专题06 解三角形在几何与实际中的应用10种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题06 解三角形在几何与实际中的应用10种常考题型总结 题型概览 题型01 角度与三角函数值的最值范围 题型02 边长与周长的最值范围 题型03 面积的最值范围 题型04 三角形的中线问题 题型05 三角形的角平分线问题 题型06 三角形的高线问题 题型07 多三角形问题 题型08 测量距离问题 题型09 测量高度问题 题型10 测量角度问题 ( 题型01 ) 角度与三角函数值的最值范围 1．（2024春•张家口期末）在锐角△中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为 　　． 2．（2019春•邯郸期末）在△中，，，分别是角，，所对的边，且，则的最大值为 　　． 3．（2023秋•邢台期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． （多选）4．（2022春•邯郸期末）设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 ( 题型02 ) 边长与周长的最值范围 5．（2024秋•唐县校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 6．（2024秋•唐县校级期末）已知的内角，，所对的边分别是，，，． （1）求角； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围． 7．（2025春•武强县校级期末）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，已知且． （1）求角的大小； （2）若，求△的面积； （3）求的取值范围． 8．（2024春•涉县校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，为的中点，求的长； （3）若，求的取值范围． 9．（2023春•张家口期末）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 10．（2023春•辛集市期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•邯郸期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足． （1）求； （2）若，求的取值范围． ( 题型03 ) 面积的最值范围 12．（2024秋•保定期末）在△中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求△的面积的取值范围． 13．（2024春•张家口期末）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．在△中，内角，，的对边分别为，，，且满足_____． （1）求角的大小； （2）若△为锐角三角形，，求△面积的取值范围． （注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分） 14．（2022春•衡水期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，． （1）求角的大小； （2）若，为边上的动点（不包括端点），且满足，求的面积的取值范围． ( 题型04 ) 三角形的中线问题 15．（2024春•唐山期末）在中，，是边上的中线． （1）求的面积； （2）求中线的长． 16．（2023春•唐山期末）在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线，求的周长． 17．（2023秋•唐山期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）设边的中线，且，求的面积． 18．（2023秋•张家口期末）在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求的面积； （2）已知为边的中线，且，求的最大值． 19．（2023春•石家庄期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求． ( 题型0 5 ) 三角形的角平分线问题 20．（2024秋•昌黎县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求； （2）若，记的角平分线与交于点，求． 21．（2024春•涉县校级期末）已知的三个角，，的对边分别为，，，，，角的平分线交于点，且，则边上的高　． 22．（2024春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值． 23．（2023秋•保定期末）的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于点，，，求． 24．（2023春•邯郸期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，角的平分线与交于点，，求的面积． 25．（2024秋•承德期末）如图，中，角的平分线交边于点，，，，则　　 A． B．4 C． D．6 ( 题型0 6 ) 三角形的高线问题 26．（2024秋•唐山期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角； （2）若△的面积为，求边上的高． 27．（2023秋•辛集市期末）已知，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的值； （2）若面积为，求边上的高的最大值． 28．（2023秋•河北期末）在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）设是边上的高，且，，求的周长． ( 题型0 7 ) 多三角形问题 29．（2024春•保定期末）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果是中边上的中线，则． （1）若在中，，，，求此三角形边上的中线长； （2）请证明题干中的定理； （3）如图中，若，为中点，，，，求的值． 30．（2024春•石家庄期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，求的面积； （Ⅲ）如图，过点作的平行线，且，在四边形中，，，动点，分别在线段，上运动，且，求的最小值． 31．（2022秋•莲池区校级期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值为　　 A．2.5 B． C．3 D．4 32．（2023春•定州市期末）在中，，为边上一点，，且，则面积的最小值是 　　． 33．（2023春•张家口期末）如图，在中，为钝角，在上，且满足，，． （1）若，求； （2）若是的中点，，求的长度． 34．（2023春•石家庄期末）如图，在平面四边形中，，．，． （1）若，求线段的长； （2）求线段长的最大值． ( 题型0 8 ) 测量距离问题 35．（2022春•定州市期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏东方向，如图所示随后该船以15海里小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点，测得灯塔在其北偏东30方向，此时船与灯塔间的距离为　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 36．（2022春•承德期末）一艘海轮从地出发，沿北偏东的方向航行80海里后到达海岛，然后从地出发，沿北偏东的方向航行40海里后到达海岛．如果下次航行直接从地出发到达地，那么这艘船需要航行的距离是　　 A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里 37．（2020春•路南区校级期末）如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里 ( 题型0 9 ) 测量高度问题 38．（2024春•定州市期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）．某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米．在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为　　 A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 39．（2024春•石家庄期末）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，则塔高为　　 A． B． C． D． 40．（2024春•沧州期末）河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔（如图），著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”．为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内三个共线的测量基点，，，分别测得塔顶点的仰角为，，，且，示意图如图，则该塔高　　 A． B． C． D． 41．（2024春•保定期末）在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角的公路向上走到达处，在处测得山顶的仰角，如图，若在山高的处的点位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为 　　． ( 题型 10 ) 测量角度问题 42．（2022春•保定期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示．随后该船以20海里小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则　　 A． B． C． D． 43．（2018春•邯郸期末）如图，某军舰艇位于岛的的正西方处，且与岛的相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里小时的速度从岛屿出发沿北偏东方向逃窜，同时，该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上． （1）求该军舰艇的速度． （2）求的值． 1．（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，已知，且为钝角，则　　，的取值范围是 　　． 2．（2020春•新华区校级期末）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，，且，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 3．（2024春•唐山期末）已知锐角的面积为，则边的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•保定期末）在中，角，，所对的边分别是，，．已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． 5．（2021秋•唐山期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）求的取值范围． 6．（2022春•邯郸期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积． （1）求； （2）求周长的取值范围． （多选）7．（2021春•河北期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则　　 A． B．角的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 8．（2023春•元氏县校级期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答． 已知：的内角，，的对边分别为，，，且______． （1）求角； （2）求的取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形在几何与实际中的应用10种常考题型总结 题型概览 题型01 角度与三角函数值的最值范围 题型02 边长与周长的最值范围 题型03 面积的最值范围 题型04 三角形的中线问题 题型05 三角形的角平分线问题 题型06 三角形的高线问题 题型07 多三角形问题 题型08 测量距离问题 题型09 测量高度问题 题型10 测量角度问题 ( 题型01 ) 角度与三角函数值的最值范围 1．（2024春•张家口期末）在锐角△中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为 　　． 【解析】根据△是锐角三角形，可得、、均为正数， 由余弦定理得，结合，整理得， 由于恒成立，所以原不等式可化简为， 不等式组中的各项都除以，整理得，解得， 结合，可得，即的取值范围是，． 由正弦定理得，可得的取值范围是，． 故答案为：，． 2．（2019春•邯郸期末）在△中，，，分别是角，，所对的边，且，则的最大值为 　　． 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以当时，取得最大值为． 故答案为：． 3．（2023秋•邢台期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）求的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形， 所以； （2）因为，所以， 因为为锐角三角形，所以得， 因为， 因为，，所以，， 所以． 即的取值范围为． （多选）4．（2022春•邯郸期末）设锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【解析】因为， 所以， 则， 即， 则， 因为、、，所以，， 所以， 所以，即，故正确； 在锐角中，， 解得， 即的取值范围为，，故错误； 则，， 所以，，故错误； ，，故正确， 故选：． ( 题型02 ) 边长与周长的最值范围 5．（2024秋•唐县校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理可得：， 由正弦定理得：， 又因为， 则有， 因为，所以，则， 因为，所以． 由余弦定理得：， 因为，所以，解得， 所以△的面积． （2）因为为钝角，所以，解得， 由正弦定理，得，且， 代入化简得：． 因为，所以，，即， 所以的取值范围是． 6．（2024秋•唐县校级期末）已知的内角，，所对的边分别是，，，． （1）求角； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围． 【解析】（1）根据，可得，化简得， 由余弦定理得，结合，可得． （2）设外接圆的半径为，则，解得，外接圆直径为， 因为，所以， 结合余弦定理，得， 整理得，，当且仅当时，等号成立． 又因为，可得， 所以，，即的周长的取值范围为，． 7．（2025春•武强县校级期末）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，已知且． （1）求角的大小； （2）若，求△的面积； （3）求的取值范围． 【解析】（1）因为 ，且，则， 可得， 整理得，所以． （2）由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以△的面积． （3）由正弦定理，可得，， 则 ， 因为△为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为． 8．（2024春•涉县校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，为的中点，求的长； （3）若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，正弦定理得， 又由余弦定理得， 又，所以； （2）因为为的中点，所以，则， 所以， 所以， 解得，所以的长为1； （3）由正弦定理知， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以的取值范围为． 9．（2023春•张家口期末）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意并结合余弦定理得， 化简得，即， 由正弦定理知， 所以有，即， 由于三角形是锐角三角形，所以， 又由正弦定理得又， 由于三角形是锐角三角形，且， 所以，即， 所以有，即． 故选：． 10．（2023春•辛集市期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以， 则， 则， 则或， 则或（舍， 由正弦定理可得 ， 又因为 是锐角三角形， 所以，解得， 则， 则，即． 故选：． 11．（2022秋•邯郸期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理及得，， 因为， 所以，即， 因为，所以， 又，所以． （2）由正弦定理得，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以． ( 题型03 ) 面积的最值范围 12．（2024秋•保定期末）在△中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若，为边上一点（不同于，两点），，求△的面积的取值范围． 【解析】（1）由，结合正弦定理得， 在△中，， 可得， 所以，结合，化简得， 所以，结合，可得； （2）设，， 在△中，根据正弦定理得，解得， 所以， 结合， 可得△的面积 ． 因为， 所以，可得，，． 所以△的面积的取值范围是． 13．（2024春•张家口期末）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．在△中，内角，，的对边分别为，，，且满足_____． （1）求角的大小； （2）若△为锐角三角形，，求△面积的取值范围． （注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分） 【解析】（1）选择①因为，所以， 由正弦定理为△外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 即， 即， 即， 即， 因为，所以， 则， 因为， 所以，， 又因为，所以． 选择②：因为， 即． 在三角形中，由余弦定理可得， 所以，即， 所以． （2）在锐角三角形中，，，根据正弦定理． 可得． 所以，． 因为，，所以． 三角形面积 ． 因为三角形是锐角三角形，所以， 所以． 则， ， 所以 所以，，即三角形面积的取值范围是，． 14．（2022春•衡水期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，． （1）求角的大小； （2）若，为边上的动点（不包括端点），且满足，求的面积的取值范围． 【解析】（1）由，可得， ， ， ，， ，，， ，， ， ，，，； （2）过点作于， 由．可得，， 由， 设，，，则，，， ， ，，，，，， ，，，， 可得的面积的取值范围为，． ( 题型04 ) 三角形的中线问题 15．（2024春•唐山期末）在中，，是边上的中线． （1）求的面积； （2）求中线的长． 【解析】（1）由题意可知，，，， 则，化简整理可得，，解得， 故的面积为； （2）为中点， 则， 故，解得． 16．（2023春•唐山期末）在中，内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理得：， 即，即． 因为，所以．因为，所以； （2）已知，， 在中，由余弦定理得：①， 由为的中线，得， 两边平方得②， 联立①②得， 所以的周长为． 17．（2023秋•唐山期末）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）设边的中线，且，求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， 可得， 因为，可得， 即，， 可得或， 可得； （2）在中，由余弦定理可得，而，， 整理可得，① 在中，为的中点，，由余弦定理可得， 整理可得，即，② 由①②可得，即，可得， 所以． 18．（2023秋•张家口期末）在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求的面积； （2）已知为边的中线，且，求的最大值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 在三角形中，，， 可得，， 所以； 又因为，，由余弦定理可得， 即，即， 整理可得：，（舍， 所以； （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 设，可知， 将代入整理可得：， △，解得，解得， 即的最大值为． 19．（2023春•石家庄期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求． 【解析】（1），，且， ，即， 由正弦定理得：， ，，又为锐角，则； （2）在中，， ， ，，整理得， 解得（舍去）或． 此时，，，为锐角三角形，符合题意， 故． ( 题型0 5 ) 三角形的角平分线问题 20．（2024秋•昌黎县校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求； （2）若，记的角平分线与交于点，求． 【解析】（1），由正弦定理可得，又， ，， 又，． （2）若，由余弦定理可得， 又，则，解得或（舍去），， ， 即， 即， 又， ． 21．（2024春•涉县校级期末）已知的三个角，，的对边分别为，，，，，角的平分线交于点，且，则边上的高　． 【解析】因为， 则， 可得， 解得，则， 且，则， 由余弦定理可得：，即， 由的面积可得，解得． 故答案为：． 22．（2024春•邢台期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值． 【解析】（1）由条件知， ， 此即，故由正弦定理得， 再由余弦定理知， 且，所以． （2）由，， 结合正弦定理得， 而，故，， 由于，故， 所以，故， 而，故， 所以． 故． 23．（2023秋•保定期末）的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于点，，，求． 【解析】（1）由及正弦定理， 可得， 因为， 所以，又，， 所以，即， 又，所以； （2）法一：因为为的角平分线，， 设点到和的距离为， 则，即， 所以，又因为， 即， 则有，解得或（舍去）， 所以； 法二：因为为的角平分线，， 由内角平分线性质定理，可得，即， 又因为，由余弦定理， 可得， 即，故，即， 又因为，所以， 又，在中，有， 解得． 24．（2023春•邯郸期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，角的平分线与交于点，，求的面积． 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理得，所以， 所以． （2）设，因为． 又，所以，． 在中，由余弦定理得， 在 中，由余弦定理得， 将代入，解得，， 所以， 因为，所以，所以． 25．（2024秋•承德期末）如图，中，角的平分线交边于点，，，，则　　 A． B．4 C． D．6 【解析】中，由正弦定理得， 即，解得， 又，所以， 所以， 所以， 又平分，所以， 所以， 所以，， 由余弦定理得， 所以． 故选：． ( 题型0 6 ) 三角形的高线问题 26．（2024秋•唐山期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角； （2）若△的面积为，求边上的高． 【解析】（1）由，结合正弦定理，可得， 又由，代入，得，解得， 再由余弦定理得：， 又因为，所以； （2）由△的面积为，可得， 解得，又因为，代入解得，， 代入，可得， 设边上的高为，则，解得， 故边上的高为． 27．（2023秋•辛集市期末）已知，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的值； （2）若面积为，求边上的高的最大值． 【解析】（1）， ，可得，可得， ， ， ； （2）由面积为，得：， 而， ， 边上的高为， ，则， ， ，当且仅当时，取等号，即的最小值为2，此时最大为． 28．（2023秋•河北期末）在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）设是边上的高，且，，求的周长． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，， 即． 因为，， 所以， 在中，可得， 解得． （2）因为，，因为， 所以． 又由，可得， 所以． 由余弦定理，可得， 即， 即， 所以． 所以的周长为． ( 题型0 7 ) 多三角形问题 29．（2024春•保定期末）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果是中边上的中线，则． （1）若在中，，，，求此三角形边上的中线长； （2）请证明题干中的定理； （3）如图中，若，为中点，，，，求的值． 【解析】（1）如图所示， 由余弦定理得，， 代值计算得到，求得； 由于，因为，， 所以， 解得． （2）证明：在中，； 在中，； 所以， 又，， 所以，则原式得证． （3）由于， 则由正弦定理，得， 由余弦定理得， 去分母整理得到，即． 因为，则，则． 由于，且，即， 联立解出，由于， 则， 解得，则（负数不满足）． 由余弦定理得到， 代值计算得，则， 则． 30．（2024春•石家庄期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，求的面积； （Ⅲ）如图，过点作的平行线，且，在四边形中，，，动点，分别在线段，上运动，且，求的最小值． 【解析】因为， 所以由正弦定理得， 所以， 又，，所以， 又，所以； （Ⅱ）因为，且，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍， 所以的面积； （Ⅲ）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，由，可得， 因为，所以设， 则，，，， 由，得， 由，得， 所以 ， 当时，取得最小值， 所以的最小值为． 31．（2022秋•莲池区校级期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接．若，，则线段的最大值为　　 A．2.5 B． C．3 D．4 【解析】由题意， 绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，则， 设，，， 则， ，，，， ，， 故选：． 32．（2023春•定州市期末）在中，，为边上一点，，且，则面积的最小值是 　　． 【解析】 在中，，且，所以， 因为， 在中，由正弦定理得，， 解得 所以， 所以． 因为，即， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为的面积， 所以． 故答案为：． 33．（2023春•张家口期末）如图，在中，为钝角，在上，且满足，，． （1）若，求； （2）若是的中点，，求的长度． 【解析】（1）在中，由正弦定理可得， ， 为钝角，， ； （2）在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值舍去）， 为中点，则， ， ，即的长度为． 34．（2023春•石家庄期末）如图，在平面四边形中，，．，． （1）若，求线段的长； （2）求线段长的最大值． 【解析】（1）在中，，由余弦定理得： ，即，解得， 在中，，，由余弦定理得： ， 所以； （2）设， 在中，由余弦定理得：， 由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 当且仅当，即时取“”，此时， 所以当时，线段长取最大值6． ( 题型0 8 ) 测量距离问题 35．（2022春•定州市期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏东方向，如图所示随后该船以15海里小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点，测得灯塔在其北偏东30方向，此时船与灯塔间的距离为　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 【解析】由题意可知，，，海里， 由正弦定理可得，解得海里． 故选：． 36．（2022春•承德期末）一艘海轮从地出发，沿北偏东的方向航行80海里后到达海岛，然后从地出发，沿北偏东的方向航行40海里后到达海岛．如果下次航行直接从地出发到达地，那么这艘船需要航行的距离是　　 A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里 【解析】如图， 由题意海里，海里，， 所以，得海里． 故选：． 37．（2020春•路南区校级期末）如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里 【解析】连接， 由题意可知，，，，， ，， 在中，由正弦定理得，， 在中， ，， ． 在中，由余弦定理得． 故选：． ( 题型0 9 ) 测量高度问题 38．（2024春•定州市期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）．某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米．在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为　　 A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 【解析】设苏州双塔的高度为米，依题意可得米，米， 因为， 所以由余弦定理得， 解得米． 故选：． 39．（2024春•石家庄期末）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，则塔高为　　 A． B． C． D． 【解析】在中，， 所以，， 可得， 由正弦定理，可得， 解得， 因为在中，，可得， 解得． 故选：． 40．（2024春•沧州期末）河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔（如图），著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”．为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内三个共线的测量基点，，，分别测得塔顶点的仰角为，，，且，示意图如图，则该塔高　　 A． B． C． D． 【解析】为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内三个共线的测量基点，，，分别测得塔顶点的仰角为，，，且， 设，由在点，，处分别测得塔顶点的仰角为，，， 则，，， 在，中，由余弦定理知，， 因为，，三点共线． 所以，则．解得． 故选：． 41．（2024春•保定期末）在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角的公路向上走到达处，在处测得山顶的仰角，如图，若在山高的处的点位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为 　　． 【解析】过作于点， 在中，， 所以， 在中，， 由正弦定理知，， 所以，解得， 在中，， 所以， 所以此索道离地面的高度为． 故答案为：． ( 题型 10 ) 测量角度问题 42．（2022春•保定期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示．随后该船以20海里小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，，海里， 由正弦定理可得，代入数据得． 故选：． 43．（2018春•邯郸期末）如图，某军舰艇位于岛的的正西方处，且与岛的相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里小时的速度从岛屿出发沿北偏东方向逃窜，同时，该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上． （1）求该军舰艇的速度． （2）求的值． 【解析】（1）依题意知，，，，， 在中，由余弦定理得： 4， 解得， 所以该军舰艇的速度为海里小时； （2）在中，由正弦定理得： ， 即 ． 1．（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，已知，且为钝角，则　　，的取值范围是 　　． 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以，即， 因为为钝角，为锐角，为锐角， 所以，可得， 则， 由于为钝角， 所以，解得， 则：， 所以． 故答案为：，． 2．（2020春•新华区校级期末）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，，且，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 【解析】，且， ，即：， ，从而， ， ，， 当时，； 当时，， 又在，上单调递增， 故的取值范围为，． 故选：． 3．（2024春•唐山期末）已知锐角的面积为，则边的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】设中，角、、的对边分别为、、， 由，结合得，所以， 由余弦定理得， 因为是锐角三角形，所以、都是锐角． 可得，即，可得， 整理得，解得，即，所以， 即，边的取值范围是，． 故选：． 4．（2022秋•保定期末）在中，角，，所对的边分别是，，．已知． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得：， 即， 在三角形中，， 所以可得，而， 可得； （2）由（1）及余弦定理可得， 即，当且仅当时取等号， 所以， 解得，在三角形在，即，， 所以三角形的周长，． 5．（2021秋•唐山期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）求的取值范围． 【解析】（1）， ， ，由余弦定理得， ， ． （2）根据正弦定理可得， 又，则， 所以， 则的取值范围是，． 6．（2022春•邯郸期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，的面积． （1）求； （2）求周长的取值范围． 【解析】（1）， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以，而 可得，而， 可得； （2）由（1）和余弦定理可得， 所以，可得，当且仅当时取等号， 且， 所以三角形的周长的范围为，． （多选）7．（2021春•河北期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则　　 A． B．角的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【解析】因为，所以， 所以或． 因为，所以， 所以，则，故正确． 因为，所以． 因为是锐角三角形， 所以， 即，解得， 所以， 利用正弦定理：，故错误，正确． 因为，所以， 所以，则正确． 故选：． 8．（2023春•元氏县校级期末）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答． 已知：的内角，，的对边分别为，，，且______． （1）求角； （2）求的取值范围． 【解析】（1）选①：方法一：利用正弦定理，可得， ， 得， ，， ，； 选②：由正弦定理可得， ， ， ，， ，， 选③：由正弦定理，可得， ， ， ，， ，； （2）由（1）知， ， ， ， ， ， 的取值范围为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$