精品解析：山东省聊城市茌平区实验中学2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学试题

山东省聊城市茌平区实验中学2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学试题 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 小明有两根长度为4cm 和10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择 （     ） A. 3cm B. 5cm C. 8cm D. 15cm 4. 如图，，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个正多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 两钉子固定木条 B. 木板上弹墨线 C. 测量跳远成绩 D. 弯曲河道改直 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 15 B. 5 C. 6 D. 14 9. 如图，，，求的度数，下面为解答过程： 解：∵， ∴①，（依据②） ∴③，∴④ 则下列说法正确的是（ ） A. ①是 B. ②是同旁内角是互补，两直线平行 C. ③是 D. ④是 10. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A B. C. 3 D. 6 12. 如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是（ ） A. 120° B. 110° C. 140° D. 130° 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 13. 已知：，，，则__． 14. 将长方形纸片按如图方式折叠，为折痕，则的度数为______． 15. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 __． 16. 如图，是的中线，点、分别为、的中点，的面积为，则的面积是 _____． 17. 如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数__________． 三、解答题（本大题共8小题，共69分） 18. （1）计算 （2）计算 （3）因式分解 （4）因式分解. 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 解方程组：． 21. 如图，在中，点在上，，，垂足分别为，． （1）请判定与平行吗？并说明理由； （2）如果，且，求的度数． 22. 为了培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取90名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息： a．90名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表： 分组 合计 频数 9 15 24 9 90 b．90名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图； 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的组距是__________，__________； （2）求出频数分布表中值并补全频数分布直方图； （3）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有1500名学生，请估计获奖的学生人数． 23. 如图，某校有一块长为米，宽为米长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含，的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当，时，求需要硬化的面积． 24. 李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 25. 将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处． 【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ; 【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 【拓展】如果点落在四边形外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省聊城市茌平区实验中学2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学试题 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】、根据同底数幂的乘法法则计算判断即可；、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可；、根据去括号法则判断即可；、根据合并同类法则判断即可． 【详解】解：、原式，故不合题意； 、原式，故符合题意； 、原式，故不合题意； 、不是同类项，不能合并，故不合题意． 故选：． 【点睛】此题考查的是同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方运算、去括号、合并同类法则，掌握运算法则是解决此题的关键． 2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000164=1.64×10-6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键． 3. 小明有两根长度为4cm 和10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择 （     ） A. 3cm B. 5cm C. 8cm D. 15cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【详解】解：∵两根长度为4cm 和10cm的木棒， 则第三边的取值范围为：， 即：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，是解本题的关键． 4. 如图，，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可求出的度数，然后根据对顶角相等得，再根据平行线的性质得，进而可求出． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质． 5. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个正多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到多边形外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【详解】解：这个正多边形的边数：， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 6. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 两钉子固定木条 B. 木板上弹墨线 C. 测量跳远成绩 D. 弯曲河道改直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，直线的性质的数学常识在生活中的应用，，熟练掌握数学常识是解题的关键． 用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上是两点确定一条直线；木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，可用两点确定一条直线来解释的现象；测量跳远成绩是垂线段最短求脚后跟到起跳线的距离；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程是两点之间，线段最短；据此分别判断即可． 【详解】A．两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B．木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识均为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C．测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D．把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键； 根据分解因式的方法逐项判断即可得解. 【详解】解：A、，故该选项分解因式正确； B、，故该选项分解因式错误； C、不能分解因式，故该选项错误； D、，故该选项分解因式错误； 故选：A. 8. 若，则（ ） A. 15 B. 5 C. 6 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据代数式右边的结果可以看出，其左边各项需要整理成以3为底的幂的形式，并进行合并进而求解． 【详解】解： ． ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法等，是初中数学中最基本的运算．一定要在深刻理解的基础上多练习，牢记运算法则． 9. 如图，，，求的度数，下面为解答过程： 解：∵， ∴①，（依据②） ∴③，∴④ 则下列说法正确的是（ ） A. ①是 B. ②是同旁内角是互补，两直线平行 C. ③是 D. ④是 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及直角三角形的两个锐角互余，进行判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，（两直线平行，同旁内角是互补） ∴，∴ ①是，②两直线平行，同旁内角互补，③是，④是， 故选：D． 【点睛】本题考查了两直线平行，同旁内角互补和直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】①直径是弦，正确，符合题意； ②弦不一定是直径，错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意； ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意； 正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大． 11. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：是完全平方式， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12. 如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是（ ） A. 120° B. 110° C. 140° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】过D点作，根据两直线平行，同旁内角互补，可求，根据平角的定义可求 ，根据直角三角形的性质可求，再根据两直线平行，同旁内角互补，可求． 【详解】解：过D点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 13. 已知：，，，则__． 【答案】10 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：当，，时， ． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14. 将长方形纸片按如图方式折叠，为折痕，则的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，，然后根据平角为求解即可． 【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，为折痕， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义． 15. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 __． 【答案】12 【解析】 【分析】先把两方程相加，再利用整体代入法得到方程，然后解关于的一元一次方程即可． 【详解】解： ①②得：， 即， 解得：． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，即代入消元法和加减消元法，掌握整体代入法是本题运用简便方法的关键． 16. 如图，是中线，点、分别为、的中点，的面积为，则的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等和的面积为，可求得，，，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 利用角平分线定义可得，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵的平分线交于点O，D是与平分线的交点， ∴， ∵， ∴ 又∵， ． ∵， ，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共69分） 18. （1）计算 （2）计算 （3）因式分解 （4）因式分解. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了0指数和负整数指数幂、同底数幂的乘除法、积的乘方以及多项式的因式分解等知识，熟练掌握相关运算法则和分解因式的方法是解题的关键； （1）先计算同底数幂的乘法、积的乘方和同底数幂的除法，再合并同类项即可； （2）先去绝对值、计算0指数和负整数指数幂，再计算加减； （3）先提取公因式，再根据平方差公式分解； （4）先提取公因式，再根据完全平方公式分解 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 整理得：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 21. 如图，在中，点在上，，，垂足分别为，． （1）请判定与平行吗？并说明理由； （2）如果，且，求的度数． 【答案】（1）与平行，理由见解答过程 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的意义可得出，据此可得出结论； （2）首先根据（1）的结论得出，再结合已知条件可得出，进而可判定，然后根据平行线的性质可求出的度数． 【小问1详解】 解：与平行，理由如下： ，， ， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）． 【小问2详解】 由（1）可知： ， ， ， ， ∴， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． 22. 为了培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取90名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息： a．90名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表： 分组 合计 频数 9 15 24 9 90 b．90名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图； 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的组距是__________，__________； （2）求出频数分布表中的值并补全频数分布直方图； （3）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有1500名学生，请估计获奖的学生人数． 【答案】（1）5；12 （2）21；见解析 （3）500人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）根据组中值的定义和频数分布直方图的数据求解即可； （2）用90减去其他组的频数即可求出n的值，进而补全统计图即可； （3）用1500乘以样本中每日平均家务劳动时长达到及以上的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，频数分布表中的组距是，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：人， ∴ 估计获奖学生人数为500人． 23. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含，的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当，时，求需要硬化的面积． 【答案】（1）5a2＋3ab （2）155平方米 【解析】 【分析】（1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可； 【小问1详解】 解：由图得， 阴影面积=（3a＋b）×（2a＋b）－（a＋b）2=6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2=5a2＋3ab 【小问2详解】 解：当，时， 阴影面积=5×52＋3×5×2=155（平方米）， 答：需要硬化的面积是155平方米． 【点睛】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． 24. 李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【答案】（1）甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元 （2）商场是打7折出售这两种商品的 【解析】 【分析】（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元； 【小问2详解】 （2）设商场是打折出售这两种商品， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 25. 将三角形纸片沿直线折叠，使点落在处． 【感知】如果点落在边上，这时图①中的变为，那么与之间的关系是 ; 【探究】如果点落在四边形的内部如图①，那么与、之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 【拓展】如果点落在四边形的外部如图②，那么请直接写出与、之间存在数量关系 . 【答案】感知：探究： 拓展： 【解析】 【分析】[感知]根据三角形外角性质得出，根据折叠性质得出，即可求出答案； [探究]根据三角形内角和定理得出，，两式相加可得，即，根据平角的定义得出，可得出，根据折叠性质得出，即可得出； [拓展]根据三角形外角性质得出，，推出，即可得出答案． 【详解】解：[感知]：． 理由如下：当点落在边上时，由折叠可得：； ， ， 故答案为：； [探究]：． 理由如下：，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 故答案为：； [拓展]：如图②， ，， 由折叠可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$