第6讲 解直角三角形及其应用(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

第四单元　三角形 第6讲　解直角三角形及其应用 数学·安徽中考 授课人：XXXX YUHENG 1 2 目录 温馨提示：点击相应文字即可跳转到相应页面 中考考点讲练 考点过关训练 重点难点突破 3 人教：九下第二十八章第60~85页　北师：九下第一章第1~27页 沪科：九上第23章第111~139页 中考考点讲练 4 1.锐角三角函数的定义 如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别为a，b，c. (1)正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝； 锐角三角函数 点击返回目录页 5 (2)余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝； (3)正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝. 点击返回目录页 2.特殊角的三角函数值　 角α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 点击返回目录页 1.若在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(4，0)，则sin∠ABO的值为_______.  点击返回目录页 2.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形.A，B，O是小正方形的顶点，☉O的半径为1，P是☉O上的点，且位于右上 方的小正方形内，则sin∠APB等于_______.  点击返回目录页 1.定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形. 2.依据：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.①边角关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝； ②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③三角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°；④sinA＝cosB＝，sinB＝cosA＝，tanA＝，tanB＝.(2020题8) 解直角三角形(10年1考) 点击返回目录页 3.沪科九上第116页题6变式 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA＝_____.  点击返回目录页 4.如图，△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB，F为垂足，连接FC，则tan∠CFB的值等于 _______.  点击返回目录页 1.仰角和俯角：如图①，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.(2023题19，2018题19，2015题18) 解直角三角形的应用(10年10考) 点击返回目录页 2.坡度(或坡比)和坡角：如图②，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，用字母i表示，即i＝.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，所以i＝＝tanα. 点击返回目录页 3.方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表示成北(南)偏东(西)多少度，方向角的角度值在0°~90°.如图③，点A，B，C关于点O的方向角分别是北偏东30°，南偏东60°，北偏西45°(也称西北方向). 点击返回目录页 4.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；②根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；③得到数学问题的答案；④得到实际问题的答案.(2024题19，2022题20，2021题17，2020题18，2019题19，2017题17，2016题19) 点击返回目录页 5.如图，某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东75°方向上，且该舰艇以每小时10 n mile的速度沿南偏东15°方向航行，上午11时到达B处.在B处测得灯塔C在北偏东75°方向上， 则B处到灯塔C的距离为________n mile. 20 点击返回目录页 6.安徽浮山是中国第一文山，爬山是居民 周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一.如图， 某个周末小明同学从浮山山底沿斜坡AB爬 了260 m到达B处，紧接着又向上爬了坡角 为45°的山坡90 m，最后到达山顶P处.若AB的坡度为1∶2.4，则浮山的高度为___________m(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.414).  163.6 点击返回目录页 如右图，在△ABC中，D是AB边上一点， AE是△ABC的高. (1)若cosB＝，sin∠ACB＝，BC＝14，求△ABC 的面积； 重点难点突破 解直角三角形 19 解：(1)∵AE是△ABC的高，∴cosB＝，sin∠ACB＝，∴AB＝BE，AC＝AE， ∴AE＝＝BE，EC＝AE， ∴BC＝BE＋EC＝AE＝14，∴AE＝6， ∴S△ABC＝BC·AE＝×14×6＝42. 点击返回目录页 (2)若CD⊥AB，AB＝6，∠BAC＝45°，∠B＝75°，求CD，AE的长； 点击返回目录页 解：(2)如图①，过点B作BF⊥AC于点F，∴∠AFB＝90°. ∵∠BAC＝45°，∴∠ABF＝45°，∴sin∠BAC＝sin∠ABF＝，∴. ∵AB＝6，∴BF＝AF＝3. ∵∠ABC＝75°，∴∠FBC＝30°， 点击返回目录页 ∴cos∠FBC＝，∴BC＝2，∴CF＝BC＝，∴AC＝AF＋CF＝3，∴S△ABC＝AC·BF＝×(3)×3＝9＋3，∴AB·CD＝BC·AE＝9＋3，即×6CD＝×2AE＝9＋3， ∴CD＝3＋，AE＝. 点击返回目录页 (3)若BD＝2AD，AE＝9，sin∠BCD＝，BD＝CD，求tan∠CAE的值. 【解题点拨】过点D作DF⊥BC于点F，证明△BDF∽△BAE，得出DF的长，再由sin∠BCD＝，BD＝CD，得到BD的长，从而得到AB的长，再由勾股定理得到BF，BE的长，然后得出CE的长，最后求出tan∠CAE的值即可. 点击返回目录页 解：(3)如图②，过点D作DF⊥BC于点F. ∵AE⊥BC，∴△BDF∽△BAE， ∴. ∵BD＝2AD，∴. 又∵AE＝9，∴DF＝6. ∵sin∠BCD＝，BD＝CD，∴sinB＝sin∠BCD＝， 点击返回目录页 ∴，∴BD＝CD＝10，∴AB＝BD＝15. 在Rt△ABE中，BE＝＝12. 在Rt△BDF中，BF＝＝8. ∵BD＝CD，DF⊥BC，∴BC＝2BF＝16， ∴CE＝BC－BE＝4，∴tan∠CAE＝. 点击返回目录页 如右图，斜坡AP的坡比为1∶2.4，在 坡顶A处的同一水平面上有一座高楼BC，在斜 坡底P处测得该楼顶B的仰角为45°，在坡顶A 处测得该楼顶B的仰角∠BAC为76°.楼高BC为 18 m，则斜坡AP的长度约为多少米(结果保留一位小数，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)? 解直角三角形的实际应用 点击返回目录页 解：如图，延长BC交PQ于点D，过点A作AH⊥PQ于点H. ∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ， ∴四边形AHDC是矩形， ∴CD＝AH，AC＝DH. ∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD. 在Rt△ABC中，tan76°＝，BC＝18 m， 点击返回目录页 ∴AC≈4.49 m，∴DH＝4.49 m. ∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴. 设AH＝CD＝5k，则PH＝12k. 由勾股定理，得AP＝13k. ∵PD＝BD，∴PH＋DH＝BC＋CD，即12k＋4.49＝18＋5k，解得k＝1.93，∴AP＝13k≈25.1 m. 故斜坡AP的长度约为25.1 m. 点击返回目录页 如右图，数学兴趣小组用无 人机测量一幢楼AB的高度.小亮站立在距离 楼底部94 m的D点处，操控无人机从地面F 点，竖直起飞到正上方60 m点E处时，测得 楼AB的顶端A的俯角为30°，小亮的眼睛点C看无人机的仰角为45°，小亮的眼睛距离地面1.7 m.求楼AB的高度(所有点在同一水平面上，结果保留两位小数，参考数据：≈1.732). 点击返回目录页 解：如图，过点C作CG⊥EF，垂足为G，延长BA交HE于点I. 由题意，得BI⊥EH，GF＝CD＝1.7 m，CG＝DF，EI＝BF，EF＝IB＝60 m，BD＝94 m， ∴EG＝EF－FG＝60－1.7＝58.3(m). 在Rt△EGC中，∠ECG＝45°， 点击返回目录页 ∴CG＝＝58.3 m，∴CG＝DF＝58.3 m， ∴IE＝BF＝BD－DF＝94－58.3＝35.7(m). 在Rt△AIE中，∠AEI＝30°， ∴AI＝IE·tan30°＝35.7×＝11.9(m)， ∴AB＝IB－IA＝60－11.9≈39.39(m)， ∴楼AB的高度约为39.39 m. 点击返回目录页 本课结束 THANK YOU ! 33 $$