专题09 概率十种考法（知识清单+方法讲解+重难点例题及变式+限时冲刺练）-2024-2025学年高一数学下学期期末复习专题（苏教版2019必修第二册）

专题09 概率十种考法 一、知识清单 知识梳理 样本空间和随机事件 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 3、随机事件、确定事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． （2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． （3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． （4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 两个事件的关系和运算 1、事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 2、互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 古典概型及概率性质 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 4.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有. 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么. 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有. 四、相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 频率与概率 1.频率的稳定性 大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率估计概率 2.随机模拟 （1）随机数与伪随机数 像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数. 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,因此计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称为伪随机数. （2）产生随机数的常用方法：①用计算器产生;②用计算机产生;③抽签法. （3）随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 二、方法讲解 1.事件的分类及表示 用样本点表示随机事件,首先弄清试验的样本空间,不重不漏列出所有的样本点.然后找出满足随机事件要求的样本点,从而用这些样本点组成的集合表示随机事件. 2.事件的关系和运算 （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系； （2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 3.古典概型 计算古典概型事件的概率步骤： ①算出样本点的总个数n； ②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 4.互斥与对立的辨别 事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 5.求互斥事件与对立事件的概率 求互斥事件的概率的步骤： ①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和; ②求出这些彼此互斥事件的概率; ③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 6.相互独立事件的判断 事件的独立性的判断: ①定义法:事件相互独立⇔； ②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 7. 相互独立事件概率的计算 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． 注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 8.相互独立事件概率的综合应用 求复杂事件的概率一般可分三步进行 （1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； （2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； （3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 注：计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理． 9.频率与概率 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 10. 概率与统计的综合 三、重难点例题及变式 类型一、事件的分类及表示 例．（多选）若随机试验的样本空间为，则下列说法正确的是（　　） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【变式训练1】下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（　　） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 类型二、事件的关系和运算 例．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于2”；“点数大于2”，“点数大于4”，则下列结论正确的是（表示样本空间）（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（　　） A． B． C． D． 类型三、古典概型 例．甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________. (1)求a的值； (2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率. 类型四、互斥与对立的辨别 例．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（　　） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【变式训练1】现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（　　） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【变式训练2】（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（　　） A．P和R是互斥事件 B．P和Q是对立事件 C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件 类型五、求互斥事件与对立事件的概率 例．育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 . 【变式训练1】（多选）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（　　） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【变式训练2】已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 ． 类型六、相互独立事件的判断 例．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（　　） A． B． C．互斥 D．相互独立 【变式训练1】有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（　　） A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【变式训练2】抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（　　） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 类型七、相互独立事件概率的计算 例．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 【变式训练1】抛掷两颗质地均匀骰子，记“第一颗骰子结果向上的点数为偶数”为事件A，记“第二颗骰子结果向上的点数为5或6"为事件，则__________. 【变式训练2】（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（　　） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 类型八、互斥事件与相互独立事件概率的综合应用 例．（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. 若，则事件与B相互独立 B. 若A与B相互独立，则 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 【变式训练1】（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【变式训练2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（　　） A．与B互斥 B． C．与相互独立 D． 类型九、频率与概率 例．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（　　）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【变式训练1】长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为 ． 【变式训练2】在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 类型十、概率与统计的综合 例．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【变式训练1】某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【变式训练2】某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 四、限时冲刺练 1．下列说法正确的是（ ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 2．对于两个事件，则事件表示的含义是（ ） A．A与B同时发生 B．A与B有且仅有一个发生 C．A与B至少一个发生 D．A与B不能同时发生 3．从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（ ） A． B． C． D． 4．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ） A．“至少有1本数学书”和“都是语文书” B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书” C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” D．“至多有1本数学书”和“都是语文书” 5．如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（ ） A. B. C. D. 6.把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色．将该四面体抛掷在一个平面上，记事件A=“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B=“四面体有黄色的面落在平面上”，记事件C=“四面体有蓝色的面落在平面上”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7.（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是（ ） A． B．是必然事件 C． D． 8．（多选）已知事件满足，则（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 9．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 10．某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ． 11.若事件与相互独立，且，，且，则 ． 12.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 13.在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线．考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据．每一个学科的评价都有一个标准进行判断．以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前58%到前22%定为二档，后42%定为三档．在一次全市的模拟考考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为．    (1)求成绩位于时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段； (2)在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1．在此次模拟考试中．甲、乙、丙三位考生的数学成绩分别为65，94，122．请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分过特控线的人数的概率． 14.袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． （1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； （2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； （3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 概率十种考法 一、知识清单 知识梳理 样本空间和随机事件 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 3、随机事件、确定事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． （2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． （3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． （4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 两个事件的关系和运算 1、事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 2、互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 古典概型及概率性质 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 4.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有. 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么. 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有. 四、相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 频率与概率 1.频率的稳定性 大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率估计概率 2.随机模拟 （1）随机数与伪随机数 像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数. 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,因此计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称为伪随机数. （2）产生随机数的常用方法：①用计算器产生;②用计算机产生;③抽签法. （3）随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 二、方法讲解 1.事件的分类及表示 用样本点表示随机事件,首先弄清试验的样本空间,不重不漏列出所有的样本点.然后找出满足随机事件要求的样本点,从而用这些样本点组成的集合表示随机事件. 2.事件的关系和运算 （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系； （2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 3.古典概型 计算古典概型事件的概率步骤： ①算出样本点的总个数n； ②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 4.互斥与对立的辨别 事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 5.求互斥事件与对立事件的概率 求互斥事件的概率的步骤： ①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和; ②求出这些彼此互斥事件的概率; ③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 6.相互独立事件的判断 事件的独立性的判断: ①定义法:事件相互独立⇔； ②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 7. 相互独立事件概率的计算 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． 注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 8.相互独立事件概率的综合应用 求复杂事件的概率一般可分三步进行 （1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； （2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； （3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 注：计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理． 9.频率与概率 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 10.概率与统计的综合 三、重难点例题及变式 类型一、事件的分类及表示 例．（多选）若随机试验的样本空间为，则下列说法正确的是（　　） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】ABC 【解析】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：ABC 【变式训练1】下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨， 所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件； 对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件； 对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签， 所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件； 对于④，因为向量的模大于等于0， 所以向量的模不小于0，故为必然事件. 综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B. 【变式训练2】在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（　　） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【答案】D 【解析】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品. 故选：D 类型二、事件的关系和运算 例．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于2”；“点数大于2”，“点数大于4”，则下列结论正确的是（表示样本空间）（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】该事件的样本空间为，，， 对于A选项，，所以A错误； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误； 故选：BC. 【变式训练1】（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】记{有枚硬币正面向上}，， 则， 对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：CD. 【变式训练2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 类型三、古典概型 例．甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设乙领到元，丙领到元，丁领到元，则可用表示1个样本点， 可得，所以样本点总数个， 设乙获得“最佳手气”为事件，则包含的样本点有，，，共3个， 即，所以概率为． 故选：A． 【变式训练1】甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 【变式训练2】在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________. (1)求a的值； (2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率. 【答案】(1)300；(2) 【解析】（1）选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为，解得，所以a的值为300. 选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为，解得，所以a的值为300. 选③.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为，解得， 所以a的值为300. （2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数 由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人. 第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况 高一的4人记为a，b，c，d，高三的2人记为A，B， 则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15种. 第三步：列出至少有1人是高三学生的情况 抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种. 第四步：根据古典概型的概率公式得解 至少有1人是高三学生的概率为. 类型四、互斥与对立的辨别 例．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（　　） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【答案】D 【解析】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 【变式训练1】现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（　　） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【答案】C 【解析】根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：C. 【变式训练2】（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（　　） A．P和R是互斥事件 B．P和Q是对立事件 C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件 【答案】ABD 【解析】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法有如下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白. 事件R包括①③两种情况，∴事件P是事件R的子事件，故A中结论不正确; 事件Q与事件R互斥且对立，故C中结论正确，D中结论不正确; 事件P与事件Q互斥，但不对立，故B中结论不正确. 故选：ABD. 类型五、求互斥事件与对立事件的概率 例．育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 . 【答案】/ 【解析】记“甲投中”，“乙投中”， 则, 所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 . 故答案为：0.38. 【变式训练1】（多选）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（　　） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【解析】事件为两个互斥事件，，，故①正确； 事件为两个互斥事件，则，，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：A． 【变式训练2】已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 ． 【答案】 【解析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件， 又， 所以. 故答案为： 类型六、相互独立事件的判断 例．一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（　　） A． B． C．互斥 D．相互独立 【答案】D 【解析】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错； 对于B: 时，事件发生同时不发生，所以B错； 对于C: 时，A,B同时发生，所以C错； 对于D: ，则相互独立，所以D正确. 故选：D 【变式训练1】有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（　　） A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】A 【解析】由题意得，甲，乙，丙， 丁. 对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确； 对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确； 对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确. 故选：A. 【变式训练2】抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（　　） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 【答案】D 【解析】当时，表示一正一反，故，故A正确； 此时，， ，故B正确； 当时，表示并非每次都是正面朝上， 故，故C正确； 此时，， ，所以，故D错误. 故选：D. 类型七、相互独立事件概率的计算 例．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 【答案】 / 【解析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件， 则，，， 所以，， 若规定三名同学都回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率， 若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，， 则这个问题回答正确的概率． 故答案为：；． 【变式训练1】抛掷两颗质地均匀骰子，记“第一颗骰子结果向上的点数为偶数”为事件A，记“第二颗骰子结果向上的点数为5或6"为事件，则__________. 【答案】 【解析】由题意，可得，且， 根据相互独立事件的概率乘法公式，可得. 故答案为：. 【变式训练2】（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（　　） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【解析】对A：，故A正确； 对B：，， 则，故与不相互独立，故B错误； 对C：，， 则，故与相互独立，故C正确； 对D：， 则，故与相互独立，故D正确； 故选：ACD. 类型八、互斥事件与相互独立事件概率的综合应用 例．（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. 若，则事件与B相互独立 B. 若A与B相互独立，则 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 【答案】AB 【解析】对于A，由，，得， 显然，因此事件与相互独立，A正确； 对于B，若与相互独立，则， 因此，B正确； 对于C，若与互斥，则，C错误； 对于D，若发生时一定发生，则，，D错误. 故选：AB 【变式训练1】（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】ACD 【解析】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则，A选项正确； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，有A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，有， 则，D选项正确. 故选：ACD. 【变式训练2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（　　） A．与B互斥 B． C．与相互独立 D． 【答案】D 【解析】对于A，，，与B不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，与不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 故选：D. 类型九、频率与概率 例．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（　　）    A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【答案】D 【解析】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率， 选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； 选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意； 选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为， 故此选项符合题意； 故选：D 【变式训练1】长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为 ． 【答案】0.375 【解析】设该学校人数为，依题意得，近视的人数为，玩手机超过1小时的人有，近视人数为，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为，玩手机小于1小时的总人数为，这类人的近视率约为. 故答案为： 【变式训练2】在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 【答案】0.7 【解析】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次， 所以摸到红球概率的估计值为. 故答案为：0.7 类型十、概率与统计的综合 例．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【答案】（1），75 （2）（i）；（ii） 【解析】（1）由频率分布直方图有， 解得， 因为，， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； （2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，， 所以有，，， （i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则， 所以 ， 解得：. 【变式训练1】某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为， 即，解得； （2）由（1）知，平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75， 所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4； （3）第四、五两组志愿者分别有20人、5人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 【变式训练2】某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为容量， 所以， 所以该班学生的平均日睡眠时间为 ； （2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人， 记中抽取的2人为，中抽取的3人为， 设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件， 则， ， 所以发生的概率， 所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为. 四、限时冲刺练 1．下列说法正确的是（ ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 【答案】B 【解析】对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错； 对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确； 对于C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错； 对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能， 其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能， 所以点数和是2的倍数的概率是，所以D错； 故选：B 2．对于两个事件，则事件表示的含义是（ ） A．A与B同时发生 B．A与B有且仅有一个发生 C．A与B至少一个发生 D．A与B不能同时发生 【答案】C 【解析】由表示的是与中至少一个发生. 故选：C 3．从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从集合中任取两个数所有可能结果有、、、 、、、、、、共个， 其中满足两个数的和不小于的有、、、、、、、共个， 所以这两个数的和不小于的概率. 故选：C 4．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ） A．“至少有1本数学书”和“都是语文书” B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书” C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” D．“至多有1本数学书”和“都是语文书” 【答案】C 【解析】对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意 对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意 对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” 互斥但不对立，满足题意 对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意 故选：C 5．如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，则, 则. 故选：B. 6.把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色．将该四面体抛掷在一个平面上，记事件A=“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B=“四面体有黄色的面落在平面上”，记事件C=“四面体有蓝色的面落在平面上”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个，有蓝色的面有2个，则，且, 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D不正确. 故选：B. 7.（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 下列选项正确的是（ ） A． B．是必然事件 C． D． 【答案】AB 【解析】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确； 对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确； 对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误； 对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误． 故选：AB． 8．（多选）已知事件满足，则（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若独立，则 D. 若独立，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若互斥，则，则，故B正确； 对于C，若独立，则，故C正确； 对于D，若独立，则 ，故D正确. 故选：BCD 9．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 10．某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ． 【答案】/0.7 【解析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件，则， 骰子出现点数为3，4，5，6为事件，则， 甲箱摸出红球为，乙箱摸出红球为，设顾客中奖为事件， 所以，， 所以． 故答案为：． 11.若事件与相互独立，且，，且，则 ． 【答案】 【解析】根据事件A与B相互独立，所以， 由，， 所以 所以， 即， 又, 所以. 故答案为： 12.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 13.在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线．考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据．每一个学科的评价都有一个标准进行判断．以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前58%到前22%定为二档，后42%定为三档．在一次全市的模拟考考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为．    (1)求成绩位于时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段； (2)在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1．在此次模拟考试中．甲、乙、丙三位考生的数学成绩分别为65，94，122．请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分过特控线的人数的概率． 【答案】(1)，第一档的分数段为，第二档的分数段为，(2) 【解析】（1）根据频率分布直方图的信息，成绩在，对应的频率分别为. 根据总的频率和为1，即，解得， 即成绩在所对应的频率为. 因为，且，可知成绩在内的前也属于第一档， 即可知第一档的分数段为，且， 故成绩在内的前也属于第二档，所以二档的分数段为. （2）根据第（1）问的结论可知，甲的数学成绩属于第三档，乙的数学成绩属于第二档，丙的数学成绩属于第一档， 则. 14.袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏． （1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数； （2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率； （3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值． 【答案】（1）4个 （2） （3）4，5，6，7，8个 【解析】（1）设袋中有红球m个． 设“采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球”，则． 设“摸球两次，至少得到一次白球”．“摸球两次，两次均为红球”． 则，解得，即袋中红球有4个． （2）设事“摸球三次共取出两个白球”， 则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”， 则． 所以摸球三次共取出两个白球的概率为． （3）设“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”． 由题意知：． 若，则不可能连续两次摸到红球，不合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白白白红红”，，，不合题意． 若，则最多第四次就停止摸球，不符合题意． 若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，， 事件F五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”， ，，符合题意． 若，则事件E：三次摸球依次为“白红红”，， 事件F：五次摸球依次为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”， ， 由得，， 即，解得或．即，5，6，7， 综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$