19.3 课题学习 选择方案 教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

人教版初中数学八年级下册 第十九章 一次函数 19.3 课题学习 选择方案 教学设计 一、内容和内容解析 内容 本节课是人教版《义务教育教科书 数学》八年级下册第十九章“一次函数”中的“19.3 课题学习 选择方案”。主要内容包括:通过实际情境(如上网收费、租车方案等)建立一次函数模型,分析变量之间的关系,利用函数性质解决最优方案选择问题,涉及分段函数的表示、函数图像的比较、不等式与方程的应用。 内容解析 本节课是在学生学习了一次函数的概念、图像和性质的基础上,进一步应用函数模型解决实际决策问题。通过分析不同方案的成本、时间等变量,引导学生将实际问题转化为数学问题,利用函数比较大小、求交点等方法确定最优解。这不仅是函数知识的综合应用,也为后续学习线性规划、决策分析等奠定基础,同时培养学生的数学建模能力和优化意识。 二、目标和目标解析 目标 1. 能根据实际问题中的变量关系建立一次函数模型,特别是分段函数。 1. 通过比较函数值、分析函数图像,掌握方案优劣的判断方法。 1. 综合运用方程、不等式和函数性质解决多变量优化问题。 目标解析 学生通过分析“上网收费” “租车方案”等实际案例,经历“问题抽象 建立模型 求解验证 决策优化”的过程,提升将生活问题数学化的能力。在解决多变量问题时,学会选取关键自变量,用函数描述约束条件,形成通过数学工具优化现实决策的思维模式,为高中学习线性规划和更复杂的优化问题积累经验。 三、教学问题诊断分析 1. 模型建立困难:学生难以从复杂实际背景中抽象出变量关系,尤其对分段函数的定义理解模糊。 1. 多变量分析能力弱:面对多个约束条件(如费用限额、人数要求)时,无法有效整合信息建立函数关系。 1. 应用能力不足:在比较函数图像、求交点时易混淆自变量范围,导致方案选择错误。 四、教学过程设计 (一)情景引入 问题1 某家庭需安装宽带,现有三种套餐: 套餐A:月费30元,包25小时,超时每分钟0.05元; 套餐B:月费50元,包50小时,超时每分钟0.05元; 套餐C:月费120元,不限时。 若小明每月上网时间不定,应如何选择最省钱? 问题2 若小明上月上网35小时,分别计算三种套餐的费用,并初步判断哪种可能最省。 问题3 能否用数学方法描述不同上网时间 (小时)与费用 (元)的关系? 设计意图: 通过生活实例激发兴趣,引导学生从定性判断转向定量分析,初步感知函数建模的必要性,对应目标1中的模型建立能力。 (二)合作探究1 探究1 以套餐A为例,分析费用 与时间 的关系: 当 时,; 当 时,超时部分每分钟0.05元(即每小时3元),故 。 追问: 能否将分段关系合并为一个表达式? 答: (三)巩固练习1 1. 写出套餐B的函数解析式。 答案: 知识点:分段函数定义。 1. 套餐C的函数解析式是什么? 答案:(常函数)。 (四)合作探究2 探究2 在同一坐标系中绘制 的图像(描述关键点): :过点 ,,; :过点 ,,; :水平线 。 猜想: 通过图像交点判断最优区间。 验证: 解方程求交点: 时: 时: 时: 结论: 时,A最省; 时,B最省; 时,C最省。 设计意图: 通过图像直观和代数求解双验证,强化数形结合思想,提升目标2中的函数分析能力。 (五)典例分析 例1 某学校组织234名学生和6名教师出游,租车费用不超过2300元。车辆信息: 甲种客车:载客45人/辆,租金400元/辆; 乙种客车:载客30人/辆,租金280元/辆。 每辆车需至少1名教师。求最省钱的租车方案。 解: 1. 确定车辆数 : 总人数240人,每车至少1名教师(共6名),故 (因 )。 结合教师约束,取 (若 或 ,教师不足)。 1. 建立函数: 设租甲种客车 辆,则乙种客车为 辆。 载客约束: ; 费用函数:; 费用限额: 。 综上, 取整数4或5。 1. 比较方案: :元; :元。 故选甲种4辆、乙种2辆最省钱。 设计意图: 综合函数、不等式、整数解的应用,训练目标3中的多变量优化能力。 (六)巩固练习 1. 练习1 某健身房收费方案: 方案A:会员费100元/月,每次5元; 方案B:会员费150元/月,每次3元。 每月锻炼多少次时方案B更优惠? 答案: 设次数 ,解 。 知识点:函数比较与不等式。 1. 练习2 打印店收费: 方案A:每页0.1元,无底费; 方案B:月费10元,每页0.05元。 每月打印多少页时方案B更省? 答案: 解 。 1. 练习3 运输公司租车方案: 大车:载重10吨,运费800元/辆; 小车:载重6吨,运费500元/辆。 现需运62吨货物,如何租车最省钱? 答案: 设大车 辆,小车 辆,则: 枚举得 时 元最优。 设计意图: 分层训练函数建模能力,强化实际问题中的约束整合能力。 (七)归纳总结 问题类型 关键步骤 数学工具 单变量方案比较 1. 分段函数定义 2. 求交点 分段函数、方程 多变量约束优化 1. 确定变量范围 2. 目标函数 不等式组、一次函数 (八)感受中考 1. (2023 北京) 某快递公司收费:首重10元(1kg内),续重2元/kg。若包裹重 kg(),费用 元为( ) A.   B.   C.   D. 答案:C 解析:分段函数模型。 1. (2024 浙江) 公园门票方案: A:成人票40元,儿童票20元; B:团体票(≥5人)一律30元。 2名成人带3名儿童,选哪种方案省钱? 答案:A方案 元,B方案 元,选A。 1. (2022 江苏) 某市阶梯电价:月用电≤200度,0.5元/度;>200度部分0.8元/度。小明家某月电费158元,求用电量。 答案: 设用电 度,则: 解得 度。 1. (2023 四川) 公司采购笔记本,甲店买10送1,单价30元;乙店满100减15元。买55本至少花多少钱? 答案: 甲店:需买50本(送5本),花 元; 乙店:元。 故选乙店。 设计意图: 通过中考真题练习,明确考试方向,熟悉题型,检验学习成果,提升应考能力。 (九)小结梳理 知识模块 核心思想 关联应用 分段函数建模 分类讨论 阶梯收费、快递运费 函数图像比较 数形结合 方案优劣区间分析 多目标优化 约束条件整合 资源分配、成本最小化 (十)布置作业 必做题 1. 教材习题19.3第1题(上网收费方案变式)。 1. 某影院会员卡:A卡年费100元,购票6折;B卡无年费,购票8折。若每年观影 次,票均价40元,分析如何选择。 选做题 某旅行社推出两种优惠: 方案A:成人全价2000元,儿童半价; 方案B:4人以上团体,每人1400元。 现有3名成人、2名儿童,如何购票最省?若增加1名成人,方案是否变化? 五、教学反思 (课后填写) 学科网(北京)股份有限公司 $$