1.1.1 空间向量及其线性运算（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册· 高二 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册· 高二 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 了解空间向量及其有关概念,培养数学抽象素养 掌握空间向量的线性运算,培养数学运算的核心素养 掌握空间向量共线和空间向量共面的充要条件,并能解决空间中共线、共面的判断与证明问题,培养数学运算和逻辑推理的核心素养. 新知导入 联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。这些力在同一个平面内吗？ 新知探究 问题1 我们已经学习过平面向量的相关知识，你能类比平面向量，给出空间向量的定义和相关概念吗？ 平面向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 空间向量的概念 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 新知探究 追问1 空间向量如何表示呢？ 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 A (起点) B (终点) (2)字母 … (3)坐标表示：＝(x，y) (1)有向线段 (2)字母 … (3)坐标表示：＝(x，y，z) 新知探究 追问2 在学习平面向量时，还学习了一些相关的概念，你还记得有哪些吗？ 平面向量 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 长度为0的向量，记作: 模为1的向量. 模相等，方向相同的向量。记： 模相等，方向相反的向量。记： 方向相同或相反的向量叫做共线向量（平行向量）， 记作： 零向量与任意向量共线。 空间向量 若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量， 记作： 规定：零向量与任意向量共线。 新知探究 问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们还研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ A O B 如图，已知空间向量 以任意点O为起点， 作 ， ， 我们就可以把它们平移到同一个平面α内。 α 这样就使得所有空间向量问题都可以转变成平面向量解决. 这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算. 新知探究 由此我们把平面向量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算: (1) (2) (3) O A B C O A P Q N M 加法： 减法： 数乘： 追问 向量线性运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 问题3 空间向量与平面向量是否也有相同的运算律？ 新知探究 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R): 交换律： 结合律： 分配律： 新知探究 思考 如何证明空间向量的加法结合律呢？ A C D B C′ D′ B′ A′ 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 新知探究 追问 通过向量加法结合律的证明，你能发现三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ A C D B C′ D′ B′ A′ 三个不共面的向量的和就是以这三个不共面的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量. 另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到: 有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 新知探究 问题4 对任意两个空间向量与，如果= (λ∈R)，与有什么位置关系？ 反过来，与有什么位置关系时，=λ？ 类似于平面向量共线的充要条件， 对于任意两个空间向量，()，//的充要条件是存在实数，使 空间共线向量定理 定义新知 直线的方向向量 O l 我们把与向量 平行的非零向量称为直线l的　 　　　.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.  如图, O是直线l上一点,在直线l上取非零向量 , 则对于直线l上任意一点P, 存在实数λ, 使得 . 方向向量 P 注意：(1)直线的方向向量一定是非零向量 (2)一条直线的所有方向向量都互相平行 定义新知 共面向量 如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量 平行于平面α. α l O A 如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线OA与直线 l 平行或重合，那么称向量 平行于直线l. 平行于同一平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors). 新知探究 问题5 空间任意两个向量是否可能异面？ a b a b O A B b 结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 追问1 它们确定的平面是否唯一？ 新知探究 追问2 空间任意两个向量是共面的，那么空间任意三个向量呢？ 既可能共面，也可能不共面 d b a c 新知探究 问题6 那么什么情况下三个向量共面呢？ 对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理，平面内的任意一向量可以写成=x+y，其中(x，y)唯一确定. 对两个不共线的空间向量,，若=x+y，那么向量与向量有什么位置关系？ C 反过来，向量与向量,有什么位置关系时，=x+y？ 如果空间向量与两不共线向量,共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有 =x+y 定义新知 共面向量定理 对空间任意两个不共线的向量，，向量与向量 共面充要条件是存在唯一的有序数对(x，y)，使 =x+y. （该定理实际上就是平面向量基本定理） A B P C 推论1 空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对 (x, y), 使 推论2 对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是 O 典例分析 例1 如图示, 已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H, 并且使 求证：E,F,G,H四点共面. A E H G F D C B O 四点共面→有公共起点的三个向量共面 尝试用空间向量解决立体几何问题 典例分析 证明： 由于四边形ABCD是平行四边形， ∴由向量共面的充要条件知，E, F, G, H四点共面. A E H G F D C B O 方法技巧 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法。 课后练习 课本练习 A C D B C′ D′ B′ A′ • E • F 课后练习 A C D B C′ D′ B′ A′ 课本练习 课后练习 C D B F E A 4.如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量. 【考查要点】空间向量的加法法则(平行四边形&三角形法则)、 减法法则(三角形法则) 课本练习 课后练习 5.如图，已知正方体ABCD−A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值. B D C A′ B′ C′ D′ A E • • F 课本练习 空间向量及其有关概念 题型一 题型探究 【例1】给出下列命题: ①空间向量就是空间中的一条有向线段; ②两个有公共终点的向量,一定是共线向量; ③“是“向量 ”的必要不充分条件; ④若空间向量满足,则 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 [解析] 有向线段起点和终点是固定的,而空间向量是可以平移的,故①错误; 方向相同或相反的向量称为共线向量,只终点相同,不能确定两个向量的方向,故②错误; 若,则和 的模相等,方向不一定相同,若,则和的模相等,方向也相同,所 以“”是“向量 ”的必要不充分条件,故③正确; 向量的平行不具有传递性,比如当为零向量时,因为零向量与任何向量都平行, 所以 不一定平行,故④错误.故选A. A 空间向量及其有关概念 题型一 题型探究 【例2】(多选题)如图,在正四棱柱中, 下列向量相等的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 [解析] 在正四棱柱中,,但与 的方向相反,故A不符合题意 ,但与的方向不同,故B不符合题意 , 且与的方向相同,故C符合题意 ,且与 的方向相同,故D符合题意.故选CD. CD 空间向量及其有关概念 题型一 题型探究 在理解向量的有关概念时需要注意的点 （1）两个要素:大小与方向,两者缺一不可. （2）由于方向不能比较大小,所以向量是不能比较大小的. （3）模相等与向量相等的关系:两个非零向量的模相等,则只能判断它们的 长度相等,但方向不能判断,即两个非零向量的模相等是这两个向量相等的必 要不充分条件. 提分笔记 空间向量的线性运算 题型二 题型探究 【例3】如图,在四面体中,分别是 的中点,则 ( ) A. B. C. D. C [解析] . 空间向量的线性运算 题型二 题型探究 ABD 【例4】(多选题)在平行六面体 中,分别是 的中点,则下列 结论正确的有( ) A. B. C. D. [解析] ,A正确; ,B正确; ,C错误; ,D正确. 故选ABD. 空间向量的线性运算 题型二 题型探究 1.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向 量,即 . 2.若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即 解题感悟 【例5】下列命题中正确的是( ) A. 若是空间任意四点,则有 B. “”是“ 共线”的充要条件 C. 若,共线,则 D. 对空间任意一点与不共线的三点,若 其中,则 四点共面 共线向量与共面向量 题型三 题型探究 [解析] 若同向共线,则不满足 ,故B错误; 若,共线,则与 平行或重合,故C错误; 对空间任意一点与不共线的三点,若 其中,则当时, 四点共面,故D错误.故选A. A 共线向量与共面向量 题型三 题型探究 1.判定两向量共线就是寻找实数,使 成立. 2.证明 三点共线的方法 （1）证明存在实数或,使（或 ）成立即可. （2）利用“对空间任意一点,有 ”来 证明 三点共线. 解题感悟 【例6】 已知三点不共线,为平面外一点,点 满足 . （1）判断向量,, 是否共面; （2）判断点是否在平面 内. 共线向量与共面向量 题型三 题型探究 [解析](1) , , , , 由向量共面的充要条件可知,向量,, 共面. [解析](2)由（1）知向量,, 共面, 它们有共同的起点,且 三点不共线, 四点共面, 即点在平面 内. 共线向量与共面向量 题型三 题型探究 1.向量共面的判定方法 充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线 性组合,即若存在唯一的有序实数对,使不共线 , 则向量 共面. 解题感悟 共线向量与共面向量 题型三 题型探究 2.证明四点共面的方法 （1）利用向量共面的充要条件得到空间 四点满足 ,则四点共面. （2）若存在唯一的有序实数组 ,使得对于空间中任一点O和不共 线的三点,有,且 成立,则 四点共面. 解题感悟 课堂小结 空间向量及其线性运算 空间向量及其相关概念 线性运算 加法 减法 数乘 运算律 向量共线、共面 向量共线的充要条件 向量共面的充要条件 感谢聆听! $$