2024-2025学年 江苏省苏科版数学八年级下学期 四边形中的最值问题 专题复习

2024-2025学年度江苏省八年级下学期期末《四边形中的最值问题》专题复习 考点预览 考点一、将军饮马问题 考点二、将军遛马问题 考点三、与中位线有关的最值问题 考点四、两动一定最值问题 考点五、直角三角形取斜边中点最值问题 考点六、四边形中的胡不归问题 考点七、反演变换之手拉手全等 一、将军饮马中基础模型求线段和最短 问题1：如图1-1所示，点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 问题2：如图1-2所示，点A、B在直线l两侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 1.当点A、B在直线l同侧时，如图1-3所示，过点A作关于l的对称点A1，连接A1B与直线l交于点P，连接AP、PB，此时AP+PB最短。 证明：易得△AOP≌△A1OP，即AP+PB=A1P+PB，当A1、P、B三点共线时最短，A1P+PB=AB。 2.当点A、B在直线l异侧时，直接连接AB与l相较于点P，此时A、P、B三点共线PA+PB最短 2、 将军遛马模型： 1、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 2、将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 3、将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’ 考点一、将军饮马问题 典例：如图，在正方形中，E是上一点，，，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．14 变式：如图，正方形ABCD的边长为4，E点是BC上一点，F是AB上一点，P是AC上 一动点，且BE＝1，AF＝2，则PE+PF的最小值是 ． 考点二、将军遛马问题 典例：如图，矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 变式：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF=2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（　　）    A．2 B．4 C． D． 考点三、与中位线有关的最值 典例：如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（　　）    A．4 B．5 C．6 D．10 变式：如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 考点四、两动一定类型 典例：如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（    ）cm A． B． C．6 D．3 变式：如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（　　） A．6 B．8 C．3+2 D．4 考点五、直角三角形取斜边中点 典例：如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．22 B．22 C．22 D．1 变式：如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，O为边AB的中点，P为矩形ABCD外一动点，且∠APC＝90°，则线段OP的最大值为（　　） A．5 B．3 C．42 D．21 考点六、四边形中的胡不归问题 典例：如图，矩形ABCD中，BC，CD＝1，点E是AC上一动点，则BECE的最小值为　　． 变式：如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC的值最小时，线段PD的长是（　　） A． B． C． D． 考点七、反演变换之手拉手全等 典例：如图，△ABC是∠C＝90°的等腰直角三角形，点P为△ABC外一点，CP，BP＝3，则AP的最大值是 　 　． 变式：如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　 　． 一、选择题 1．如图，正方形中，为边上一点，将沿翻折到，点折到点，连，则的最小值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 2．正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（   ） A．32 B．8 C．16 D．64 3．如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 4．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 5．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 6．如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D．10 10．如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 11．如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 12．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 13．如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，将绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 二、填空题 16．如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值 ． 17．如图，在正方形中，点A，点在轴上，点坐标为，是平面内任意一点，且始终满足，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 18．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 19．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是 ． 20．如图，正方形的边长为4，点E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接，，则的最小值为 ． 21．如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． 22．如图，正方形的边长为，点，分别在，上．将该正方形沿折叠，使点落在边上的点处，连接，与折痕交于点． （1）若是的中点，则的长为 ； （2）若为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ． 23．如图，有一张矩形纸条，，，点N在边上，，动点M从点A向点B运动，将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，，线段与边交于点E，则的最小值为 ，此时点E离开初始位置（指点M从点A出发时，点E的位置）的距离为 ． 24．如图，在矩形中，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终经过矩形的对称中心，则周长的最小值为 ． 25．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ． 26．如图，在中，，，，点是中点，是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值 ． 27．如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，点为的中点，则的最小值为 ．    28．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是 ． 29．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 30．如图，正方形的边长为4，点，点分别是边，边上的动点，且与相交于点 ，若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度江苏省八年级下学期期末《四边形中的最值问题》专题复习 考点预览 考点一、将军饮马问题 考点二、将军遛马问题 考点三、与中位线有关的最值问题 考点四、两动一定最值问题 考点五、直角三角形取斜边中点最值问题 考点六、四边形中的胡不归问题 考点七、反演变换之手拉手全等 一、将军饮马中基础模型求线段和最短 问题1：如图1-1所示，点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 问题2：如图1-2所示，点A、B在直线l两侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 1.当点A、B在直线l同侧时，如图1-3所示，过点A作关于l的对称点A1，连接A1B与直线l交于点P，连接AP、PB，此时AP+PB最短。 证明：易得△AOP≌△A1OP，即AP+PB=A1P+PB，当A1、P、B三点共线时最短，A1P+PB=AB。 2.当点A、B在直线l异侧时，直接连接AB与l相较于点P，此时A、P、B三点共线PA+PB最短 2、 将军遛马模型： 1、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 2、将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 3、将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’ 考点一、将军饮马问题 典例：如图，在正方形中，E是上一点，，，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P是上一动点， ∴由正方形的对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10， 故选C． 变式：如图，正方形ABCD的边长为4，E点是BC上一点，F是AB上一点，P是AC上 一动点，且BE＝1，AF＝2，则PE+PF的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求， 过F作FG⊥CD于G， 在Rt△E′FG中， GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4， 所以E′F＝． 故答案为 ． 考点二、将军遛马问题 典例：如图，矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小， ∵四边形是矩形 ∴、、 ， ， 四边形是平行四边形， ， ∵关于的对称点是、为边的中点， ∴垂直平分 ∴、 ， ，， ，， 由勾股定理得： 即的最小值为． 故选C． 变式：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是BC中点，点E、F是边CD上的任意两点，且EF=2，当四边形APEF的周长最小时，则DF的长为（　　）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】如图，作P关于CD的对称点M，在AB上截取AH=2，然后连接HM交CD于E，接着在CD上截取EF=2，那么E、F两点即可满足使四边形APEF的周长最小． ∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是BC中点，∴CP=CM=4，MB=12，而AH=2，∴BH=4， ∵AB∥CD，∴△CEM∽△BHM，∴CE：BH=MC：MB，∴CE==，∴DF=CD﹣CE﹣EF=6﹣﹣2=． 故选C．    考点三、与中位线有关的最值 典例：如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（　　）    A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当点N与点B重合时，最大，此时， ∴长度的最大值为5， 故选：B． 变式：如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝135°， ∴AB∥BC， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣135°＝45°， ∵AN⊥BC， ∴∠BAN＝90°﹣∠B＝45°， ∴△ABN是等腰直角三角形， ∴BN＝AN＝AB＝×2＝， ∵E、F分别为AH、GH的中点， ∴EF是△AGH的中位线， ∴EF＝AG， 当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值， ∴当点G与点N重合时，AG的最小值为， ∴EF的最小值为， 故选：C． 考点四、两动一定类型 典例：如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（    ）cm A． B． C．6 D．3 【答案】B 【详解】解：如图，作出点C关于的对称点E，过点E作于N，交于M，连接，此时最小． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由对称得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即：的最小值为． 故选：B． 变式：如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（　　） A．6 B．8 C．3+2 D．4 【答案】A 【详解】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP， 由对称性可知，AP=A'P， ∴AP+PK=A'P+PK≥A'K， ∴当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小， ∵∠ABD=60°， ∴∠BAA'=30°， ∵AB=4， ∴BM=2，AM=2， ∴AA'=4， 在Rt△AA'K中，∠AA'K=30°， ∴A'K=6， ∴AP+PK的最小值为6， 故选：A． 考点五、直角三角形取斜边中点 典例：如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（　　） A．22 B．22 C．22 D．1 解：取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON＝90°， ∴OEAB＝2． 在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2． 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝22． 故选：B． 变式：如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，O为边AB的中点，P为矩形ABCD外一动点，且∠APC＝90°，则线段OP的最大值为（　　） A．5 B．3 C．42 D．21 解：如图，连接AC，取AC的中点E， ∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠B＝90°，O为AB的中点， ∴AC6， ∵AE＝EC，AO＝OB， ∴OE2， ∵AP⊥CP， ∴PEAC6＝3， 由三角形的三边关系得，O、E、P三点共线时OP最大， 此时OP最大＝3． 故选：B． 考点六、四边形中的胡不归问题 典例：如图，矩形ABCD中，BC，CD＝1，点E是AC上一动点，则BECE的最小值为　　． 解：如图，作CF平分∠ACD交AD于F，过点E作EJ⊥CF于J，过点B作BH⊥CF于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BCD＝90°，AD＝BC， ∴AC2， ∴AC＝2CD， ∴∠CAD＝30°，∠ACD＝60° ∵CF平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠FCD∠ACD＝30°， ∵EJ⊥CF， ∴EJCE， ∴BEEC＝BE+EJ， 在Rt△CBH中，∠BCH＝90°﹣30°＝60°，BC， ∴CHBC， ∴BH， ∵BE+EJ≥BH，∴BEEC， ∴BEEC的最小值为， 故答案为：． 变式：如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC的值最小时，线段PD的长是（　　） A． B． C． D． 解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP， 由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°， ∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE， ∴AP＝CP， ∴PCAP+PE， ∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短， ∴此时，PC的值最小，AP⊥AD， ∵Rt△ABE中，AB＝2， ∴BE＝1，AE， ∴Rt△BEP中，PE， ∴AP， ∵∠ADP＝30°， ∴Rt△ADP中，PD＝2AP， 故选：A． 考点七、反演变换之手拉手全等 典例：如图，△ABC是∠C＝90°的等腰直角三角形，点P为△ABC外一点，CP，BP＝3，则AP的最大值是 　 　． 解：过点C作CQ⊥CP，且CQ＝CP，连接AQ，PQ， ∵∠ACQ+∠BCQ＝∠BCP+∠BCQ＝90°， ∴∠ACQ＝∠BCP， 在△ACQ和△BCP中， ， △ACQ≌△BCP（SAS）， ∴AQ＝BP＝3，CQ＝CP＝2， PQ2， AP≤AQ+PQ≤3+2＝5． AP的最大值为5． 故答案为：5． 变式：如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　 　． 解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM， ∵∠EDF＝∠ODM＝90°， ∴∠EDO＝∠FDM， ∵DE＝DF，DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM（SAS）， ∴FM＝OE＝2， ∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点， ∴OC， ∴OD5， ∴OM5， ∵OF+MF≥OM， ∴OF≥52， ∴线段OF长的最小值为52． 故答案为：52． 一、选择题 1．如图，正方形中，为边上一点，将沿翻折到，点折到点，连，则的最小值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 2．正方形边长为4，上有一动点E，以为边作矩形，且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积的最大值与最小值的和为（   ） A．32 B．8 C．16 D．64 3．如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 4．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 5．如图，在正方形中，，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 6．如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D．10 10．如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 11．如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 12．如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 13．如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，将绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 二、填空题 16．如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值 ． 17．如图，在正方形中，点A，点在轴上，点坐标为，是平面内任意一点，且始终满足，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 18．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 19．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是 ． 20．如图，正方形的边长为4，点E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形，连接，，则的最小值为 ． 21．如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． 22．如图，正方形的边长为，点，分别在，上．将该正方形沿折叠，使点落在边上的点处，连接，与折痕交于点． （1）若是的中点，则的长为 ； （2）若为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ． 23．如图，有一张矩形纸条，，，点N在边上，，动点M从点A向点B运动，将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，，线段与边交于点E，则的最小值为 ，此时点E离开初始位置（指点M从点A出发时，点E的位置）的距离为 ． 24．如图，在矩形中，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终经过矩形的对称中心，则周长的最小值为 ． 25．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ． 26．如图，在中，，，，点是中点，是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值 ． 27．如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，点为的中点，则的最小值为 ．    28．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是 ． 29．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 30．如图，正方形的边长为4，点，点分别是边，边上的动点，且与相交于点 ，若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于 ． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 【详解】解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据点到直线的距离垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，证得矩形的面积是定值是解题的关键．连接，的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴矩形与正方形的面积相等， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴矩形的面积是定值16， ∴矩形的面积的最大值与最小值的和为32， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键． 找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可． 【详解】解：连接，交于，连接交于P， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴（等腰三角形三线合一的性质）． 在中， ． 即的最小值为． 故选B． 4．D 【分析】连接，得到是的中位线，当时，最小，得到最小值，计算即可． 【详解】连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故的最小值为． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形性质，三角形中位线的性质是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，为的长，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∴点在线段上时，的值最小，为的长， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∴的最小值为； 故选D． 6．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．过点作直线，过点作轴，证明，当最小时，对角线取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作直线，过点作轴，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点， 平行四边形， ， 直线和均垂直于轴， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由于的长不变，故当最小时，即点在轴上时，对角线取得最小值， 最小值为， 故选D． 7．A 【分析】连接，先根据折叠得到点在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可． 【详解】解：连接， 由折叠得， ∴点共线，即点在上， ∴当时，这时最小， ∵是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质，合理做出辅助线是解题的关键． 8．C 【分析】连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 9．B 【分析】如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接，证明出四边形是平行四边形，得到，，然后推出当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度，然后求出，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接 ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵四边形是正方形，，为正方形对角线上的动点 ∴ ∴ ∴的周长 ∴当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度 ∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形边长为， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴周长的最小值为8． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是得到当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值． 10．A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，综合性强，正确找出点的运动轨迹是解题关键．分别取的中点，连接，先根据矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理可得的长，再根据三角形的中位线定理可得当点在上运动时，点在上运动，根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后利用勾股定理可得，由此可求出的长，最后在中，利用勾股定理计算即可得． 【详解】解：如图，分别取的中点，连接， ∵矩形中，，，为的中点， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点为的中点，点是的中点， ∴， 又∵点是的中点，为的中点， ∴， 同理可得：， ∴点在同一条直线上，即当点在上运动时，点在上运动， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：A． 11．C 【分析】过点作，分别交于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点，连接， ∵在正方形中，，点是边的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 12．C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，连接，过点C作于点H，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当的值最小时，的值为最小， 点P在斜边上（不与A、B重合）， 根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， 长度的最小值为． 故选：C． 13．C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转性质，先根据矩形的性质，旋转性质得出，，再证明，则作关于的对称点，连接，，当，，共线时，最小，最小值为线段的长，运用勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵将绕点顺时针旋转得到线段 ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， 点在过点的的垂线上， ∵，， ∴， 作关于的对称点，连接，， ， ， 当，，共线时，最小，最小值为线段的长， 的最小值为． 故选：C 14．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 故选：B． 15．C 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，连接，利用转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可，解题的关键是理解两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可知，， ， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为， 故选：C． 16．2 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标，解题关键是建立平面直角坐标系． 以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，可得出，，，先求出直线的解析式，再设出点的坐标为，然后证明，从而可得出点的坐标，再求出点的坐标，然后利用两点间的距离求出用表示出，再求出最小值即可． 【详解】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，则，，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 过点作于点，过点作的延长于点，过点作， 则四边形是矩形，，， 所以，又， 所以， 所以，， 因为四边形是矩形， 所以，， 因为四边形是正方形，是对角线， 所以平分， 所以点到的距离等于它到的距离为， 所以到轴的距离为，即点的横坐标为， 所以，所以到的距离为，即点的纵坐标为， 所以点的坐标为， 因为点是的中点， 所以点的横坐标为， 所以，当时，有最小值2， 故答案为：2． 17． 【分析】连接，取中点P，连接，根据正方形性质，得，，，得， 得，得，，，得，当点P在线段上时，取得最大值，为；当点O在线段上时，取得最小值，为． 【详解】解：连接，取中点P，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， 取得最大值， 为； 当点O在线段上时， 取得最小值， 为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，中点坐标，两点间的距离，分类讨论，是解题的关键． 18． 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 故答案为：． 19． 【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答． 【详解】解：如图， 在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ． 取的中点，连接、，如图：   则， 在中，， 根据三角形的三边关系，得， 当、、三点共线时，的长度最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 20． 【分析】连接，证明，可得，从而可得，即当A，E，F，C四点共线时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A，E，F，C四点共线时，的值最小，最小值为的值， 如图， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及最值问题，作出辅助线是解题的关键． 21． / 2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，则，要使的值最小，即要使的值最小，故当，，三点共线时，的值最小；连接，可证明，得到，则线段的长的最小值即为线段的长的最小值，故当，，三点共线时，最短，即此时最短，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∴要使的值最小，即要使的值最小， ∵， 如图1，当，，三点共线时，的值最小． ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 如图2，连接， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值． ∴当，，三点共线时，最短，即此时最短， 在中，， ∴的长的最小值为． 故答案为：；2． 22． 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质求解； （1）设，则，根据折叠的性质得出，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）取的中点，连接，根据折叠的性质可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，进而可得的最小值为的长，勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）正方形的边长为， ∴， 当是的中点，则， 设，则 ∵折叠， ∴， 在中， ∴ 解得；； 故答案为：． （2）如图，取的中点，连接 ∵折叠， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ 当在上时，取得最小值，最小值为 故答案为：． 23． 4 1 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理与折叠，完全平方式的应用．由折叠的性质得，又，有，求得，，过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而求得的最小值和最大值；设，在中，可得，即可求得点E的初始位置据此计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； 过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ，即的最小值为4； 故答案为：4； ， 最大为4； 设， ，，， ， 当点M从点A出发时 由（1）知， 在中，， ， ， 即； ∴当从开始，运动到最大时，的路径长为； 故答案为：1． 24． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 取的中点，的中点，取中点，连接，，，，，则，可得当、、三点共线时，的最小值为，的最小值为， 【详解】如图，取的中点，的中点，取中点，连接，，，，，则，故，那么，此时的周长最小值为，在中，由勾股定理求出，那么的周长最小值为．    ， 线段始终经过矩形的对称中心， 是定点，点共线，， ∴， 当、、三点共线时，的最小值为，的最小值为， ， 四边形是矩形， ， ∴，， ∴， ∴的周长最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 的周长最小值为， 故答案为：． 25． 【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形． 26． 【分析】在上截取,连接，证明可得，得在上运动，延长交于点，得是等边三角形，作关于的对称点，则，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，则，，进而分别求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴在上运动， 延长交于点， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 作关于的对称点，则，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，则，， ∴,， 在中，，，， ∴， ∵， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∵是上的点， ∴，当在上时，取得最小值，最小值为的长，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27． 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，求出的最小值是解题的关键． 根据矩形的性质就可以得出，，互相平分，且，垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴四边形是矩形， ，互相平分．且， ，的交点就是点．， 当的值最小时，的值就最小， 当时，的值最小，即的值最小． ， ∴ 在中， ，， 得． ． 故答案为：． 28．/ 【分析】连接，，当、、三点共线时，即点M与点重合时，取得最小值，此时， 根据勾股定理，折叠性质解答即可． 【详解】证明：如图，连接， ∴， 当、、三点共线时，即点M与点重合时，取得最小值， 此时， ∵，，，是边的中点， ∴, ∴, 由翻折得， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 29． 【分析】本题考查矩形中的翻折变换，勾股定理，中位线的性质定理，解题的关键是掌握翻折的性质和矩形的性质，构造三角形中位线解决问题． 延长到，使，连接，求出，根据翻折得到可得，故当H，F，C共线时，最小，的最小值为； 由是的中位线，即可得的最小值． 【详解】解∶ 延长到，使，连接，如图∶ 四边形是矩形， ， ， 将沿翻折得到， ， 当，，共线时，最小，最小值为； 点为的中点，， 是的中位线， ， 的最小值为； 故答案为：． 30． 【分析】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，轴对称的性质，首先证明，可得出；作M关于的对称点Q，取的中点H，连接，连接，，得，根据勾股定理，当H、P、N、Q四点共线时，的值最小，最小值为，从而得出的最小值为，即可得出结论． 【详解】解：作M关于的对称点Q，取的中点H，连接与交于点N，连接，，则； ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴点在以点为圆心，为直径的半圆上， ∵M点是的中点, ∴, ∵， ∴当H、P、N、Q四点共线时，的值最小，最小值为， ∵ ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， ∵ ∴的最小值为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$