第4讲 函数的综合(课件PPT)-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

第三单元　函数及其图象 第4讲　函数的综合 数学·安徽中考 授课人：XXXX YUHENG 1 2 目录 温馨提示：点击相应文字即可跳转到相应页面 中考考点讲练 考点过关训练 重点难点突破 3 1.一次函数与几何图形的综合 (1)利用一次函数与一次函数、几何图形、两坐标轴的交点来求几何图形的面积，常用方法：公式法、割补法、转换法； (2)利用几何图形的面积求一次函数的解析式时，通常先通过几何图形的面积求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式. 中考考点讲练 一次函数的综合 4 2.一次函数与反比例函数、二次函数的综合 利用一次函数与反比例函数、二次函数的交点来解决方程、不等式、三角形、四边形、圆等相关问题. 点击返回目录页 1.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x－与矩形ABCO的边OC，BC分别交于点E，F.已知OA＝3，OC＝4，则△CEF的面 积是(　　) A.6 B.3 C.12 D. B 点击返回目录页 1.反比例函数与一次函数的交点(2024题6，2021题19，2020题13，2018题13，2016题20，2015题21) (1)交点个数：一次函数与反比例函数的图象的交点个数为0或1或2； (2)求交点的步骤：联立表达式，得方程组→解方程组，得交点坐标. 反比例函数的综合(10年8考) 点击返回目录页 2.反比例函数与几何图形(2023题14，2022题13) (1)利用反比例函数中系数k的几何意义来求顶点在反比例函数图象上的三角形的面积时，通常是将所求三角形进行变形，使所求三角形的其中两边分别与两坐标轴平行，然后由k值直接得出结论. (2)利用几何图形求反比例函数的解析式：①先通过几何图形的面积、边的关系求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式；②利用三角形的面积与系数k的关系，直接得出k的值. 点击返回目录页 2.如图，A是双曲线y＝在第一象限上的一动点， 连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边 作等腰直角三角形ABC，点C在第二象限.随着点 A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在 一函数的图象上运动，则这个函数的解析式为_____________.  y＝－(x＜0) 点击返回目录页 二次函数综合题综合了初中代数与几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、特殊四边形、圆等内容.有些又与生活实际相结合，用到的数学思想有化归思想、分类思想、数形结合思想等，解题方法有代入法、消元法、配方法、待定系数法等.解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法以及解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的.(2023题23，2021题22，2016题22) 二次函数的综合(10年3考) 点击返回目录页 3.如图，边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在 x轴的正半轴上，将正方形OA1B1C1绕点O顺时 针旋转75°得到正方形OABC，点B恰好落在函 数y＝ax2(a＜0)的图象上，则a的值为________.  － 点击返回目录页 如右图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的 图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于点 A(－2，n)，B(6，－1). (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 重点难点突破 反比例函数与一次函数的综合 课题1　反比例函数、二次函数与一次函数的综合 12 (2)观察图象，不等式kx＋b＞的解集为_________________；  (3)P(0，a)为y轴上一点.若△APB的面积为，则a的值为__________；  (4)将一次函数图象向下平移4个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标. x＜－2或0＜x＜6 － 点击返回目录页 13 【解题点拨】(1)依据题意，先将B(6，－1)代入反比例函数解析式求得m，再将A(－2，n)代入反比例函数解析式求得n，最后将点A，B的坐标代入一次函数解析式，即可求解；(2)依据题意，当y1＞y2时，即为一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量x的取值范围，结合图象可以求解；(3)依据题意，设直线AB与y轴交于点D，求出D(0，2)，再由S△ABP＝S△APD＋S△PBD＝，从而求出PD的长，结合点P在y轴上进而可以求解；(4)根据平移求出平移后的一次函数的解析式，然后联立方程求解即可. 点击返回目录页 解：(1)∵点B(6，－1)在反比例函数y2＝(m≠0)的图象上，∴m＝－6， ∴反比例函数的解析式为y2＝－. ∵点A(－2，n)在反比例函数y2＝－的图象上， ∴n＝3，∴点A的坐标为(－2，3). 由题意，得解得 ∴一次函数的解析式为y1＝－x＋2. 点击返回目录页 (4)由(1)，得一次函数的解析式为y1＝－x＋2， ∴平移后的一次函数的解析式为y＝－x－2. 联立方程，得－x－2＝－，解得x1＝2，x2＝－6， ∴平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标为 (2，－3)和(－6，1). 点击返回目录页 【满分技法】一次函数与反比例函数综合题的解题通法： (1)求函数表达式：一般通过其中一个函数表达式得到交点坐标，再代入另一函数表达式求解即可.(2)求两函数图象的交点坐标：联立一次函数与反比例函数的表达式，求解即可.(3)求三角形的面积：当三角形有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，通常作该边上的高，再利用面积公式求解；当三边均不在坐标轴上且均不与坐标轴平行时，通常采用“S＝×铅垂高×水平宽”来求解.(4)比较两函数值的大小，求自变量的取值范围：找到交点后结合函数图象解答. 点击返回目录页 (2024潜山期末)如右图，一次 函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝(m≠0) 的图象交于点A(1，2)和B(－2，a)，与y轴交于 点M. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在y轴上取一点N，当△AMN的面积为2时，求点N的坐标； (3)将直线y1向下平移2个单位长度后得到直线y3.当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围. 点击返回目录页 解：(1)∵y2＝的图象过点A(1，2)，∴m＝1×2＝2， 即反比例函数的解析式为y2＝. 当x＝－2时，a＝－1，∴B(－2，－1). 把A(1，2)，B(－2，－1)代入y1＝kx＋b， 得解得 ∴一次函数的解析式为y1＝x＋1. 点击返回目录页 (2)∵S△AMN＝MN·|xA|＝2，且xA＝1，∴MN＝4. 由(1)可知，M(0，1)，∴点N的坐标为(0，5)或(0，－3). (3)如图，设y2与y3的图象交于C，D两点. ∵y1向下平移2个单位长度得到y3，且y1＝x＋1，∴y3＝x－1. 联立方程 解得或 ∴C(－1，－2)，D(2，1). ∵y1＞y2＞y3，∴－2＜x＜－1或1＜x＜2. 点击返回目录页 如右图，在平面直角坐标系中，抛 物线y＝x2－ax经过点(5，5)，与x轴正半轴交 于点B，顶点为A，直线y＝－2x＋3与抛物线 相交于点M，N，连接OA，AB. (1)a的值为___________；  (2)若点C在抛物线上，且S△OBC＝2S△OAB，求点C的坐标； (3)D为x轴上的动点，当tan∠ODA＝时，求OD的长； (4)E为直线MN下方抛物线上的一动点，请直接写出△MNE面积的最大值. 二次函数与一次函数的综合 4 点击返回目录页 【解题点拨】(1)将(5，5)代入y＝x2－ax求解即可；(2)先求出△OAB的面积，设点C的坐标为(m，m2－4m)，再根据S△OBC＝2S△OAB列出方程，进而求出m的值；(3)过点A作AF⊥x轴于点F，根据tan∠ODA＝可得DF＝8.分两种情况讨论：①当点D在点F左侧时；②当点D'在点F右侧时，从而得出OD的长.(4)过点E作EG∥y轴交直线MN于点G，设E(n，n2－4n)，则G(n，－2n＋3)，先表示出EG＝－n2＋2n＋3，再利用三角形面积公式得到S△MNE＝×(3＋1)(－n2＋2n＋3)＝－2n2＋4n＋6，然后根据二次函数的性质解决问题. 点击返回目录页 解：(2)∵y＝x2－4x＝(x－2)2－4， ∴点A的坐标为(2，－4). 令y＝x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4， ∴点B的坐标为(4，0)，∴OB＝4， ∴S△OAB＝×4×4＝8. 设点C的坐标为(m，m2－4m). ∵S△OBC＝2S△OAB，∴×4·|m2－4m|＝2×8， 解得m1＝2＋2，m2＝－2＋2， ∴点C的坐标为(2＋2，8)或(－2＋2，8). 点击返回目录页 (3)如图，过点A作AF⊥x轴，垂足为F. ∵A(2，－4)，∴AF＝4，F(2，0).∵tan∠ODA＝， ∴在Rt△ADF中，，∴DF＝2AF＝8. 点击返回目录页 分两种情况讨论： ①当点D在点F左侧时，OD＝DF－OF＝6； ②当点D'在点F右侧时，OD'＝D'F＋OF＝10. 综上所述，OD的长为6或10. (4)△MNE面积的最大值为8. 点击返回目录页 如右图，在平面直角坐标系中， 直线y＝x＋2与x轴、y轴分别交A，B两点， 与直线y＝－x＋b相交于点C(2，m). (1)m＝___________，b＝___________；  课题2　一次函数、反比例函数、二次函数与几何的综合 一次函数与几何的综合 4 5 点击返回目录页 (2)直线y＝－x＋b与x轴相交于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t s. ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 点击返回目录页 【解题点拨】(1)把C(2，m)代入y＝x＋2即可求得m的值.将C点坐标代入直线y＝－x＋b中即可得出b的值；(2)①先求出OD的长从而得到AD的长.过点C作CE⊥AP于点E.用含t的式子表示AP的长，由△ACP的面积列出方程，解方程即可；②过点C作CE⊥AP于点E.分三种情况：当AC＝PC时；当AP＝AC时；当PC＝PA时.分别求出t的值即可. 点击返回目录页 解：(2)在y＝－x＋5中，当y＝0时，x＝10， ∴D(10，0)，∴OD＝10. 在y＝x＋2中，当y＝0时，x＝－2， ∴A(－2，0)， ∴OA＝2， ∴AD＝OA＋OD＝12. 点击返回目录页 ①由题意可知，PD＝t，AP＝12－t. 过点C作CE⊥AP于点E，如图①. ∵△ACP的面积为10，CE＝4， ∴×4(12－t)＝10，解得t＝7. ②存在. 如图①.∵CE＝4，OE＝2，OA＝2， 点击返回目录页 ∴AE＝OA＋OE＝4，∴AC＝＝4. 当AC＝PC时，AP＝2AE＝8， ∴PD＝AD－AP＝4，∴t＝4； 当AP＝AC时，过点C作CF⊥AP于点F，如图②. 点击返回目录页 同理可得，AP1＝AP2＝AC＝4，∴DP1＝12＋4，DP2＝12－4， ∴t＝12＋4或12－4； 当PC＝PA时，过点C作CM⊥AP于点M，如图③. 点击返回目录页 设MP＝m，则CP＝，AP＝m＋4，∴＝m＋4， 解得m＝0， ∴点P与点E重合，AP＝4， ∴PD＝8，∴t＝8. 综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12＋4或12－4或8. 点击返回目录页 如右图，在平面直角坐标系中，已 知四边形OABC是矩形，且OA＝8，OC＝6， CE∶BE＝1∶3.反比例函数y＝(x＞0)的图象 分别交BC，AB于点E，F. (1)求反比例函数的解析式； (2)连接EF，OE，OF，求△OEF的面积； (3)x轴上是否存在一点P，使得△EFP是不以P为顶点的直角三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 反比例函数与几何的综合 点击返回目录页 【解题点拨】(1)根据题意，得点E的坐标为(2，6)，根据待定系数法即可求出反比例函数的解析式；(2)求出点E与点F的坐标，然后根据S△OEF＝S矩形OABC－S△OCE－S△OFA－S△BEF即可求解；(3)设点P的坐标为(a，0)，已知点E与点F的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理即可解决问题. 点击返回目录页 解：(1)∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝6.∵CE∶BE＝1∶3，∴CE＝BC＝2，BE＝6，∴点E的坐标为(2，6).将E(2，6)代入y＝，得k1＝12，∴反比例函数的解析式为y＝. 点击返回目录页 (2)∵OA＝8，∴当x＝8时，y＝，∴F，则AF＝，BF＝6－，∴S△OEF＝S矩形OABC－S△OCE－S△OFA－S△BEF＝6×8－×6×2－×8××6×. (3)存在.点P的坐标为或. 点击返回目录页 如右图，抛物线y＝ax2＋bx＋6交x轴于点 A(－1，0)和B(3，0)，交y轴于点C. (1)求此抛物线的解析式； (2)在y轴正半轴上是否存在点N使得△AON与△OBC相似?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若横坐标为m的点P在第一象限内的抛物线上运动，当△PBC的面积最大时，请直接写出m的值. 二次函数与几何的综合 点击返回目录页 【解题点拨】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)由题意，得tan∠OBC＝2.分两种情况：当∠NAO＝∠OBC时；当∠NAO＝∠OCB时.分别求出点N的坐标即可.(3)过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，可得P(m，－2m2＋4m＋6).由B，C两点的坐标可求得直线BC的解析式，从而得到点Q的坐标.S△PBC＝PQ·(xB－xC)，结合二次函数的性质，可求得△PBC的面积最大时m的值. 点击返回目录页 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋6， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋4x＋6. 点击返回目录页 (2)存在.当x＝0时，y＝6，∴C(0，6)，∴OC＝6.∵B(3，0)，∴OB＝3，∴tan∠OBC＝＝2.∵△AON与△OBC相似，∠AON＝∠COB＝90°，∴分以下两种情况讨论：当∠NAO＝∠OBC时，＝2，∴NO＝2，∴N(0，2)；当∠NAO＝∠OCB时，，∴ON＝，∴N.综上所述，点N的坐标为(0，2)或. (3)m＝. 点击返回目录页 如右图，二次函数y＝－x2＋3x ＋m的图象与x轴的一个交点为B(4，0)，另一个 交点为A，与y轴相交于点C. (1)求m的值及点C的坐标； (2)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q. ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②点P的横坐标为t(0＜t＜4).当t为何值时，四边形PBQC的面积最大?请说明理由. 点击返回目录页 解：(1)将B(4，0)代入y＝－x2＋3x＋m，得0＝－16＋12＋m，解得m＝4，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋3x＋4. 令x＝0，则y＝4，∴C(0，4). (2)①∵点P在抛物线上，∴设P(n，－n2＋3n＋4).当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上.∵B(4，0)，C(0，4)，∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴n＝－n2＋3n＋4，解得n＝1±，∴点P的坐标为(1＋，1＋)或(1－，1－). 点击返回目录页 ②如图，过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E，过点C作l的垂线交l于点F.∵B(4，0)，C(0，4)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.∵点D在直线BC上，∴D(t，－t＋4).∵点P(t，－t2＋3t＋4)，∴PD＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t.∵BE＋CF＝4，∴S四边形PBQC＝2S△PCB＝2(S△PCD＋S△PBD)＝2＝4PD＝－4t2＋16t＝－4(t－2)2＋16.∵0＜t＜4，∴当t＝2时，四边形PBQC的面积最大. 点击返回目录页 本课结束 THANK YOU ! 45 $$