1)，2019题16(2)〕 (1)边：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；②四条边都相等的四边形是菱形. (2)对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 4.周长、面积的计算：C＝4a(a为菱形的边长)，S＝mn(m，n分别为两条对角线的长，且对于对角线互相垂直的四边形，都适用于该面积公式). 点击返回目录页 3.如图，在▱ABCD中，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，EF＝3，FG＝4，∠EFC＝90°，则▱ABCD的周长为_______.  20 点击返回目录页 4.如图，在菱形ABCD中，AD＝4，∠A＝45°，DE⊥AB，垂足为E，点P在菱形的边BC上.若DE＝DP，则CP的长为________.   2 点击返回目录页 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.性质(2024题14，2023题8，2022题14，2019题10) (1)边：四条边都相等，对边平行； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角(对角线与边的夹角为45°)； (4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，有四条对称轴(分别是过两对边中点的直线和两条对角线所在的直线). 正方形的性质与判定(10年4考) 点击返回目录页 3.判定 (1)有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形(定义)； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线互相垂直的矩形是正方形； (5)对角线相等的菱形是正方形. 4.周长、面积的计算：C＝4a，S＝a2＝l2(a为正方形的边长，l为对角线的长). 点击返回目录页 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2， ∠DAO＝60°，则点C的坐标为_______________.  (＋1) 点击返回目录页 6.如图，在Rt△ABD中，∠B＝90°，BC平分∠ABD交AD于点C，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥BD于点F.若AE＝3 cm，FD ＝4 cm，则四边形BECF的面积为___________cm2.  12 点击返回目录页 1.一般四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系 点击返回目录页 2.中点四边形 定义 顺次连接任意四边形各边中点所形成的四边形 中点四边形的形状(只与原四边形的对角线的位置、长短有关) 常规四边形的中点四边形 任意四边形平行四边形 对角线相等的四边形菱形 对角线互相垂直的四边形矩形 对角线相等且互相垂直的四边形正方形 点击返回目录页 中点四边形的形状(只与原四边形的对角线的位置、长短有关) 特殊四边形的中点四边形 平行四边形平行四边形 矩形菱形 菱形矩形 正方形正方形 点击返回目录页 7.下列说法中，不正确的是(　　) A.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.邻边相等的平行四边形是菱形 D.对角线垂直且相等的四边形是正方形 D 点击返回目录页 8.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的 是(　　) A.当AB＝BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形 C.当AC＝BD时，它是正方形 D.当∠ABC＝90°时，它是矩形 C 点击返回目录页 在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB. (1)如图①，求证：四边形ABCD为矩形； 重点难点突破 矩形的判定与性质 课题1　矩形的判定与性质 22 (2)如图②，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E，连接OE.若AB＝2，BC＝2，求OE的长. 点击返回目录页 23 【解题点拨】(1)先证四边形ABCD是平行四边形，再证AC＝BD，即可得出结论；(2)过点O作OF⊥CD于点F，则OF为△BCD的中位线，求出OF的长，再通过证明四边形ABDE是平行四边形得到DE的长，即可求得OE的长. 点击返回目录页 解：(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ADC＋∠BCD＝180°. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD. ∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形. (2)OE的长为. 点击返回目录页 (3)如图③，若AB＝BO，AE平分∠BAD交BC于点E，以EC为边向矩形内作等边三角形ECF，连接DF.∠BDF的度数为___________；  15° 点击返回目录页 (4)如图④，AB＝10，AD＝12，P为矩形ABCD内一点，连接 PA，PB，PC，∠APB＝90°，则PC的最小值为__________；  8 点击返回目录页 【解题点拨】(3)过点F作FH⊥CD于点H，由矩形的性质推出△OCD是等边三角形，得到∠ODC＝60°.令CD＝x，则AB＝x，BC＝x，由△ABE是等腰直角三角形，得到BE的长，求出EC的长，由等边三角形的性质得到FC的长，∠ECF的度数，求出∠FCH的度数，推出FH的长，CH的长，求出DH的长，推出∠FDH的度数，即可得到∠BDF的度数；(4)设AB的中点为M.由∠APB＝90°可知，点P在以点M为圆心，AB为直径的半圆上.当P为MC与半圆的交点时，PC有最小值. 点击返回目录页 (5)如图⑤，AB＝2，AD＝4，E是边BC上的点，且BE＝，F是边CD上一点，连接AE，AF.若∠EAF＝45°，求tan∠AFD的值； 点击返回目录页 【解题点拨】(5)先证△ABE∽△DAB，从而得出AM⊥BD，结合∠EAF＝45°，可得AM＝MN.由等面积法可得出AM的长，由勾股定理可得出BD，BM的长，进而可求BN，DN的长.再由△ABN∽△FDN可得出FD的长，从而求出tan∠AFD的值. 点击返回目录页 解：(5)tan∠AFD＝3. 点击返回目录页 (6)如图⑥，过点D作DG⊥AC于点G，延长DG交 BC于点F，交AB的延长线于点E，连接BG.若 AB＝BF，求证：EG－CG＝BG. 【解题点拨】(6)在线段EG上截取线段EM＝CG， 则EG－CG＝EG－EM＝GM，通过证明△BEM ≌△BCG可得BM＝BG，∠MBG＝90°，再通过 勾股定理可证得GM＝BG，从而得证. 点击返回目录页 证明：(6)在EG上取点M，使得EM＝CG，连接BM，如图. ∵DG⊥AC， ∴∠GDC＋∠GCD＝90°. 又∵∠BCD＝∠BCG＋∠GCD＝90°， ∴∠GDC＝∠BCG. ∵CD∥AE，∴∠E＝∠GDC＝∠BCG. 点击返回目录页 又∵∠ABC＝∠FBE＝90°，AB＝FB， ∴△ABC≌△FBE(AAS)，∴BC＝BE. 又∵EM＝CG，∠BCG＝∠E， ∴△BCG≌△BEM(SAS)， ∴BG＝BM，∠GBC＝∠MBE， ∴∠MBE＋∠MBF＝∠GBC＋∠MBF， 即∠EBF＝∠MBG＝90°，∴BM⊥BG. 在Rt△MBG中，GM＝BG. 又∵GM＝EG－EM＝EG－CG，∴EG－CG＝BG. 点击返回目录页 如右图，AB＝40， 点D在AB上，△ACD是边长为30的等边 三角形，过点D作与CD垂直的射线DP， 过射线DP上一动点G(不与点D重合)作矩 形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段 BO的最小值为(　　) A.15 B.20 C.15 D.40 B 点击返回目录页 已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且∠1＝∠2. 课题2　菱形的判定与性质 菱形的判定与性质 (1)如图①，求证：四边形ABCD是菱形； 点击返回目录页 (2)如图②，E为AD上一点，连接BE交AC于点F，且AE＝AF.若AE＝3，AB＝5，求四边形ABCD的面积； (3)如图③，过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G.若OB＝3，OC＝4，求BG的长； 点击返回目录页 【解题点拨】(1)利用菱形的判定方法即可解答；(2)先根据等腰三角形和菱形的性质得出AC的长，再根据菱形的性质以及勾股定理得到OB的长，从而即可求出四边形ABCD的面积；(3)先利用勾股定理求出BC的长，再证得△OBC∽△GAC，利用相似三角形的性质求出GC的长，从而求得BG的长. 点击返回目录页 解：(1)证明：∵在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠2＝∠ACB. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC. 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形. 点击返回目录页 (2)∵AD∥BC，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFB＝∠CBF，∴CF＝BC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴CF＝BC＝AB＝5，OC＝AC，BD⊥AC， ∴AC＝AF＋CF＝AE＋AB＝8，∴OC＝AC＝4， ∴在Rt△OBC中，OB＝＝3. 故四边形ABCD的面积为2×AC·OB＝24. 点击返回目录页 (3)∵在菱形ABCD中，BD⊥AC，OB＝3，OC＝4， ∴在Rt△OBC中，BC＝＝5. ∵AG⊥BC，∴∠AGC＝∠BOC＝90°. 又∵∠BCO＝∠ACG，∴△OBC∽△GAC， ∴，即，解得GC＝， ∴BG＝GC－BC＝. 点击返回目录页 (4)如图④，H为线段AC上一动点，过点H作AD，CD的垂线，分别交AD，CD于点M，N.在点H的运动过程中，HM＋HN的值是否发生变化?请说明理由； (5)如图⑤，P为CB上一点，Q为AC上一动点，连接PQ，BQ.若AD＝2OD＝4，CP＝1，求PQ＋BQ的最小值. 点击返回目录页 【解题点拨】(4)连接DH，由AD＝CD，以及△ACD的面积即可得出结论；(5)连接PD，由垂直平分线的性质可知，BQ＝DQ，即PQ＋BQ＝PQ＋DQ，所以当P，Q，D三点共线时，PQ＋BQ的值最小，最小值即为PD的长，再利用菱形的性质以及勾股定理即可得到PD的长. 点击返回目录页 解：(4)HM＋HN的值不发生变化.理由如下： 如图，连接DH.∵HM⊥AD，HN⊥CD， ∴S△ACD＝AD·HM＋CD·HN. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD， ∴S△ACD＝CD·HM＋CD·HN＝CD·(HM＋HN). ∵S△ACD和CD的值为定值， ∴HM＋HN的值也为定值. 故HM＋HN的值不发生变化. (5)PQ＋BQ的最小值为. 点击返回目录页 如右图，已知菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G， 则GF的长等于_______.  点击返回目录页 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OAB＝45°. 正方形的判定与性质 课题3　正方形的判定与性质 (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)如图①，E为AC上一点， AG⊥EB交EB于点G，AG交BD 于点F.求证：OE＝OF； 点击返回目录页 (3)如图②，E为对角线AC上一点， 连接DE.过点E作EF⊥DE，交射 线BC于点F.以DE，EF为邻边作 矩形DEFG，连接CG. ①若AB＝4，CE＝3，则CG的长为______；  ②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，∠EFC的度 数为______________.  点击返回目录页 【解题点拨】(1)根据正方形的判定即可得证；(2)根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等即可得到OE＝OF；(3)①利用正方形的性质证明△ADE≌ △CDG，得到CG＝AE，再利用勾股定理求出AC的长，最后求出AE的长度即可；②分两种情况：∠ADE＝35°或∠CDE＝35°.分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果即可. 点击返回目录页 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°. ∵∠OAB＝45°，∴∠ACB＝90°－∠OAB＝45°＝∠CAB， ∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形. (2)∵在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∴∠OBE＋∠BEO＝90°. ∵AG⊥EB，∴∠AGE＝90°， 点击返回目录页 ∴∠GAE＋∠AEG＝90°，∴∠OBE＝∠OAF. 在△AOF和△BOE中， ∴△AOF≌△BOE(ASA)，∴OE＝OF. 点击返回目录页 (4)如图③，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥ CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.判断AG与EF的数量和位置关系，并说明理由； (5)如图④，P为线段BC上一动点.若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN. 点击返回目录页 【解题点拨】(4)连接CG，根据正方形的性质得出△ADG≌ △CDG，从而得到AG＝CG，∠DAG＝∠DCG.再证明∠EGH＝∠DCG＝∠FEC即可；(5)连接AF，CF，PF，过点M作MQ⊥ CD交CD于点Q，利用正方形和垂直平分线的性质得出AF＝CF＝PF，从而利用四边形的内角和求出∠AFP＝90°，判断出∠AFP＝90°，则FE＝AP，再证出△ABP≌△MQN，得到MN＝AP，即可得出结论. 点击返回目录页 解：(4)AG＝EF，AG⊥EF，理由如下： 连接GC交EF于点M，如图①. ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°.又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG，AG＝CG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°. 又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形， ∴AG＝CG＝EF，ME＝MC，∴∠MEC＝∠MCE， ∴∠DAG＝∠MEC. ∵AD∥EG，∴∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠MEC， ∴∠EGH＋∠GEH＝∠MEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF. 点击返回目录页 (5)证明：如图②，连接FA，FP，FC，过点M作 MQ⊥CD交CD于点Q，交AP于点G，则MQ＝AD. ∵直线BD是正方形ABCD的对称轴，∴FA＝FC， ∠FAB＝∠FCB.又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP， ∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP， ∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB＋∠FPB＝180°， ∴在四边形ABPF中，∠ABC＋∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP.∵MQ⊥CD，AB∥CD，∴MQ⊥AB，∴∠AMG＝∠MQN＝90°.∵∠AEM＝90°，∴∠MAG＋∠AGM＝∠EMG＋∠AGM＝90°，∴∠MAG＝∠EMG.∵MQ＝AD＝AB，∠MQN＝∠ABP＝90°，∴△ABP≌△MQN(ASA)，∴AP＝MN，∴MN＝ME＋EF＋FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME＋FN. 点击返回目录页 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接 PQ.当E恰好是OP的中点时，PQ的长为_______.  点击返回目录页 本课结束 THANK YOU ! 56 $$