1.2集合间的基本关系（八题型+过关检测）-2025年《暑假计划》新高一数学新课预习（人教A版2019必修第一册）

1.2集合间的基本关系 知识梳理 1 题型训练 2 题型1 (真）子集的列举及个数 2 题型2 空集的判断及应用 3 题型3 判断两个集合是否相等 5 题型4 根据集合相等求参数 7 题型5 判断两个集合的包含关系 8 题型6 根据集合的包含关系求参数值 10 题型7 根据集合的包含关系求参数范围 11 题型8 集合关系的新定义问题 14 过关检测 15 知识点1子集与真子集 1.子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 2.真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 3.空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 知识点2集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 题型1 (真）子集的列举及个数 1．满足的集合X有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意可以确定集合X中必含有元素1，且最多含有3个元素， 因此集合X可以是，，，，，，，共7个. 故选：D. 2．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 3．已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 【答案】 【详解】因为集合， 所以集合可以为. 故答案为： 4．已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 个． 【答案】 【详解】因为集合中有10个元素，故集合M的非空真子集有个， 故答案为：． 5．已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则 ． 【答案】5 【详解】集合的非空子集有， 依题意, 所以 故答案为：5. 6．已知集合的所有非空真子集的元素之和为21，则 . 【答案】2 【详解】的非空真子集为 ， 则所有非空真子集的元素之和为，故. 故答案为：2. 题型2 空集的判断及应用 7．（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 8．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 9．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 10．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 11．设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设、、，只有C正确. 故选：C 题型3 判断两个集合是否相等 12．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 13．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 14．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 【答案】BC 【详解】解：对于A，，故A错误； 对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确； 对于C，集合，故C正确； 对于D，集合，，故D错误. 故选：BC. 15．下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 【答案】①④ 【详解】对于①，，所以； 对于②，，所以； 对于③，，所以； 对于④，由，得， 则，所以. 故答案为：①④. 题型4 根据集合相等求参数 16．已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 17．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】集合，由， 得，解得，此时集合中与矛盾； 或，解得，此时，符合题意， 所以. 故选：D 18．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，即关于的方程的解是任意实数， 则所以所以. 故选：B. 19．设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 20．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 题型5 判断两个集合的包含关系 21．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 所以，，，，即不是集合M的子集， 故B正确，ACD错误. 故选：B. 22．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】表示为抛物线上的点的集合， 而0为一个数，故，A正确 由于表示集合与集合之间的关系的符号不是“”，故BC错误. 是数集，M是点集，故二者不具有包含关系，D错误. 故选：A 23．用“”，“”，“”，“”或“=”填空 .（1）5 {5}；（2）{1，2，3} {3，2，1}；（3）Z N ；（4）Z Q；（5） ；（6） . 【答案】 = = 【详解】根据元素与集合的关系、集合间的基本关系可得： （1）5{5}；（2）{1，2，3}={3，2，1}；（3）ZN ；（4）ZQ；（5）；（6）= 故答案为：，=，，，，=. 24．设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 即是的奇数倍构成的集合， ， 即是的整数倍构成的集合， 所以. 故选：. 25．若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】且， 所以. 故选：B. 26．（多选）已知集合，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由可得，故，, , , AC正确，BD错误， 故选：AC 题型6 根据集合的包含关系求参数值 27．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 28．已知集合，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：. 29．设集合，，若，则a= . 【答案】 【详解】根据题意，， 则或， 当时，，不成立， 当时，得或（舍）， 所以. 故答案为： 30．若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 【答案】 【详解】，， 所以或， 当时，且，故； 当时，，解得或； 综上所述：实数组成的集合为. 故答案为：. 31．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 题型7 根据集合的包含关系求参数范围 32．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 33．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 34．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 35．已知集合．若，则a的最大值为 ． 【答案】 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 36．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 37．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 题型8 集合关系的新定义问题 38．设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【详解】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 39．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 【答案】32 【详解】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 40．定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集. 【答案】15 【详解】因为， 所以，则集合有个真子集. 故答案为：15 一、单选题 1．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 2．满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 3．若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 4．已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【详解】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C 5．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 6．已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 7．已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【详解】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 二、多选题 8．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 9．已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 10．已知，则的值可以为（    ） A．1 B．6 C．8 D．10 【答案】AC 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或. 故选：AC. 三、填空题 11．已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 12．已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】128 【详解】因为集合，，所以， 所以集合的子集的个数为. 故答案为：128 13．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 【答案】 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 四、解答题 14．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 15．已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 16．设集合. (1)判断元素是否属于集合,并说明理由; (2)设集合,证明:; (3)设,证明:. 【答案】(1);理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时,,故. （2）对任意, 令,则, 故, 又当时,, 所以. （3）假设,则存在, 使得, ①若一个为奇数,一个为偶数, 则都为奇数,则为奇数, 与是偶数矛盾; ②若两个数都是奇数或两个数都是偶数, 则都为偶数,则为的倍数, 与矛盾, 故. 17．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合间的基本关系 知识梳理 1 题型训练 2 题型1 (真）子集的列举及个数 2 题型2 空集的判断及应用 2 题型3 判断两个集合是否相等 3 题型4 根据集合相等求参数 3 题型5 判断两个集合的包含关系 4 题型6 根据集合的包含关系求参数值 4 题型7 根据集合的包含关系求参数范围 5 题型8 集合关系的新定义问题 5 过关检测 6 知识点1子集与真子集 1.子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 2.真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 3.空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 知识点2集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 题型1 (真）子集的列举及个数 1．满足的集合X有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 3．已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 4．已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 个． 5．已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则 ． 6．已知集合的所有非空真子集的元素之和为21，则 . 题型2 空集的判断及应用 7．（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 8．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 11．设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3 判断两个集合是否相等 12．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 13．下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 15．下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 题型4 根据集合相等求参数 16．已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 17．已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 18．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．设集合，，若，则 . 20．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 题型5 判断两个集合的包含关系 21．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 22．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 23．用“”，“”，“”，“”或“=”填空 .（1）5 {5}；（2）{1，2，3} {3，2，1}；（3）Z N ；（4）Z Q；（5） ；（6） . 24．设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 25．若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）已知集合，则有（     ） A． B． C． D． 题型6 根据集合的包含关系求参数值 27．已知集合，，且，则实数的值为 . 28．已知集合，且，则 ． 29．设集合，，若，则a= . 30．若集合，且，则满足要求的实数组成的集合为 . 31．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 题型7 根据集合的包含关系求参数范围 32．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 35．已知集合．若，则a的最大值为 ． 36．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 37．（1）已知集合，．若 ，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 题型8 集合关系的新定义问题 38．设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 39．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 40．定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集. 一、单选题 1．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 2．满足 的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 5．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 二、多选题 8．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 9．已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 10．已知，则的值可以为（    ） A．1 B．6 C．8 D．10 三、填空题 11．已知，则实数的取值范围是 ． 12．已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 13．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 四、解答题 14．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 15．已知集合，，且，求实数的取值范围． 16．设集合. (1)判断元素是否属于集合,并说明理由; (2)设集合,证明:; (3)设,证明:. 17．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$