2025年山西中考数学压轴题之第15题专练

2025山西中考数学压轴题之第15题专练 参考答案及解析 1． 【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点A作于点Q， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 2． 【分析】根据勾股定理求得斜边，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，以及折叠的性质得出，，进而证明是等腰三角形，证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中，，是的中点， ∴，， ∵将沿折叠， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴即 解得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，取中点，连接，设（），求得，证明，得到，即，解出，再利用勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴， 设（）， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，点分别是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 4． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，作，延长交于点，过点作于点，勾股定理求得，进而证明，求得，根据得出的长，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，延长交于点，过点作于点， ∵，点是的中点， ∴， 在中，，， ∵， ∴ 又∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为： 5． 【分析】过B作于H，过E作交延长线于M；则由角平分线得；由直角三角形的性质可求得的长，由勾股定理求得的长；由得三角形相似， ，即求得． 【详解】解：如图，过B作于H，过E作交延长线于M； ∵，平分， ∴， ∴， ∴； ∵E点为的中点，， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 即； 故答案为：．　 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，作平行线构造三角形相似是解题的关键． 6． 【分析】取的中点，连接，过点作于点，求出，证明，即可得到． 【详解】解：取的中点，连接，过点作于点，则 ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 7． 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 8．/ 【分析】取的中点，连接，作于点，因为，所以，则，推导出，则，所以，可证明，得，由是边的中线，求得，则，由，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，过点E作于点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9． 【分析】取的中点，连接，作于点，因为，所以，则，推导出，则，所以，可证明，得，由是边的中线，求得，则，由，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取的中点，连接，作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．/ 【分析】取中点，连接，过作于点，由中位线定理可得，，，则有，，所以，，则，，从而得到，又，，得出，，，代入得到，然后通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，过作于点， ∴， ∵为的中点，H为中点， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 根据矩形，勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据解直角三角形的计算得到，设，则，再证明，得到，即，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 12．/ 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 13．/ 【分析】过点作于点，作，交于点，先利用勾股定理求出，再根据角平分线的性质定理可得，证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后利用勾股定理可得，，最后证出，可得的长，证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 14．/ 【分析】本题考查的是相似三角形，关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质来分析判断．根据平行四边形性质得，，，，证明，得四边形是平行四边形，得，证明是等边三角形，得，根据，得四边形是矩形，得，得，得，得，得，即得 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15． 【分析】根据已知条件可以得到是等边三角形，作的中点N，连接，过点E作，垂足为M，先证明，再证明，根据相似比得到，再根据勾股定理得到，设，利用直角三角函数进行推算，建立关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，作的中点N，连接，过点E作，垂足为M， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴，， ∵，， ∴ ∵， ∴， 化解方程得， ∴，或， ∵，故舍去， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形、全等三角形、相似三角形和一元二次方程，解题的关键是通过相似比和勾股定理建立等式，最终建立一元二次方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025山西中考数学压轴题之第15题专练 一、填空题 1．如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．    2．如图，在中，，是的中点，连接，将沿折叠，使点落在点，连接，则 ． 3．如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为 ． 4．如图，在中，，，，点是的中点，点是上的一点，连接，若平分，则的长为 ． 5．如图，在中，，，E为的中点，为角平分线，与交于点F，则的长为 ． 6．已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为 ． 7．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 8．如图，在中，是边的中线，点是上的一点，且，连接．则的长为 ． 9．如图，在中，，，，是边的中线，点是上的一点，且，连接．则的长为 ． 10．如图，中，，，为的中点，点是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点，若，则的长为 ． 11．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为 ． 12．如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为 ． 13．如图，在正方形中，是边上的一点，连接，的平分线与交于点，连接交于点，若，则的长为 ． 14．如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接．点M是的中点，连接交于点H，若，，则的长为 ． 15．如图，在中，，，D，E分别为线段，上的动点，且，连接，交于点F，若点F为的中点，则线段的长为 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$