精品解析：2025年山东省聊城市文轩教育集团中考数学联考模拟试卷

初三下学期第三次模拟数学试题 时间：120分钟 分值：120分 亲爱的同学，伴随着考试的开始，检验自己的时刻到了，请你“相信自己，沉着应答．”，记住：“我易人易我不大意，我难人难我不畏难．”祝你成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，0，，四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每空3分，共15分，只要求填最后结果） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是_______． 13. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 14. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 15. 2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第2025个图案中需要__________个基本图形． 三、解答题（本题8个题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从，，，三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 17. 尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． （1）连接，根据作图痕迹，请说明平分． （2）如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 18. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：，B：，C：，D：，E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______．并补全测试成绩频数分布直方图． （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 19. 某数学兴趣小组开展“测量南塔岭塔高”为主题的综合实践活动．设计如下测量方案： 课题 测量南塔岭塔高 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 ①如图2，无人机在A处以的速度竖直上升后，飞行至B处，在B处测得塔顶D的俯角为； ②然后沿水平方向向左飞行至C处，在C处测得塔顶D和A处的俯角均为． 说明 位置：A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且A，E在同一水平线上，塔．参考数据： （1）求无人机从位置B到C处的飞行距离 （2）求南塔岭塔的高度．（结果精确到） 20. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 21. 如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点，A（n，3）和点B（1，-6），与y轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集； （3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，连接，，求△AB的面积． 22. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三下学期第三次模拟数学试题 时间：120分钟 分值：120分 亲爱的同学，伴随着考试的开始，检验自己的时刻到了，请你“相信自己，沉着应答．”，记住：“我易人易我不大意，我难人难我不畏难．”祝你成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，0，，四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和实数的大小比较，先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴绝对值最小的数是0． 故选：A． 2. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 3. 中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案． 【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的左视图，关键在于牢记左视图的定义． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握这些运算法则． 分别根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式的运算法则，对选项逐一进行分析． 【详解】A、， 该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项正确．； D、，该选项错误． 故选C． 6. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据众数和中位数的定义可得答案． 【详解】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握求一组数据的众数和中位数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．找出处于最中间的两位数取他们的平均数，即为中位数． 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，作图一基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，为的平分线，，可得出．由矩形的性质可得，，由勾股定理得，，得，，在中，利用勾股定理求出的长． 【详解】由作图过程可知，为的平分线，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 故选：D． 10. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 二、填空题（本题共5个小题，每空3分，共15分，只要求填最后结果） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．设方程的另一个根为，得到，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故答案为：． 14. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 15. 2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第2025个图案中需要__________个基本图形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，再进一步求解即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， ∴第2025个图案中需要个基本图形． 故答案为：． 三、解答题（本题8个题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从，，，三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】（）；（），． 【解析】 【详解】本题考查了实数的混合运算，特殊三角函数值，分式有意义的条件，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先由零指数幂，特殊三角函数值，算术平方根，化简绝对值法则进行化简，然后合并即可； （）先算括号内的分式减法，再算分数除法，然后通过约分化成最简结果，然后把有意义的的值代入求解即可求解． 解：（1）原式 ； （2）原式 ， ∵且且， ∴当时， 原式． 17. 尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． （1）连接，根据作图痕迹，请说明平分． （2）如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分； （2）证明：且， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、菱形的判定定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等角对等边可得，由平行线的性质可得，从而可得，即可得解； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：，B：，C：，D：，E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______．并补全测试成绩频数分布直方图． （2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）300， 测试成绩分布直方图： （2）1750人 （3）见解析，恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的相关信息，求扇形的圆心角度数，中位数的定义，用列表法或树状图求概率等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用等级人数除以其圆心角占周角的比例即可得出总人数，用乘以等级人数所占比例即可； （2）用总人数乘以样本中等级人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 点评 【小问1详解】 解：随机抽查的学生共有（人）， C组学生人数：（人）， 测试成绩分布直方图略 扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为， 故答案为：300，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计等级为C的学生约有1750人； 【小问3详解】 解：根据题意，列表如下： 女 女 女 男 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 男，女 男 女，男 女，男 女，男 男，女 从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 答：恰好抽到一名男生和一名女生的概率是． 19. 某数学兴趣小组开展“测量南塔岭塔高”为主题的综合实践活动．设计如下测量方案： 课题 测量南塔岭塔高 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 ①如图2，无人机在A处以的速度竖直上升后，飞行至B处，在B处测得塔顶D的俯角为； ②然后沿水平方向向左飞行至C处，在C处测得塔顶D和A处的俯角均为． 说明 位置：A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且A，E在同一水平线上，塔．参考数据： （1）求无人机从位置B到C处的飞行距离 （2）求南塔岭塔的高度．（结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，等腰三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，得出，得到； （2）根据题意得出，再根据锐角三角函数得出的值，再计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴， ， ∴， 答：无人机从位置到处飞行． 【小问2详解】 解：延长，交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 答：南塔岭塔高约． 20. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 21. 如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于点，A（n，3）和点B（1，-6），与y轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）请直接写出关于x的不等式kx+b>的解集； （3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点，连接，，求△AB的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：；（2）x＜-2或0＜x＜1；（3）27. 【解析】 【分析】（1）先把B（1，-6）代入反比例函数y=中，求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，最后根据A，B坐标求出一次函数解析式即可； （2）根据A，B坐标和函数图像直接写出即可； （3）先求出和D的坐标，再根据算出即可. 【详解】解：（1）把B（1，-6）代入反比例函数y=中，得：， 解得：m=-6， 则反比例函数解析式为：， 把A（n，3）代入中，得：， 解得：n=-2， 则A点坐标为（-2，3）， 把A（-2，3），B（1，-6）代入次函数y=kx+b中， ， 解得：， 则一次函数解析式为：； （2）∵A（-2，3），B（1，-6）， 由图知，kx+b>的解集x＜-2或0＜x＜1； （3）AB与x轴交点记为D， 一次函数解析式为：， 令x=0，则y=-3，令y=0，则x=-3， ∴C点坐标为（0，-3），D点坐标为（-3，0）， 点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点， 则的坐标为（3，0）， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、旋转的性质，根据旋转得出旋转后点的坐标是解题的关键． 22. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 【答案】 （1）证明：连接，， ∵为的直径， ∴， 又∵，是等腰三角形， ∴又是边上的中线， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证出是等腰三角形，结合图形得出是的中位线，因为， ，证出即可得出是的切线； （2）由（1）可得，，，在中，由勾股定理求得BD的长度，证出，根据相似三角形对应边成比例可求得DE的长． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，是边上的中线， 得． ∵的半径为5， ∴． 在中， ∵， ∴． 在和中，∵，， ∴， ∴， 即，解得． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三角形的判定是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【解析】 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $