高二下期末真题百题大通关（8大模块题型）（提升版）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选修二）

高二下期末真题百题大通关（8大模块题型）（提升版） 题型一 集合、常用逻辑用语、不等式 题型二 函数与导数 题型三 三角函数与解三角形 题型四 平面向量 题型五 数列 题型六 空间向量与立体几何 题型七 平面解析几何 题型八 计数原理与概率统计 题型汇聚 题型练习 题型一 集合、常用逻辑用语、不等式 1．（23-24高二上·上海青浦·期末）若集合，集合，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】讨论、研究集合A，有且，再结合集合B中求交点，即可得交集. 【详解】当，即，则恒成立，此时集合A为空； 当，即，则集合A中，可得，代入， 所以，可得（舍）或，此时， 综上，. 故答案为： 2．（23-24高二下·上海松江·期末）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，则“斜椭圆”的离心率为 ．    【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴、基本（均值）不等式的应用 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，    由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值、圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 4．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由直线与圆的位置关系求参数、求抛物线的切线方程、集合新定义 【分析】（1）圆心到直线的距离等于1，得到方程，求出； （2）在上任取一点，求出在该点处的切线方程，令直线族中，得到直线，而对于任意，都是抛物线在点处的切线，证明出结论； （3）设，求出抛物线在点处的切线方程为，同理，抛物线在点处的切线方程为，从而得到直线的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，得到，求出，将其代入，得到方程，求出或，求出答案. 【详解】（1）由定义可知，与相切， 即圆心到直线的距离等于1， 即，故， （2）， 在上任取一点，在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在处的切线方程为， 即， 令直线族中，故， 则直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对于任意，都是抛物线在点处的切线， 所以集合的包络曲线； （3）设， 则抛物线在点处的切线方程为， 即， 故， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 又两切线交点为， 所以，所以直线的方程为， 联立，得， 故， 因为，所以， 即， ， 由于，所以， 又因为，所以，所以， 故， 又点在直线上，所以， 解得或， 故点或 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 5．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 . (1)求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程； (2)设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值： (3)已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件． 【答案】(1)，相切直线为与 (2) (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）代入点坐标计算即可得，结合直线与圆的位置关系，分切线斜率存在与不存在进行讨论计算即可得切线方程； （2）设，由题目条件求出，由结合基本不等式，即可求出的最小值． （3）充分性：设出直线的方程，联立方程组，根据整理出的关系式，即可得到，即直线过定点；必要性：根据直线过定点，设出直线的方程，联立方程组，求出的表达式，消去即证明出. 【详解】（1）由题意可得，解得，即， 若经过点且与圆相切的直线方程斜率存在，可设为， 则有，解得，即，即， 若经过点且与圆相切的直线方程斜率不存在，则为， 又到的距离为，符合题意，故也与相切， 综上所述，相切直线为与； （2）设，则有，即， 由，则，， 则，故直线的方程为， 其与直线的交点的总坐标为， 又，故直线的方程为， 其与直线的交点的纵坐标为． 于是，即， 故， 当且仅当时，取得最小值； （3）充分性： 因为直线不与坐标轴垂直，设的方程为，， 联立方程组，整理得， ， ， ，， ，， ， ， ， 将代入上式， 整理得：， 恒成立， ，即直线过定点，充分性得证； 必要性： 因为直线不与坐标轴垂直且过点，设的方程为， ，联立方程组， 整理得， ， ，， ，必要性得证. 所以“”是“直线经过定点”的充要条件. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 6．（23-24高二下·上海·期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，. (1)求BC的长度； (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（B，D在两侧），其中，为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度?（精确到0.01km） 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理求得； （2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度. 【详解】（1）联结，在中，由余弦定理可得， ， 所以的长度为； （2）记，则在中，由余弦定理可得： ，即， 从而 所以，则，当且仅当时，等号成立； 新建健康步道的最长路程为， 故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加 7．（23-24高二下·上海·期末）（1）若方程的解集为，求的取值范围； （2）在（1）条件下使用反证法证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集为，得到，解不等式即可求得答案； （2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾，即可证明原结论. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以，可得， 即的取值范围为. （2）证明：假设，，都没有实数解， 则它们的判别式都小于0， 即，即，解得， 这与的取值范围为矛盾， 故，，中至少有一个方程有实数解． 题型二 函数与导数 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（    ）． A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】C 【知识点】函数新定义、比较函数值的大小关系、充分条件的判定及性质 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式的性质，可推出成立，若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式的性质，也可推出. 【详解】若成立，当，有， 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在，（且），对任意的，均有恒成立， 所以是函数具有性质的充分条件； 若成立，当时，，， 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（，且），对任意的，均有恒成立， 所以也是函数具有性质的充分条件. 故选：C 9．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案. 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则， 当时，，函数在上递减； 当，，函数在上递增， 故， 由，， 故当时， 故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点. 10．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【分析】先证明，再证明存在符合条件的使得. 【详解】由于，故是方程的两个不同的正数根. 所以，，且判别式，即，结合知. 那么 ， 而利用即可得到 ， 设，则当时，所以在上递增，故对有. 从而由有，故，即，所以. 这就得到. 而当时，； 当时，. 所以由零点存在定理知，一定存在，使得. 此时. 当或时，；当时，. 所以在和上递增，在上递减. 从而，的确分别是的极大值点和极小值点，满足条件. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断极值点. 11．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数证明不等式 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. 12．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用等差数列的性质计算、求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可. 【详解】对于①：设等差数列的公差为， 则，所以， 即为公差为的等差数列， 若为和谐数列，则， 即，则， 所以关于的二次函数，开口向上， 所以在上一定存在最小值，所以①正确； 对于②：取， 则，且, 为和谐数列等价于， 证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列， 即证，即证， 当时，上式左边为负数，显然成立； 当时，即证，即证，（*） 设，， 则在上单调递增，可得， 即（*）式成立，所以②正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：命题②的关键点在于取一个公比为负数的等比数列说明其存在性. 13．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据给定条件，依次求导，探求出求导后的规律，再按周期性求值即可. 【详解】因为，， ， ， ， 所以， 所以， 所以， ； 所以， ， ， 所以. 【点睛】关键点睛：关键在于求导找到规律，利用规律计算即可 14．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 15．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，根据题意可知在上单调递增，进而对函数求导，将问题转化为导函数恒成立，最后解出答案. 【详解】令，因为，所以，即， 易得不是常数函数，所以在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令.则， 所以，所以 即的取值范围为. 故答案为：. 16．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】令，， 依题意在上恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，所以； 当时，令，解得， 若，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，所以， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 17．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 18．（23-24高二下·上海·期末），已知是定义在上的偶函数，且时，，则集合 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、函数奇偶性的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】 结合分段函数性质利用偶函数作出函数图象，根据函数单调性分析即可求解集合M. 【详解】当时，， 又是定义在上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，作出图象如下： 因为，所以在上的值小于， 由图象可知：，即集合. 故答案为： 19．（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，由导数得出的单调性，根据，求出的取值规律，可得答案. 【详解】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 故答案为：. 20．（23-24高二下·上海·期末）若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 . 【答案】/ 【知识点】对数的运算、对数函数图象的应用、求函数的零点、等差中项的应用 【分析】分析出不合要求，时，求出四个零点，并得到大小关系，由等差数列性质得到方程，求出. 【详解】，若，无解，舍去， 若，此时，此时，只有两个零点，舍去， 若，， 若，则，故， 若，则，故， 其中， 因为四个零点从小到大恰好构成等差数列， 所以，故，故，解得. 故答案为： 21．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【知识点】累加法求数列通项、对数的运算 【分析】用累加法求解. 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 22．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、求平面轨迹方程、双曲线中的参数及范围 【分析】不妨设点在第一象限，依题意结合双曲线的定义可得点的轨迹是圆，用圆的参数方程设出点的坐标，表示出，再换元、用导数解答可得答案. 【详解】因为为双曲线的左、右焦点，所以， 因为为双曲线的一条渐近线，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 依题意，不妨设点在第一象限，如图， 延长交于点，连接， 因为，所以， 又是的平分线上的一点，即平分， 所以，即是的中点，又是的中点，所以， 由双曲线的定义，， 所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其方程为，设， 则， 同理得， ， 设，， 则 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解答本题的关键是先得到点的轨迹方程，在求的取值范围时，点的坐标设成是圆的参数方程的形式，把表示出来后，再令，转化为求函数的值域，用导数求出单调性进行解答. 23．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解. 【详解】设，则方程有个根， 即有个根， ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 设，令得， 当时，，， 当时，，， 在上单调递增，在上单调递减， 作出与的大致函数图象如图所示： 由图象可知方程的解个数可能为， ，故的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数判断函数单调性后作出图象，数形结合求解. 24．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为；函数极大值为，极小值为. (2)函数在区间上的最大值为，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导数，令，得函数的单调增区间，令，得单调减区间，进而可得函数的极值； （2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解． 【详解】（1）的定义域为，， 令，得或，令，得， 函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为， 当时，函数取得极大值，当时，函数取到极小值， 函数极大值为，极小值为. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，， 又, ， 函数在区间上的最大值为，最小值为． 25．（23-24高二下·上海·期末）设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且. (1)求的值以及直线的方程. (2)当时，求函数的极值. 【答案】(1)或，直线的方程或； (2)极小值，没有极大值 【知识点】根据弦长求参数、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，再由弦长公式得到方程，求出或，求出直线方程； （2）在（1）的基础上得到，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况. 【详解】（1）因为，则， 故在处的切线方程， 将直线的方程代入椭圆方程中，得， 设，则，且， 因为，    所以， 解得或， 所以直线的方程为 或. （2）函数的定义域为，由得， 可得，令得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值，没有极大值． 26．（23-24高二下·上海浦东新·期末）圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？    【答案】当时，圆柱的体积最大，最大值为． 【知识点】柱体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先设出圆柱的底面半径，利用三角形相似，推出的表达式，然后求出体积表达式，求导可得体积最大值时的圆柱体的高，进而可得最大体积． 【详解】如图作圆锥（圆柱）的轴截面，设圆柱的底面半径为，    由∽，所以，所以． 由此得，圆柱体的体积． 由题意， 求导可得 ， 令，可得或（舍）． 当，，单调递增， 当当，，单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为． 27．（23-24高二下·上海·期末）设函数 ，其中 ． 且 在 与 处 的切线分别为 ． (1)若 与 平行，求 的值． (2)记（1）中 的值为 ． 当 时，记 与 轴围成的三角形面积为 ． 当 取到最小值 时，求 的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、已知直线平行求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，即可求出a的值； （2）由（1），根据导数的几何意义可得，求出两直线的交点坐标，利用三角形面积公式可得，结合导数求出最小值即可. 【详解】（1），则， 所以， 又，所以，即， 由，解得； （2）由（1）知，，又，则两切点为， 所以，由，解得， 即的交点坐标为， 所以，则， 对于方程，， 所以方程有两个不同的实根，且，又，故， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值. 28．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；减区间是，增区间是 (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【详解】（1）由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. （2）由得： ①   时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ②   时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增， 综上可得 29．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求导函数，再得出斜率写出切线方程即可； （2）把恒成立转化为函数单调性，再根据单调性转化为最值问题求解即得 【详解】（1）由题意知 则曲线在处的切线方程为 （2）不妨设，则 则设，可知在上严格递增 则恒成立 则 设 则当时，单调递增，当时，单调 递减，则 则实数的取值范围为. 30．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【详解】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 31．（23-24高二下·上海金山·期末）设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 【答案】(1)函数具有性质，函数不具有性质 (2)； (3) 【知识点】利用导数证明不等式、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）直接利用函数的单调性即可判断； （2）将原问题转化为对任意恒成立，再通过讨论a的取值范围去掉绝对值符号即可求解答案； （3）由题意知对恒成立，根据函数具有性质求出的值，再将转化为，结合导数知识求解即可得的最小值. 【详解】（1）因为函数是R上的增函数，所以，即函数具有性质， 函数是R上的减函数，所以，即函数不具有性质． （2）由题意知，对任意恒成立， ①当时，原不等式等价于， 即恒成立，故，则满足； ②当时 （i）当时，原不等式等价于， 即； （ii）当时，原不等式等价于， 即，即， 则当时满足； ③当时，原不等式等价于， 即满足； ④当时，当时，原不等式等价于， 即，不满足； ⑤当时，原不等式等价于， 即满足； 综上的取值范围是． （3）由题意知对恒成立， 令得，又， 又， ， 令， 则，因为不存在，使得， ， 当时，， 当时，在上递减则当时，满足条件， 则的最小值为． 【点睛】关键点点睛：函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义.像第2小问这种涉及绝对值的不等式，需要通过分类讨论的思想方法先去绝对值符号，再求解.第3问涉及求参数的取值范围问题，一般可以构造函数，结合导数知识求解，也可以进行参变分离，利用函数性质或导函数求最值即可. 32．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定的单调区间和最值； （2）由（1）可知单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性确定最小值点，由此求得最小值. 【详解】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定在上的单调性，由此确定最小值点. 33．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 34．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数研究能成立问题、利用导数研究方程的根、函数新定义 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 35．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、导数的运算法则 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案； （2）将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增；继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则或；令，则； 则在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为； （2）因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则，定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； 又， 当时，，在上单调递增； 当时，需在上恒成立， 即在上恒成立， 对于，图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立，需满足且， 解得， 综合可得，即a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解参数的取值范围，解答时要将原不等式恒成立转化为对一切都成立，从而构造函数，利用导数求解. 36．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数不等式恒成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性，求出函数的最小值即可. （2）令，利用导数确定单调性求出的最小值，等价变形不等式成立，构造函数并利用导数求出的最大值，即可求出的最小值. （3）构造函数，，利用导数判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论. 【详解】（1）函数，求导得， 则在上单调递增，所以. （2）令，，求导得，即函数在上递增， 则，而对任意恒成立，因此； 要对任意恒成立，只需在恒成立， 令，，求导得，由，得， 当时，，函数在上递增，成立，于是， 当时，，函数在上递减，，不符合题意， 当时，则当时，，函数在上递减，此时，不符合题意， 因此，从而， 所以的最小值为. （3）令，， 求导得，令，，求导得， 则函数在上单调递增，显然， 于是存在，使得，即，当时，， 当时，，则函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上递减， 即，则， 从而，，即， 所以的图象恒在直线上方. 【点睛】思路点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 37．（23-24高二下·上海·期末）已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，求曲线在点处的切线方程； (2)设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】(1)利用导数求函数在某点处的切线方程即可； (2)利用极值点等价于导数值为零的点，且导数零点的左右两侧有正负，通过对导函数是二次函数的零点进行分析即可得解； (3)利用换元思想，把，即知，再利用二项式展开式和均值不等式，即可证明不等式. 【详解】（1）由，，可知，则， 当时，， 所以在点处的切线方程为：，即为； （2）当时，由，则， 即， 由在上有两个不同的极值点，则在内有两个解， 即由等价于， 作出二次函数图象， 因为当时，， 结合图像可知：当时，方程在内有两个解, 即b的取值范围; （3）证明：依题意，，，且，， 令，则 所以 而 ， 则 又，且，当且仅当时等号成立，所以， 同理，，……，且均在时等号成立， 所以 ，即得证． 【点睛】思路点睛：首先对令，则，从而把原不等式变为关于正数的不等式， 其次就是利用二项式展开式和作差法来构造两两组合，从而证明每一项成立即可. 38．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯． (1)设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标； (2)设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由； (3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）； (4)设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值． 【答案】(1) (2) (3)②，理由见解析 (4) 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）求导，得到，根据斜率乘积为-1得到另一个端点的横坐标，得到答案； （2）设出两端点，求导，得到，不妨设，求出，故，得到答案； （3）结合圆，直观得到②满足直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大，故选②； （4）设上两点满足直角弯，故，显然一正一负，不妨设， 故，求出，要想取得最大值，则取得最小值，表达出，构造函数，求导得到其单调性和最值，得到答案. 【详解】（1），，， 设以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标为，， 则，故，解得， 故，所以另一个端点的坐标为； （2）假设上存在直角弯，且两端点分别为，，， 则，， 故， 若或，此时，故上式无解， 要想上式成立，需一正一负，即一个比1大，一个比1小， 不妨设， 则， 由于，故当，即时， 无解， 故端点横坐标的取值范围是； （3）如图所示，，， 直观看出②满足直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大，故选②； （4），， 设上两点满足直角弯， 故， 显然一正一负，不妨设， 故， 由于，故，解得， 由得， 要想取得最大值，则取得最小值， ， 设，， 则， 令得， 令得， 故在上单调递减， 在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 故， 所以曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值为. 【点睛】新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，此类问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （3）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 39．（23-24高二下·上海·期末）仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中． (1)求的值： (2)对于给定的，计算以下两式的值：与 (3)对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【知识点】多项式的展开式、简单复合函数的导数 【分析】（1）直接展开计算即可； （2）赋值，再两边同时求导，再次赋值即可； （3）利用构造法证明引理，再赋值即可. 【详解】（1）因为， 所以,，. （2），取得： . 两边同时求导于是有 取得：. （3）引理：. 当时，成立. 若时命题成立，则当时， . 引理得证. 则取有 于是当时，有，，是奇数，其余时是偶数. 所以，，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对二项式定义的迁移与推广，需要充分理解题意并合理赋值. 40．（23-24高二下·上海·期末）已知是定义在上的函数，如果存在常数，使得对区间的任意划分：，都有成立，则称是上的“绝对差有界函数”. (1)分别判断，是否是上的“绝对差有界函数”，若是“绝对差有界函数”，直接写出的最小值（不需证明）；若不是“绝对差有界函数”，直接写出函数的值域（不需证明）； (2)对定义在上的，若存在常数，使得对任意的，都有，求证：是上的“绝对差有界函数”； (3)设是上的“绝对差有界函数”，满足，，且对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)是，最小为；不是，因为值域为. (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数基本性质的综合应用、求对数型复合函数的值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）证明出是“绝对差有界函数”，最小为；举出反例得到不是“绝对差有界函数”，值域为， （2）证明出充分性，再举出反例得到必要性不成立，得到结论； （3）先得到在上的值域与单调性，结合，得到当时，值域为，在单调递增，单调递减，故对任意，都有，推出时，不合要求，时满足题意，并求出. 【详解】（1）是“绝对差有界函数”，最小为；不是“绝对差有界函数”，值域为， 理由如下： 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为0， 当或2时，取得最大值为1， ，若分类中，恰有， 则 ， 若分类中，没有，故，不妨设，， 此时 ， 综上，是，最小为； ,时，， 又时，， 的值域为，下面证明不是“绝对差有界函数”， ，取， 则， 选取，则， 故不存在，使得恒成立， 故不是“绝对差有界函数”，值域为； 故是，最小为；不是，值域为. （2）充分性：， 对区间的任意划分：， ， 取即可. 非必要： 对函数，显然是上的“绝对差有界函数”， 但是对于，总有. （3）， 当时，，，， 值域为，且在单调递增，在单调递减， 由于，故， 当时，，且在单调递增，在单调递减， 依次类推，当时，值域为，在单调递增，单调递减， 故对任意，都有， 且可取到，使得. 若，则，与是上的“绝对差有界函数”矛盾，不符题意； 若，则， 取，符合题意. 综上，. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 题型三 三角函数与解三角形 41．（23-24高二下·上海金山·期末）已知点为所在平面外一点，有如下两个命题：①若平面，则；②使得两两垂直的点有且仅有两个，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 【答案】C 【知识点】比较余弦值的大小、余弦定理解三角形、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据举反例得出当平面，则判断①，在过的垂心且与平面垂直的直线上判断②. 【详解】①错误，反例如下： 在长方体中， , , ； ②若两两垂直，则点在过的垂心且与平面垂直的直线上，则有且只有两个，②正确． 故选：C． 42．（23-24高二下·上海青浦·期末）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，不可计算出旗杆高度的方案是（   ）． A．在水平地面上任意寻找两点A、B，分别测量旗杆顶端的仰角、，再测量A、B两点间距离 B．在旗杆对面找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角，再测量A到旗杆底部的距离 D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角 【答案】A 【知识点】高度测量问题 【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可. 【详解】对于A：如果，两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确． 对于B：如下图， 中由正弦定理求，则旗杆的高，故B正确； 对于C：在直角三角形直接利用锐角三角函数求出旗杆的高，故C正确； 对于D：如下图，中由正弦定理求，则旗杆的高，故D正确； 故选：A. 43．（23-24高二下·上海金山·期末）若存在锐角，满足不等式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】分别构造函数，结合同角三角函数关系求导，分析单调性，根据存在成立问题令，求出即可； 【详解】设 则， 令，因为锐角，所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， ， 令，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， 因为，所以． 故答案为：. 44．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知函数，实数. (1)若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； (2)若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 【答案】(1)，，严格增区间：，严格单调减区间： (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）分别利用和，即可求得单调递区间，同理可求得单调递减区间. （2）由，可求得的取值范围. 【详解】（1）若，则函数， 所以最小正周期， 由，可得，所以对称轴， 由，可得， 所以函数严格增区间为：， 同理可得严格单调减区间为：. （2）设函数， 因为，所以， 因为，所以， 解得. 45．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱上的动点. (1)求证：； (2)若点是棱的中点，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】反三角函数、证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理、性质定理可得答案； （2）连接，判断出为锐角三角形，作交于点，连接，利用线面垂直的判定定理、性质定理可得为二面角的平面角，求出余弦值，再由二面角的平面角与二面角的平面角互补可得答案. 【详解】（1）如图，连接，在正方体中， ，平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以；    （2）如图，连接，点是棱的中点，可得， ，因为，所以， 所以，即，所以为锐角三角形， 作交于点，连接， 在正方体中，平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由得，即， ，所以， 所以， 因为二面角的平面角与二面角的平面角互补， 所以二面角的平面角为.    题型四 平面向量 46．（23-24高二下·上海嘉定·期末）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（    ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、圆锥表面积的有关计算、空间中点的位置及坐标特征 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体侧面积公式求得结论. 【详解】由已知得，所以， 即存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是， 所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 故由构成的空间几何体的侧面积为. 故选：C. 47．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、用定义求向量的数量积 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 48．（23-24高二下·上海金山·期末）已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、定点到圆上点的最值（范围）、向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】建立以的正方向为轴正方向的平面直角坐标系，设，，结合投影向量定义计算可得，即可得在或上，再由计算可得点在以为圆心，1为半径的圆上，则可得，求出点关于直线的对称点为，再借助两点间距离公式计算即可得解. 【详解】如图，以的正方向为轴正方向建立平面直角坐标系，设，， 非零向量在方向上的投影向量为， 故有，又，故， 则的终点在或上， 又， 故与垂直，如图所示，    由向量减法的几何表示，可知的终点就落在图中以为圆心，1为半径的圆上， 设，则，， 即， 由对称性，不妨设点在上， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 则， 即的最小值是. 故答案为：. 49．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 . 【答案】1 【知识点】双曲线中的定值问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、用定义求向量的数量积 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积的公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，连接， 则， 由双曲线方程为，可得 又为右支上的一动点， 又 由题意可知， 又 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系，进行线段长度的转化. 50．（23-24高二下·上海宝山·期末）从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. (1)计算的值， (2)若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求的值； ②求的面积： 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）直接根据数量积的定义求解； （2）①根据数量积定义求的值；②求出各边长，再求其面积. 【详解】（1） 同理， 所以. （2）①， ， 所以 ②， 同理， ， ， 等腰中，可计算得边上的高为， 所以的面积为. 题型五 数列 51．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 【答案】55 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、组合数的计算 【分析】首末项相差9，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差9，而任意相邻两项之间满足， 设成立的项数共有项，设成立的项数共有项， 可知：， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现1个2，7个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现2个2，5个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现3个2，3个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现4个2，1个1，数列的个数为； 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：55. 52．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知数列是首项是1，公比为的等比数列，数列的通项公式是．设双曲线的离心率为且，则当 时，最大． 【答案】或 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、写出等比数列的通项公式、确定数列中的最大（小）项 【分析】依题意可得，，即可得到，再由求出，从而得到，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最大项，从而得解. 【详解】依题意，， 则，， 所以， 又，解得，所以， 令，则， 所以当时，当时， 即， 所以当或时取得最大值， 则当或时最大. 故答案为：或 53．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列、错位相减法求和 【分析】（1）根据题意，随机变量的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （2）根据题意 ，这人的合计得分恰为分，得到，结合乘公比错误相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以期望为. （2）解：因为这人的合计得分恰为分， 则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，即. 54．（23-24高二下·上海·期末）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3)4139166 【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，，列不等式组求数列的最大项，进而分析判断； （3）由题意可得：，，分析可知数列的前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为的各项均为正数，，且， 则，可得， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列． （2）不存在，理由如下： 由（1）可得：， 则， 令，即，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为， 所以不存在正整数m，使得成立. （3）由（2）可得：，其前n项和为； 由题意可知：，其前n项和为； 因为，， 且， 对于数列可知：其前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项， 所以. 55．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知数列各项均为正数，且，记其前项和为． (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式： (2)若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）设出数列公差，借助等差数列及其前项和计算即可得； （2）设出数列公比，由题意计算可得其通项公式及前项和，计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，则有，即， 故； （2）设数列的公比为，则有，即， 则，则， 令，即，故，即的最小值为. 56．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式； （2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意， 即，解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由， . 因为，即， 所以为严格增数列， 所以时，有最小值. 题型六 空间向量与立体几何 57．（23-24高二下·上海·期末）设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】不妨设相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值，可得答案. 【详解】设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为， 不妨设相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为， 轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面； 大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上．    由题意，，可知, 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为； 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大，最大值为， 所以，与与所成角的取值范围为. 故答案为：. 58．（23-24高二下·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 ． 【答案】 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，对点的位置进行分类讨论，设出点P的坐标，结合空间中两点间的距离公式求出点的坐标，结合正方体的对称性可得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、， ①若点在棱上，可设，其中， 则， 即棱上不存在点使得， ②当点在棱上时，设点，其中， ， 解得，此时点为的中点， 同理可知，当点分别为棱、的中点时，， 由对称性可知，当点分别为、、的中点时，； 同理可知棱、、、、、上均不在点，使得. 因此，满足条件的点的个数为. 故答案为：. 59．（23-24高二下·上海杨浦·期末）早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，切线方程为，Ω的水平截面为圆环，外半径为，内半径为，故截面面积，利用祖暅原理，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥．Ω与圆锥的体积相等，直接用圆锥的体积公式求V． 【详解】设切线方程为x＝ky+1，代入y＝x2，得kx2﹣x+1＝0，由＝1﹣4k＝0，得， 故切线方程为，且切点坐标为 过点（0，t）（0≤t≤1）作Ω的水平截面，截面为圆环， 当y＝t时，代入得截面圆环外半径， 当y＝t时，代入y＝x2得截面圆环内半径，截面圆环面积为． 为了截出面积为的图形，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥PO， 圆锥及其轴截面如下图：其中,， 在距离底面为t的处作底面的平行截面，设此时截面半径为r0，，即，解得， 此截面的面积为，与截面圆环面积相同， 圆锥体积为，所以的体积为. 故答案为：. 60．（23-24高二下·上海嘉定·期末）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率定义即可得到结果. 【详解】设，由于，所以，在等边三角形中， 点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知， ，连接，延长与交于点， 由于为中点，所以在中，， 由勾股定理可得， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 在中，由于，所以， 于是有， 设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于， 由于，所以， 由于为圆锥母线，所以， 从而有， 在中，由勾股定理可得， 所以在椭圆中，，， 则， 则离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果. 61．（23-24高二下·上海奉贤·期末）如图，在长方体中，，. (1)求二面角的大小； (2)若点P是的中点，求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、求二面角 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接，可得是二面角的平面角，进而计算可得二面角的大小； （2）连接，连接BD交AC于O，连接，四边形是平行四边形，可得，进而可证结论. 【详解】（1）如图，连接BD交AC于O，连接， 易证且，则是二面角的平面角 在中，，，则， 所以二面角的大小是； （2）如图，连接，连接BD交AC于O，连接， 易证且， 所以是平行四边形，所以， 因为BP不在平面上，平面， 所以平面. 62．（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】面面角的向量求法、求点面距离 【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解. 【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为 因为为的中点，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以．又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度. 易知平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以． （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则二面角的正弦值为. 63．（23-24高二下·上海·期末）如图，点为正四棱柱的上底面的中心，底面的边长为2，点到平面的距离为.试求：    (1)二面角的平面角的大小（用反三角函数表示角的大小）； (2)点A到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求点面距离、求二面角 【分析】（1）分别取的中点，利用三垂线法可知二面角的平面角为，即可得结果； （2）可知三棱锥的高为，根据题意利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）分别取的中点，连接，    可知，为的中点，则， 因为底面，底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为， 在中，， 则，， 所以二面角的平面角的大小. （2）设点A到平面的距离为， 由（1）可知：三棱锥的高为， 因为，即，解得， 所以点A到平面的距离为. 64．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 题型七 平面解析几何 65．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 66．（23-24高二下·上海静安·期末）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 ，离心率 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据渐近线可设双曲线的标准方程为，代入即可得方程；结合方程分析可知，进而可求离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线的标准方程为， 代入，可得， 所以双曲线的标准方程为，可得； 可知双曲线的焦点在x轴上，且， 所以离心率. 故答案为：；. 67．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】分和两种情况，结合双曲线的定义以及通径分析求解即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，则或或， 结合对称性可知：，结果是相同的， 所以只需讨论或即可，则有： 若，可知直线与轴垂直，则，即， 整理得，解得或（舍去）； 若，设，则， 因为，即，可得， 且，即，解得， 又因为，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率为； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 68．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 69．（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则    【答案】1 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】设，用表示矩形的面积和的面积，可得. 【详解】如图：    设，则. 因为，，所以，， 所以. 又直线的方程为：，所以，， 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：1 70．（23-24高二下·上海宝山·期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为 . 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求方程、由距离求点的坐标 【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。 【详解】原方程可化为， 其几何意义为点到，距离之差的绝对值等于， 则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以， 又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：， 令得，所以原方程的解为。 故答案为： 71．（23-24高二下·上海奉贤·期末）如图，曲线的上，下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上. (1)写出椭圆的长轴长，顶点坐标和对称性； (2)求线段MN的长； (3)若线段PQ的中点在轴上，且直线PQ的斜率为4，求P点坐标. 【答案】(1)长轴长是4，顶点坐标，，关于原点中心对称，关于轴，轴轴对称 (2)3 (3)或 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）由曲线方程可求得，可求长轴长与顶点坐标，进而可得对称性； （2）依题意可求，可求得，进而计算可求线段MN的长； （3）由题意可得，计算可得，由已知可得，进而可求P点坐标. 【详解】（1）由曲线，曲线，所以， 长轴长是4，顶点坐标， 对称性：关于原点中心对称，关于轴，轴轴对称. （2）依题意得：，所以，由轴，得：， 代入椭圆方程得：， 所以线段MN的长为3. （3）显然，线段PQ的中点在轴上，则， 有，. 所以，， 或者， 或 72．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）利用离心率求解即可，（2）利用是等边三角形，得到，（3）由知，故．联立双曲线和直线的方程结合韦达定理求解即可. 【详解】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 73．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 【答案】(1)，为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、椭圆中的定值问题、求椭圆的顶点坐标、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）根据斜率的计算公式利用直接法即可得结果； （3）根据椭圆（类似）的性质作答即可； （3）直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，通过斜率计算公式可得的斜率为，进而可得结果. 【详解】（1）依题意可得， 化简得， ∴为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）曲线的上下顶点为，曲线上点到中心的距离的取值范围为等； （3）设直线的斜率为，则其方程为． 由，解得． 记，则，，． 于是直线的斜率为，方程为． 由得①， 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为，∴，即是直角三角形． 74．（24-25高二下·上海·期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积； (3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】(1)设出椭圆方程为，根据椭圆的离心率公式，以及可求，所以即可求得椭圆方程； (2)根据方程求出，的焦点，可知四边形为正方形，故可求得； (3) 不妨设，代入，把代入椭圆，求得坐标，结合，即可求解. 【详解】（1）椭圆：中，，离心率， 设椭圆：，，则，，， 则，，椭圆：； （2），，， ∴； （3）设，，则， 设则，， 由点P，H在x轴同一侧可得即， ∵， ∴，又∵，∴H为的垂心． 75．（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）建立平面直角坐标系后利用圆和椭圆的方程求解即可. （2）依据题意得到方程，求出截面边长最值即可. 【详解】（1）【小问1详解】 如图，以矩形ABCD 的对称中心为原点建立平面直角坐标系 则半圆的方程为设椭圆的标准方程为： 则由已知，有， 得出所以，椭圆部分的方程为： 水平线AB的方程为： （2）提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为3.2米； 三角形截面的边长的最大值为米. 若为正方形截面，设正方形边长为，如图所示放置时正方形截面的边长的最大值 则点在圆上,即，解得 所以正方形截面的边长的最大值为3.2米； 若为等边三角形截面，如图放置： 解法一：因为直线倾斜角为， 所以直线的斜率为，且直线过定点，故直线的方程为， 联立整理得： 解得和 (舍). 所以三角形截面的边长的最大值为米 解法二： 设正三角形边长为 ,则点 在椭圆 上， 由 得 ， 即，解得和(舍) 所以三角形截面的边长的最大值为米. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理设出边长，然后表列出方程求解边长最值，计算得到所要求的数值即可． 76．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点. (1)求的值； (2)记的面积分别为，若，求的取值范围； (3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)2 (2) (3)点在圆 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求椭圆中的参数及范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得； （2）根据（1）可得，由题意可得，结合椭圆方程列式求解； （3）设直线，联立方程，根据题意结合韦达定理可知直线过定点，结合垂直关系分析圆的方程，注意分类讨论直线的斜率是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，且焦点在x轴上， 可知， 所以. （2）由（1）可知：， 若，即，可得， 又因为在椭圆上，则，即， 可得，解得或， 且，可得或， 所以的取值范围为. （3）若直线的斜率存在，设直线， 联立方程，消去y得， 则，可得， 因为直线与的斜率之和为2， 则， 整理可得，则， 且，即，可得，整理可得， 此时直线过定点； 若直线的斜率不存在，则， 因为直线与的斜率之和为2， 则，即， 此时直线也过定点； 综上所述：直线过定点， 又因为，则点在以为直径的圆上， 且的中点为，且， 可知以为直径的圆的方程为， 所以点在圆上. 【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略 （1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． （2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 77．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 题型八 计数原理与概率统计 78．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的方差、二项分布的均值 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 79．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 80．（23-24高二下·上海·期末）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为 ． 【答案】； 【知识点】计算古典概型问题的概率、不相邻排列问题 【分析】利用插空法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解. 【详解】先把4个语言类节目全排列，中间形成5个空，5个空中选3个空排三个歌舞类节目， 共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况， 所以所求概率为. 故答案为：. 81．（23-24高二下·上海·期末）甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有 种． 【答案】14 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据特殊位置要求分类讨论各种情况即可. 【详解】丙和丁希望坐在相邻的座位上,分类讨论： 丙和丁在DF位置上，甲在A座位上， 乙 坐在 C 座位上，戊 坐在 B座位上共有种排法； 丙和丁在AB位置上，甲在F座位上， 乙 戊 坐在 CD座位上,共有种排法； 丙和丁在BC位置上，甲在F或A座位上， 乙 戊 坐在剩下的座位上,共有种排法； 则满足要求的座位安排方式共有种排法. 故答案为：14. 82．（23-24高二下·上海嘉定·期末）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、排列组合综合 【分析】首先确定基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】购买5个盲盒，得到玩偶所有情况有种； 其中集齐种玩偶的情况有： 所求概率. 故答案为：. 83．（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 【答案】10 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 84．（23-24高二下·上海·期末）连续抛掷一颗均匀的正六面体骰子三次，在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10的概率为 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型结合对立事件的概率求解即可. 【详解】在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10，等价于后两次的点数和不小于4， 设后两次的点数和不小于4为事件A， . |故答案为：. 85．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 86．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 【答案】3 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 87．（23-24高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是 ． 【答案】2,3,4,6,1,5 【知识点】其他排列模型 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 88．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 【答案】4032 【知识点】不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用插空法，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，产生4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列即可. 【详解】由题意得，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，有种， 3人排列后有4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列，则有种， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：4032 89．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 【答案】25 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用组合数公式，表示和，再结合条件转化为二次函数求最值. 【详解】， 则， ，， 当或6时，的最小值是25. 故答案为：25 90．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 【答案】130 【知识点】其他组合计数模型 【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解. 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 91．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 92．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题、二项式的系数和 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【详解】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 93．（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析； 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列、二项分布的均值 【分析】（1）服从超几何分布，依据超几何分布的公式计算即可； （2），依据二项分布写出分布列，计算期望和方差即可. 【详解】（1）各次试验的结果不独立，故X服从超几何分布. ，其中. X的分布为 X 0 1 2 P （2）每次摸到黑球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故. ，其中. X的分布为， X 0 1 2 3 P 期望. 94．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题、由项的系数确定参数 【分析】（1）当时,,由展开式中含项的系数与含的系数,可求得,进而可求得展开式中的常数项; （2）当时,,其通项,设第项的系数最大,列不等式求解即可. 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. 95．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用对立事件的概率公式求概率、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 96．（23-24高二下·上海·期末）某学校举办知识竞赛， 该竞赛共有三道问题， 参赛同学须回答这些 问题， 以其答对的问题的得分之和作为最终得分． 每个问题的得分与参赛同学答对的概 率如下表 (每次回答是否正确相互独立)． 定义随机变量 为最终得分． 问题一 问题二 问题三 得分 20 30 50 答对概率 0.8 0.7 0.4 (1)求 ． (2)求 与 ． 【答案】(1)0.36 (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）将可能性均表示出来，结合互斥事件概率即可求解； （2）先求出的可能取值以及对应的概率，再列出分布列，进而求出期望和方差即可. 【详解】（1）事件包含了2种可能性： ①答对问题一和问题二答错问题三 ②答错问题一答错问题二答对问题三 . （2）的所有可能取值为： . 所以随机变量的分布列为： 20 30 50 70 80 100 0.036 0.144 0.084 0.36 0.096 0.056 0.224 所以随机变量的期望为57. 97．（23-24高二下·上海虹口·期末）某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 【答案】(1)极差为，中位数为 (2)估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人 (3)事件发生的概率为 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据极差和中位数的定义即可求解； （2）根据分层抽样求出高二年级中男生的人数，据此即可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）分女生的时间为二级和三级两种情况即可求解. 【详解】（1）极差为，中位数为； （2）高二年级中男生共有人， 估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人； （3）. 98．（23-24高二下·上海·期末）某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 评分款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 (1)求这四款车得分的平均数． (2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 (3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X表示其中基础版1车主的人数，求X的分布和期望． 附： ； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)分布列见解析， 【知识点】卡方的计算、求离散型随机变量的均值、计算几个数的平均数、完善列联表 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用题意写出列联表，再结合公式求解即可； （3）利用超几何分布计算概率，从而求解分布列和期望. 【详解】（1）由题意，这四款车得分的平均数为， 所以这四款车得分的平均数为3. （2）由题意，列联表如下： 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 12 32 优秀 5 13 18 合计 25 25 50 则， 所以能在犯错误概率不超过的前提下认为汽车的性能与款式有关. （3）由题意可得：样本评分不大于2的基础版车主中，基础版1车主有4人，基础版2车主有8人， 从这12人中随机抽取3人，其中含基础版1的人数服从超几何分布，则的所有可能取值为 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 99．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值、频率分布直方图的实际应用、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量； ②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望； （2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大. 【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 100．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)40；80；有关 (2)分布列见解析，1933 【知识点】卡方的计算、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【详解】（1）消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． （2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下期末真题百题大通关（8大模块题型）（提升版） 题型一 集合、常用逻辑用语、不等式 题型二 函数与导数 题型三 三角函数与解三角形 题型四 平面向量 题型五 数列 题型六 空间向量与立体几何 题型七 平面解析几何 题型八 计数原理与概率统计 题型汇聚 题型练习 题型一 集合、常用逻辑用语、不等式 1．（23-24高二上·上海青浦·期末）若集合，集合，则 ． 2．（23-24高二下·上海松江·期末）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，则“斜椭圆”的离心率为 ．    3．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 4．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 5．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 . (1)求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程； (2)设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值： (3)已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件． 6．（23-24高二下·上海·期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，. (1)求BC的长度； (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（B，D在两侧），其中，为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度?（精确到0.01km） 7．（23-24高二下·上海·期末）（1）若方程的解集为，求的取值范围； （2）在（1）条件下使用反证法证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 题型二 函数与导数 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（    ）． A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 9．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 11．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 12．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 13．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 14．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 15．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 ． 16．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 17．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 18．（23-24高二下·上海·期末），已知是定义在上的偶函数，且时，，则集合 . 19．（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 20．（23-24高二下·上海·期末）若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 . 21．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 22．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是 . 23．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是 . 24．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 25．（23-24高二下·上海·期末）设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且. (1)求的值以及直线的方程. (2)当时，求函数的极值. 26．（23-24高二下·上海浦东新·期末）圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？    27．（23-24高二下·上海·期末）设函数 ，其中 ． 且 在 与 处 的切线分别为 ． (1)若 与 平行，求 的值． (2)记（1）中 的值为 ． 当 时，记 与 轴围成的三角形面积为 ． 当 取到最小值 时，求 的值． 28．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 29．（23-24高二下·上海·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 30．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 31．（23-24高二下·上海金山·期末）设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 32．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 33．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 34．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 35．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 36．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 37．（23-24高二下·上海·期末）已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，求曲线在点处的切线方程； (2)设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 38．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯． (1)设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标； (2)设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由； (3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）； (4)设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值． 39．（23-24高二下·上海·期末）仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中． (1)求的值： (2)对于给定的，计算以下两式的值：与 (3)对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明． 40．（23-24高二下·上海·期末）已知是定义在上的函数，如果存在常数，使得对区间的任意划分：，都有成立，则称是上的“绝对差有界函数”. (1)分别判断，是否是上的“绝对差有界函数”，若是“绝对差有界函数”，直接写出的最小值（不需证明）；若不是“绝对差有界函数”，直接写出函数的值域（不需证明）； (2)对定义在上的，若存在常数，使得对任意的，都有，求证：是上的“绝对差有界函数”； (3)设是上的“绝对差有界函数”，满足，，且对任意的，都有，求实数的取值范围. 题型三 三角函数与解三角形 41．（23-24高二下·上海金山·期末）已知点为所在平面外一点，有如下两个命题：①若平面，则；②使得两两垂直的点有且仅有两个，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 42．（23-24高二下·上海青浦·期末）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，不可计算出旗杆高度的方案是（   ）． A．在水平地面上任意寻找两点A、B，分别测量旗杆顶端的仰角、，再测量A、B两点间距离 B．在旗杆对面找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角，再测量A到旗杆底部的距离 D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角 43．（23-24高二下·上海金山·期末）若存在锐角，满足不等式，则的值为 ． 44．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知函数，实数. (1)若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； (2)若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 45．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱上的动点. (1)求证：； (2)若点是棱的中点，求二面角的大小. 题型四 平面向量 46．（23-24高二下·上海嘉定·期末）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（    ） ． A． B． C． D． 47．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高二下·上海金山·期末）已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是 ． 49．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 . 50．（23-24高二下·上海宝山·期末）从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. (1)计算的值， (2)若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求的值； ②求的面积： 题型五 数列 51．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 52．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知数列是首项是1，公比为的等比数列，数列的通项公式是．设双曲线的离心率为且，则当 时，最大． 53．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 54．（23-24高二下·上海·期末）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 55．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知数列各项均为正数，且，记其前项和为． (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式： (2)若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 56．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 题型六 空间向量与立体几何 57．（23-24高二下·上海·期末）设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为 ． 58．（23-24高二下·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 ． 59．（23-24高二下·上海杨浦·期末）早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为 ． 60．（23-24高二下·上海嘉定·期末）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ． 61．（23-24高二下·上海奉贤·期末）如图，在长方体中，，. (1)求二面角的大小； (2)若点P是的中点，求证：直线平面. 62．（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 63．（23-24高二下·上海·期末）如图，点为正四棱柱的上底面的中心，底面的边长为2，点到平面的距离为.试求：    (1)二面角的平面角的大小（用反三角函数表示角的大小）； (2)点A到平面的距离. 64．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 题型七 平面解析几何 65．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 66．（23-24高二下·上海静安·期末）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 ，离心率 ． 67．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 68．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 69．（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则    70．（23-24高二下·上海宝山·期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为 . 71．（23-24高二下·上海奉贤·期末）如图，曲线的上，下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上. (1)写出椭圆的长轴长，顶点坐标和对称性； (2)求线段MN的长； (3)若线段PQ的中点在轴上，且直线PQ的斜率为4，求P点坐标. 72．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 73．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 74．（24-25高二下·上海·期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积； (3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心． 75．（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 76．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点. (1)求的值； (2)记的面积分别为，若，求的取值范围； (3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由. 77．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 题型八 计数原理与概率统计 78．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 79．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 80．（23-24高二下·上海·期末）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为 ． 81．（23-24高二下·上海·期末）甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有 种． 82．（23-24高二下·上海嘉定·期末）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是 ． 83．（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 84．（23-24高二下·上海·期末）连续抛掷一颗均匀的正六面体骰子三次，在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10的概率为 85．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 86．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 87．（23-24高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是 ． 88．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 89．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 90．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 91．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 92．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 93．（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 94．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 95．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 96．（23-24高二下·上海·期末）某学校举办知识竞赛， 该竞赛共有三道问题， 参赛同学须回答这些 问题， 以其答对的问题的得分之和作为最终得分． 每个问题的得分与参赛同学答对的概 率如下表 (每次回答是否正确相互独立)． 定义随机变量 为最终得分． 问题一 问题二 问题三 得分 20 30 50 答对概率 0.8 0.7 0.4 (1)求 ． (2)求 与 ． 97．（23-24高二下·上海虹口·期末）某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 98．（23-24高二下·上海·期末）某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 评分款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 (1)求这四款车得分的平均数． (2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 (3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X表示其中基础版1车主的人数，求X的分布和期望． 附： ； 99．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 100．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$