清单03 分式（5个考点清单+18种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

清单04 分式（5个考点梳理+18种题型解读+提升训练） 清单01 分式的相关概念 分式相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 清单02 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 清单03 分式的约分、通分 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 清单04 分式的加减乘除法法 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 清单05 分式方程 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【考点题型一 分式的相关概念】（） 1．代数式：，，，中分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 4．下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．下列各式：、、、中，是分式的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型二 分式有无意义的条件】（） 6．函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．函数自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．根据下列表格信息，y可能为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 9．当时，分式无意义，则的值为 ． 10．（1）当取什么值时，分式有意义? （2）当取什么值时，分式的值为负? （3）当取什么值时，分式的值为负? （4）当取什么值时，分式的值为 【考点题型三 分式的求值】（） 11．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 12．对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 13．对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0 C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2 14．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 15．已知，，则 ． 【考点题型四 分式值为整数时的范围】（） 16．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 17．若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 18．若分式的值为整数，则正整数 ． 19．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 20．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【考点题型五 分式的基本性质】（） 21．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 22．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 23．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 24．将分式中的的值都大为原来的3倍，则分式的值 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 25．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值为，则原分式的值为 ． 【考点题型六 最简分式与最简公分母】（） 26．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 27．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 28．已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 29．下列分式中，最简分式的个数是 个． 30．下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个． 【考点题型七 约分与通分】（） 31．下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 32．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 33．填空：①，②，括号内依次填入 ， ． 34．约分： ． 35．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【考点题型八 分式的加减法】（） 36．计算： (1)； (2)． 37．计算：． 38．计算： (1)； (2)． 39．计算：． 40．化简∶ (1) (2) 【考点题型九 已知分式恒等式确定分子或分母】（） 41．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 42．若，，为常数，则的值为 ． 43．已知，则 ． 44．若方程，那么A+B= ． 45．等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值． 【考点题型十 分式加减的实际应用】（） 46．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 47．生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 48．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 49．甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需 小时. 50．将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为． （1）再往杯中加入克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； A．    B．    C． （2）请证明你的选择． 【考点题型十一 分式的乘除法】（） 51．计算： (1) (2) 52．计算：． 53．计算：． 54．计算：． 55．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【考点题型十二 分式的乘方】（） 56．计算： 57．计算： (1)； (2)； (3)． 58．计算： 59．计算：． 60．化简 (1)； (2)． 【考点题型十三 分式的混合运算】（） 61．计算：． 62．化简： (1)； (2)． 63．化简：． 64．化简：． 65．下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【考点题型十四 分式的化简求值】（） 66．先化简，再求值：，其中． 67．先化简，再求值：，其中是从，0，1中选取的一个合适的数． 68．先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 69．化简求值，其中． 70．已知，求代数式的值． 【考点题型十五 解分式方程】（） 71．解下列分式方程： (1)； (2)． 72．解方程：． 73．解方程 (1) (2) 74．解方程 (1)； (2)． 75．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【考点题型十六 分式方程的增根与无解情况求参】（） 76．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 77．若分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 78．已知关于的分式方程，若该方程有增根，则的值为（        ）． A． B．1 C． D． 79．已知关于x的方程有增根，那么 ． 80．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【考点题型十七 分式方程的实际应用】（） 81．某商店用元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了元，该商店第一次购进这种水果多少千克？ 82．20年月日首届具身智能机器人运动会在无锡市惠山区全民健身中心开幕．标志着未来将会有越来越多的家用机器人走进我们的生活．某品牌家用机器人升级改进前后，满电状态下总电量均为．改进后持续工作时长是改进前的倍，且工作状态下改进后比改进前每小时少耗电．求改进后该款家用机器人工作状态下每小时的耗电量． 83．昭通苹果是云南省昭通市的特产，素有“半城苹果满城香”的盛赞．某商店用1600元购进一批昭通苹果，销售之后发现供不应求，于是，又用8000元再购进一批苹果，第二批苹果的数量是第一批苹果数量的4倍，但第二批苹果的进货单价比第一批苹果的进货单价每箱贵20元．求第一批昭通苹果的进货单价． 84．一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 85．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【考点题型十八 分式的新定义问题】（） 86．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 87．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 88．对于两个非零的实数，定义运算如下：．例如：．若，则的值为 ． 89．对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 90．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 4．（23-24八年级上·重庆南川·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 6．（2025·江苏南通·二模）已知实数，满足，则 ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，则a＝ ． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 9．（24-25九年级下·重庆大足·期末）若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 12．（2025·江苏盐城·二模）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）化简代数式：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”． (2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数， ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 分式（5个考点梳理+18种题型解读+提升训练） 清单01 分式的相关概念 分式相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 清单02 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 清单03 分式的约分、通分 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 清单04 分式的加减乘除法法 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 清单05 分式方程 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【考点题型一 分式的相关概念】（） 1．代数式：，，，中分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义进行判断即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】分式有：，，共个， 故选：． 2．下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键； 根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 3．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故答案为：2． 4．下列各式中：，，，，，分式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义：分母含有未知数的式子即为分式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：，，是分式 ∴分式的个数是3个； 故选：C 5．下列各式：、、、中，是分式的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、，分母中含有字母，是分式；、，分母中不含字母，是整式；所以分式的共有2个． 故选：B． 【考点题型二 分式有无意义的条件】（） 6．函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义，分母不等于0的条件，根据分式有意义时，分母不等于0的条件求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：B． 7．函数自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的范围，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：D． 8．根据下列表格信息，y可能为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键． 根据题意可得分式为0、分式无意义是条件，然后判断即可． 【详解】解：由表格信息可知： 当时，无意义， 排除B、C两个选项， 又当时，， ∴代入A、D两个选项中，只有A选项， 故选：A． 9．当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 10．（1）当取什么值时，分式有意义? （2）当取什么值时，分式的值为负? （3）当取什么值时，分式的值为负? （4）当取什么值时，分式的值为 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据分式有意义的条件可得，即可求解． （2）根据分式的性质，可得，解不等式即可求解； （3）根据分式的性质，可得且，即可求解； （4）根据分式的值为0的条件以及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：（1）∵分式有意义 ∴， 解得：； （2）∵分式的值为负 ∴， ∴； （3）∵分式的值为负 ∴且，   ∴； （4）∵分式的值为， ∴且， 解得： 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点题型三 分式的求值】（） 11．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，将代入求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：A． 12．对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 【答案】C 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意； B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； C 当时，当时，，，分式的值为，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意． 故选：C． 13．对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0 C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：A． 当时，分式有意义，故说法正确； B．当时，分式无意义，故说法错误； C．当时，分式的值为，故说法正确； D．， ∵， ∴分式的值不可能为2，故说法正确；． 故选：B． 14．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为，再将原式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 15．已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的除法，平方根的计算，熟练掌握公式是解本题的关键． 将等式化为，再两边同时平方，可化为，即可得解答． 【详解】解：由，得 ， ∴， ∴， ， ， 即， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点题型四 分式值为整数时的范围】（） 16．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 17．若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数得或2或3或6，求得的值即可求解，根据题意得或2或3或6是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是整数， 是6的约数，即或2或3或6， 解得：（舍去）或1或2或5， 则满足条件的所有正整数m的和为． 故选：B． 18．若分式的值为整数，则正整数 ． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握有理数的整除的性质是解题的关键． 利用已知条件得到的值，进而解答即可． 【详解】解：∵分式的值是整数，m是正整数， ∴的可能值为：1，2， ∴或3． ∴正整数2或3． 故答案为： 2或3． 19．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 【答案】或或0或1 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成． 【详解】解：， 若原分式的值为整数，那么，，1，2 由得，； 由得，； 由得，； 由得，； 或或0或1， 故答案为：或或0或1． 20．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且为正整数， ∴为正整数， ∴为整数， ∵也为正整数， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 【考点题型五 分式的基本性质】（） 21．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 22．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 23．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 24．将分式中的的值都大为原来的3倍，则分式的值 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】本题考查了分式的性质，根据利用分式的基本性质即可求解． 【详解】解：分式中的的值同时扩大为原来的3倍可得：，所以分式的值不变， 故答案为：不变． 25．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值为，则原分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，用代替分式中的即可运算求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， 即原分式的值为， 故答案为：． 【考点题型六 最简分式与最简公分母】（） 26．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握分式的约分和最简分式的定义是解题的关键．直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．是最简分式，故此选项符合题意． 故选：D． 27．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是正确运用确定最简公分母的方法求解； 先把分母因式分解，再确定最简公分母即可． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是， 故选：C． 28．已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分、分解因式，分式的能分就是把异分母分式化为同分母分式，通分的关键是找各分式的最简公分母，最简公分母就是取各分母系数的最小公倍数为最简公分母的系数，再取各分母中所有因式的最高次幂作为公分母的因式，从而可得答案． 【详解】解：， ， 最简公分母是． 故答案为： ． 29．下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 30．下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②不是最简分式，不符合题意； ③不是最简分式，不符合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有2个， 故答案为：2． 【考点题型七 约分与通分】（） 31．下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的约分法则计算，判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意； B、，故本选项结论不正确，不符合题意； C、，结论正确，符合题意； D、，故本选项结论不正确，不符合题意； 故选：C． 32．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 33．填空：①，②，括号内依次填入 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：①； ②． 故答案为：． 34．约分： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了约分，掌握约分的定义是解题关键．直接将分子与分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 【考点题型八 分式的加减法】（） 36．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，熟知分式的减法计算法则是解题的关键． （1）直接根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先把两个分式通分，再把分子相加后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法运算，先化成同分母的分式，再根据同分母分式的加减法则进行计算即可，注意最终结果要化为最简分式或者整式． 【详解】解：原式 ． 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，熟知分式的加减法计算法则是解题的关键． （1）把分子合并同类项后进行约分即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项后进行约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 40．化简∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的减法运算； （1）把分子分母分解因式，约分即可； （2）先通分，再计算减法运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； 【考点题型九 已知分式恒等式确定分子或分母】（） 41．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 42．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 43．已知，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①+②得：； 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键． 44．若方程，那么A+B= ． 【答案】2 【分析】计算的结果，根据可得对应系数相等可得A+B的值． 【详解】解： = = = ∴A+B=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则． 45．等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值． 【答案】A=3，B=5． 【分析】根据分式的加法运算法则进行化简，然后利用待定系数法求出A与B的值． 【详解】解： ， 由题意可知：， 解得：A=3，B=5． 【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型． 【考点题型十 分式加减的实际应用】（） 46．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法，首先移项，然后进行分式的减法运算，最后求倒数即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 47．生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是，设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是，则，根据得，即可得． 【详解】解：有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是， 设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是， ∵ = = = = ∵， ∴， ∴， 即， , 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 48．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 49．甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需 小时. 【答案】 【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解． 【详解】解：轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时， 顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米， 轮船往返两个港口一次共需时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式． 50．将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为． （1）再往杯中加入克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； A．    B．    C． （2）请证明你的选择． 【答案】（1）A；（2）见解析 【分析】（1）根据题意，可以写出相应的不等式，从而可以解答本题； （2）根据作差比较法，可以证明（1）中的结论成立． 【详解】（1）由题意可得， 故选A （2）利用作差法比较大小： ，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小． 【考点题型十一 分式的乘除法】（） 51．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 52．计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘除法进行计算即可求解． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了分式乘除法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 53．计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂进行计算，将除法变为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则和分式乘除法混合运算法则是解题关键． 54．计算：． 【答案】 【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算法则． 55．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先把分子因式分解，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先乘方，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【考点题型十二 分式的乘方】（） 56．计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的除法、乘方运算． 先计算负整数指数幂和分式的乘方，再将除法化为乘法求解． 【详解】解： ． 57．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则． (1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可； (2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案． (3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ； （3）解： ． 58．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式除法计算，先计算乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 59．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分数乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 60．化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式运算，根据分式运算法则进行计算即可． （1）先根据乘方运算法则进行计算，然后根据分式乘法运算法则进行计算即可； （2）根据负整数指数幂运算法则和分式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点题型十三 分式的混合运算】（） 61．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把除法变成乘法，然后计算乘法，再通分化简即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 62．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）将括号内分式进行通分化解，然后因式分解化简即可； （2）将括号内分式进行通分化解，将除法换算成乘法，对分式进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，先把原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法原式化为乘法原式，约分得到最简结果，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 64．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【详解】解：原式 ． 65．下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】(1)二 (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小莹同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 【考点题型十四 分式的化简求值】（） 66．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简并准确计算是解答的关键．首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算． 【详解】解：原式 ．                                                  当时，原式． 67．先化简，再求值：，其中是从，0，1中选取的一个合适的数． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵要使分式有意义， ∴，， ∴， 当时，原式． 68．先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 69．化简求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． 先对括号内通分计算，再将除法化为乘法约分化简，然后将的值代入计算求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 70．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键．先根据分式的性质化简，然后根据已知等式得出，整体代入，即可求解． 【详解】解：原式= ∵， ∴， ∴原式 【考点题型十五 解分式方程】（） 71．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解方式方程的方法是关键； （1）原方程两边都乘以去分母，求出整式方程的解后再检验即可得解； （2）原方程两边都乘以去分母，求出整式方程的解后再检验即可得解． 【详解】（1）解：方程两边都乘以，去分母得 ， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴原方程的解是； （2）解：方程两边都乘以，去分母得 ， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴原方程的解是． 72．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据解分式方程的方法解答即可，注意检验． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 73．解方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程化成整式方程是解此题的关键 ． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得， 解得， 经检验是原分式方程的增根， 原方程无解． （2）解：方程两边都乘，得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 原方程的解是． 74．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根． （1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得， 解得，， 经检验是增根，分式方程无解． 75．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，一 (2)习题1：；习题2： 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减法，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的通分判断习题1的第一步；根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步； （2）习题1：根据分式的加减法则计算即可；习题2：根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：一、一； 故答案为：一，一； （2）习题1： 解：原式= ， 习题2：解方程 解： ， 检验：当时 是原方程的根． 【考点题型十六 分式方程的增根与无解情况求参】（） 76．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解，即化为整式方程后，整式方程无解，或者整式方程的解是分式方程的增根，分情况讨论即可．注意考虑整式方程的解是分式方程增根的情况，属于易错题． 【详解】解：方程的增根为， 当时，化为整式方程，等号两边同时乘， 得：， 若原分式方程无解，则： ①无解， ，解得， 时，方程无解； ②的解是增根， 把代入， 得：， 时，方程无解； 的值为1或． 故选：C． 77．若分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程以及方程产生增根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解分式方程得，根据分式方程有增根得，代入即可求出的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 分式方程有增根， ， ， 故选：C． 78．已知关于的分式方程，若该方程有增根，则的值为（        ）． A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，确定方程的增根是解题的关键．方程去分母化为整式方程，求得x的值，根据方程有增根即可确定m的值． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 由于方程的增根为，则， 解得：； 故选：A． 79．已知关于x的方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根,得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得， 由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程， ， 解得， 故答案为：． 80．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答． 【详解】（1）解：去分母，得． 由分式方程有增根，得． ． 把代入，得． 解得． 的值为． （2）解：去分母，得． ①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解． ②将上式整理，得． 当，即时，分式方程无解． 综上，若分式方程无解，的值为或． 【考点题型十七 分式方程的实际应用】（） 81．某商店用元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了元，该商店第一次购进这种水果多少千克？ 【答案】该商店第一次购进这种水果千克． 【分析】本题考查分式方程的应用，正确得出等量关系，列出方程是解题关键．设该商店第一次购进水果千克，则第二次购进水果千克，然后根据每千克水果的价格比第一次购进的贵了元，列出方程求解即可． 【详解】解：设该商店第一次购进水果千克，则第二次购进水果千克， ∵每千克的价格比第一次购进的价格贵了元， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴该商店第一次购进这种水果千克． 82．20年月日首届具身智能机器人运动会在无锡市惠山区全民健身中心开幕．标志着未来将会有越来越多的家用机器人走进我们的生活．某品牌家用机器人升级改进前后，满电状态下总电量均为．改进后持续工作时长是改进前的倍，且工作状态下改进后比改进前每小时少耗电．求改进后该款家用机器人工作状态下每小时的耗电量． 【答案】 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用这一知识点．解题关键在于准确找出题目中关于电量、耗电量和工作时长的等量关系，通过合理设未知数列出分式方程，求解后要记得检验方程的解是否符合实际情况．根据改进前后总电量固定，且改进后工作时长与改进前的倍数关系以及每小时耗电量的差值，需要通过设未知数建立方程来求解改进后每小时的耗电量． 【详解】解：设改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电 根据题意得 解得 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电． 83．昭通苹果是云南省昭通市的特产，素有“半城苹果满城香”的盛赞．某商店用1600元购进一批昭通苹果，销售之后发现供不应求，于是，又用8000元再购进一批苹果，第二批苹果的数量是第一批苹果数量的4倍，但第二批苹果的进货单价比第一批苹果的进货单价每箱贵20元．求第一批昭通苹果的进货单价． 【答案】第一批昭通苹果的进货单价为每箱80元 【分析】本题主要考查了分式的实际应用，设第一批昭通苹果的进货单价为每箱x元，则第二批昭通苹果的进货单价为每箱元．根据，第二批苹果的数量是第一批苹果数量的4倍列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设第一批昭通苹果的进货单价为每箱x元，则第二批昭通苹果的进货单价为每箱元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一批昭通苹果的进货单价为每箱80元． 84．一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 【答案】这列火车原来的速度为75千米／时 【分析】此题主要考查了列分式方程解应用题，关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程． 设这列火车原来的速度为每小时x千米，那么提速后的速度为每小时千米，根据等量关系：3小时后，按原速度行驶所用时间－提速后时间，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这列火车原来的速度为x千米／时， 根据题意，得． 解得． 经检验知是原方程的解． 所以，这列火车原来的速度为75千米／时． 85．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料． 【考点题型十八 分式的新定义问题】（） 86．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 87．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 去分母得：-x=1+x-2， 解得：x=， 检验：把x=代入得：x-2≠0， ∴分式方程的解为x=． 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验． 88．对于两个非零的实数，定义运算如下：．例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算运算法则转化为分式运算．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 89．对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 去分母得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 90．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：； 分式的值不变； 故选：A 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程，设边衬的宽度为米，根据题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设边衬的宽度为米，根据题意得： ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是关键． 首先把所求的式子化成的形式，然后根据，即，，代入求解． 【详解】解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 4．（23-24八年级上·重庆南川·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 先根据不等式组有解，得m的取值，利用分式方程有非负整数解，找出符合条件的m值，并相加得出结果． 【详解】解：由，解得：， ， 不等式组有解， ， ， ， 解得：， 关于的分式方程有非负整数解， 且， 且， 且， 所有的值为，的和为， 故选：D． 5．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故选：C． 6．（2025·江苏南通·二模）已知实数，满足，则 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，完全平方公式的变形求值，根据题意可求出，再由计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，则a＝ ． 【答案】或0 【分析】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键． 根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程，求即可． 【详解】解： ， 去分母可化为， 整理得：， ∴ 又因为关于的分式方程有增根或， 当时，， 当时，， 综上所述：若关于x的分式方程有增根，则或． 故答案为：或0． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．先根据解分式方程的一般步骤求出，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 9．（24-25九年级下·重庆大足·期末）若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的步骤是解本题的关键． 先解分式方程得到，根据分式有意义的条件和有整数解确定或2或，再解得，根据关于的不等式组至少有两个整数解，得到，继而即可求解． 【详解】解： ， 解得：， ∵为整数，且， ∴或或， ∴或2或， 解得：， ∵关于的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， ∴舍， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解可求出a的范围，接着解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出a的值，进而可得答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴； 解方程， 去分母得， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴或或， ∴或或， ∴符合题意的a的值可以为2，3，7， ∴ 故答案为：12． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 12．（2025·江苏盐城·二模）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 【答案】(1)每台型号无人机单次最高载货量为，每台型号无人机单次最高载货量为； (2)①或；②该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货”列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，再根据m的取值范围求解即可； ②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则每台B型号无人机的单次最高载货量为， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为； （2）解：①∵， ∴， ∵，m、n为整数， ∴或； ②设B型无人机单次运费为元，则A型无人机单次运费为元， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）化简代数式：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件，首先根据分式的运算法则进行计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可知、、，所以只能取，把代入化简后的分式进行计算即可． 【详解】解：， ， 分式的分母不能为，除数不能为， ， 、、， ， 原式 ． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”． (2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数， ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)C不是D的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②0，2，4，6 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，正确理解“和谐式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和谐式”的定义求解即可； （2）①根据“和谐式”的定义得到，则，据此求解即可；②根据题意可得是整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：C不是D的“和谐式”，理由如下： ， ∵不是正数， ∴C不是D的“和谐式”； （2）解：①∵M是N的“和谐式”，且M关于N的“和谐值”是1， ∴， ， ∴， ∴； ②由①知． ∵M的值也为整数，且分式有意义， ∴或， ∴x的值为：0，2，4，6． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②，则；，则； (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$