第4讲 等腰三角形与直角三角形(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

第四单元　三角形 第4讲　等腰三角形与直角三角形 数学·安徽中考 授课人：XXXX YUHENG 1 2 目录 温馨提示：点击相应文字即可跳转到相应页面 中考考点讲练 考点过关训练 重点难点突破 3 人教：八上第十三章第75~84页　八下第十七章第21~39页，第十八章第53页 北师：八上第一章第1~19页　八下第一章第2~21页　九上第一章第12页 沪科：八上第15章第132~140页　八下第18章第51~68页，第19章第87页 中考考点讲练 4 等腰三角形的性质与判定(10年1考) 点击返回目录页 5 性质 (2022 题10) (1)等腰三角形两腰相等，两底角相等等边三角形三条边相等，三个角相等(每个角都为60°)； (2)等腰三角形“三线合一”(顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合)对于等边三角形同样适用； (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴等边三角形有三条对称轴 点击返回目录页 判定 (1)两边相等的三角形三边相等的三角形； (2)两个角相等的三角形三个角相等的三角形有一个角是60°的等腰三角形 面积 S＝ah S＝ah＝a2 点击返回目录页 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB于点E，∠A＝∠DBA.若AC＝14，△CDB的周长为20，则DB的长为___________.  8 点击返回目录页 2.如图，∠1＝80°，且OA＝AB＝BC＝CD，则∠O的度数为___________.  20° 点击返回目录页 直角三角形的性质与判定(10年4考) 概念 有一个角为直角的三角形叫做直角三角形 图示 点击返回目录页 性质 (2024 题7， 2022 题19， 2021 题10， 2018 题23) (1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°； (2)斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AB； (3)30°角所对的直角边等于斜边的一半，反之，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°； (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2； (5)常见的结论：外接圆半径R＝，内切圆半径r＝(a＋b－c) 点击返回目录页 判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形； (3)有一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形； (4)有两个角互余的三角形是直角三角形 周长 和面积 周长：C＝a＋b＋c； 面积：SRt△ABC＝ab＝ch 点击返回目录页 3.如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB ＝3，则AC长(　　) A.2.5 B.2 C.1.8 D.1.5 D 点击返回目录页 4.如图，Rt△ABC的斜边AB为☉O的一条弦，直角边AC经过圆 心O.已知BC＝3，AC＝4，则OA的长为(　　) A. B. C. D. A 点击返回目录页 等腰直角三角形的性质与判定(10年1考) 概念 有一个角是直角，且两条直角边相等的三角形叫做等腰直角三角形 图示 点击返回目录页 性质 (2022 题14) (1)具有直角三角形的所有性质； (2)两直角边相等，即AC＝BC； (3)两锐角相等且都等于45°； (4)是轴对称图形，有一条对称轴，即高CD所在的直线； (5)“三线合一” 点击返回目录页 判定 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形； (2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形； (3)有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形； (4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 周长和 面积 周长：C＝2a＋c＝(2＋)a＝(1＋)c； 面积：S＝a2＝ch＝c2 点击返回目录页 5.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝ 6 cm，则△DEB的周长为(　　) A.40 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm B 点击返回目录页 6.如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，DA＝DB，连接CD.若BC＝3，AC＝5，则△BCD的面积为_______.  3 点击返回目录页 已知在△ABC中，AB＝AC.请回答下列问题： (1)若∠A＝40°，则∠B＝___________；若∠A＝60°，则 △ABC是___________三角形(按边分类).  (2)若∠B＝70°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，交直线 BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数为______________；  重点难点突破 等腰三角形的性质与判定 70° 等边 15°或75° 20 (3)如图①，过点A作AD⊥BC于点D.若BC＝6，∠BAD＝30°， 则△ABC的面积为________；  9 点击返回目录页 21 (4)如图②，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于点M，分别交AB，AC于点F，E.下列结论：①S△ABG∶S△BCG＝AB∶BC；②FD＝EC；③EC＝EF＋DG；④CE＝MD.其中正确的结论是___________(填序号)；  ①②④ 点击返回目录页 (5)如图③，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.若∠A＝36°，求： ①当CD＝5时，BE的长； ②当AD＝＋1时，BE的长. 点击返回目录页 (6)如图④，若∠CAB＝90°，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于点E，F，连接EF与AD相交于点G.求证：∠AED＝∠AGF； 点击返回目录页 (7)若AB≠BC，∠A的平分线AO与△ABC的外角平分线BO交于点O，过点O作OE∥AB交直线AC于点E，交直线BC于点F.试猜想EF，AE，BF之间的关系，并说明理由. 点击返回目录页 【解题点拨】(1)根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定即可推出答案；(2)根据等腰三角形的性质得出△ABC各内角的关系，然后根据题意画出图形，再分类讨论求出∠BAP的度数即可；(3)根据等腰三角形“三线合一”的性质及等边三角形的判定与性质即可得出结果；(4)由角平分线的性质可得△ABG与△BCG的高相等，从而得出S△ABG∶S△BCG＝AB∶BC；根据等角对等边可以得出FM＝FB＝FD，再由平行线分线段成比例可以得出FB＝CE，从而得出FD＝EC，CE＝MD.根据现有条件 点击返回目录页 无法得到DE＝DG，因此无法判断EC＝EF＋DG；(5)根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得出BC＝BD，CD＝CE＝BE，证明△CDE∽△BDC，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；(6)由已知条件可得△AED≌△CFD，再利用等腰直角三角形的性质得出∠FED＝45°，从而再利用外角的性质可得出∠AED与∠AGF的关系；(7)根据题意画出图形，分类讨论：①当点E，F分别在线段AC，BC上时；②当点E，F分别在线段AC，BC的延长线上时，再根据等腰三角形的判定及性质得出结论即可. 点击返回目录页 解：(5)①BE＝5.②BE＝2. (6)证明：∵AB＝AC，∠CAB＝90°，AD⊥BC， ∴CD＝AD＝BD，∠C＝∠EAD＝45°. ∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF. 在△AED与△CFD中， ∴△AED≌△CFD(ASA)，∴DE＝DF，∴∠FED＝45°， ∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝45°＋∠AEF，∠AGF＝∠BAD＋∠AEF＝45°＋∠AEF，∴∠AED＝∠AGF. 点击返回目录页 (7)EF＝AE－BF或EF＝BF－AE.理由如下： 分两种情况讨论：①如图①，点E，F分别在线段AC，BC上.∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBD，∴∠CAO＝∠OAB，∠CBO＝∠OBD.∵OE∥AB，∴∠EOA＝∠OAB＝∠CAO，∠FOB＝∠OBD＝∠CBO，∴△AEO，△BFO均是等腰三角形，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE－OF＝AE－BF； 点击返回目录页 ②如图②，点E，F分别在线段AC，BC的延长线上. 同理可得△AEO，△BFO均是等腰三角形， ∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OF－OE＝BF－AE. 综上所述，EF＝AE－BF或EF＝BF－AE. 点击返回目录页 如右图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝ ，BC＝2，AD平分∠BAC，GE垂直平分AC交AD于点F，则AF的长是_______.  点击返回目录页 已知在Rt△ABC中，∠B＝90°.请回答下列问题： (1)如图①，直线DE是AC的垂直平分线，点E在BC上， ∠BAE∶∠BAC＝1∶5，则∠C的度数为___________；  与直角三角形有关的计算 40° 点击返回目录页 (2)如图②，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，AB＝6，BC＝8.已知P是BC上一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为 E，F，则PE＋PF的值是___________；  4.8 点击返回目录页 (3)如图③，若∠A＝30°，∠ACB的平分线CE交AB于点E，D为AC上一点，且AD＝AB，BD与CE交于点M，BH⊥CE于点 H.若AC＝16，则MH的长为___________；  4 点击返回目录页 (4)如图④，∠C＝30°，D是AC边上一动点，把△ABD沿直线BD折叠，点A落在点E处.当ED平行于Rt△ABC的直角边时， ∠ADB的度数为_______________；  60°或105° 点击返回目录页 (5)如图⑤，若AB＝6，BC＝8，点D在BC边上.将△ACD沿直线AD折叠得△AC'D，AC'与边BC交于点E.若△DEC'为直角三角形，求CD的长. 图⑤ 点击返回目录页 【解题点拨】(1)根据线段垂直平分线得到AE＝CE，推出∠EAC＝∠C.设∠BAE＝x，∠BAC＝5x，利用直角三角形的性质得到∠BAC＋∠C＝5x＋4x＝90°，由此即可得出结果；(2)连接DP，先利用勾股定理可求出AC的长，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得BD＝CD＝AD，从而可得S△BDC＝S△ABD＝S△ABC，最后根据S△BDP＋S△CDP＝S△BDC，进行计算即可解答； 点击返回目录页 (3)先利用含30°角的直角三角形的性质可得BH的长，然后根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得出∠BMH＝45°，从而可得△BHM是等腰直角三角形，即可解答；(4)分DE∥AB和DE∥BC两种情况，然后由折叠的性质以及平行线的性质推出结果即可；(5)当△DEC'为直角三角形，且直角顶点不确定时，需分情况讨论，然后根据翻折的性质及勾股定理即可求解. 点击返回目录页 解：(5)∵AB＝6，BC＝8，∠B＝90°， ∴AC＝＝10. 由折叠的性质，得C'D＝CD，AC'＝AC＝10. 可分两种情况讨论： 点击返回目录页 ①如图①，当∠C'DE＝90°时，过点C'作C'F⊥AB交AB的延长线于点F，则四边形BDC'F为矩形. 设CD＝C'D＝x(x＞0)，则AF＝6＋x，FC'＝BD＝8－x. 在Rt△AFC'中，AF2＋FC'2＝AC'2，即(6＋x)2＋(8－x)2＝102， 解得x1＝2，x2＝0(不符合题意，舍去)，∴CD＝2； 点击返回目录页 ②如图②，当∠C'ED＝90°时，点B与点E重合. ∵AC'＝10，AB＝6，∴C'B＝4. 设CD＝C'D＝x(x＞0)，则BD＝8－x. 在Rt△BDC'中，C'D2＝BD2＋C'B2， 即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴CD＝5. 综上所述，CD的长为2或5. 点击返回目录页 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边 上.若AD＝1，则CE的长是_______.  点击返回目录页 本课结束 THANK YOU ! 43 $$