04 第一部分 数与代数-第一单元 数与式-第4讲 整式与因式分解-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义PPT

第4讲 整式与因式分解 中考突破•数学 1 01 02 03 教材整合·梳理考点 真题再现·聚焦考向 自主选练 2 01 教材整合·梳理考点 3 1 代数式及代数式的值 列代数式 用含有数字、字母及①__________的式子把问题中的数量 关系表示出来. 求代数 式的 值 用数代替②________里的字母，按照代数式中的运算关系 计算出结果. 运算符号 代数式 第4讲 整式与因式分解 返回目录 4 2 整式的有关概念 单项式 （1）定义：由数或字母的③______组成的式子.单独一个④____ 或字母也是单项式. （2）系数：单项式中的⑤______因数. （3）次数：单项式中的所有字母的⑥________. _______________________________________________________ 多项式 （1）定义：几个单项式的⑦____. （2）项：多项式中的每个单项式. （3）次数：多项式中，⑧__________的项的次数. 乘积 数 数字 指数和 和 次数最高 第4讲 整式与因式分解 返回目录 5 整 式 ⑨________与⑩________统称为整式. 同类项 所含字母⑪______，并且相同字母的指数也⑫______的项叫做同 类项.所有的常数项都是同类项. 单项式 多项式 相同 相同 续表 第4讲 整式与因式分解 返回目录 6 下列代数式：，，，5，，，，， . （1）单项式有：_ _________________________. （2）多项式有：_ _________________. （3）整式有：________________________________， . （4）是同类项的有：_ _____________. ，，5，， ， ，，5，，， ， 第4讲 整式与因式分解 返回目录 7 （5） 的系数是_ ___，次数是___； 的系数是___，次数是___； 的次数是___，一次项系数是____. 1 1 2 第4讲 整式与因式分解 返回目录 8 3 整式的运算 1.加减运算（实质：合并同类项） 合并同类项 系数相⑬______，字母及指数⑭______. 即： . 去括号法则 ⑮__________； ⑯__________. 加减 不变 第4讲 整式与因式分解 返回目录 9 2.幂的运算（<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>为正整数） 同底数幂相乘 底数不变，指数相加， 即 ⑰______. 同底数幂相除 底数不变，指数相减， 即 ⑱______. 幂的乘方 底数不变，指数相乘， 即 ⑲_____. 积的乘方 先把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 ⑳______. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 10 3.乘除运算 单项式乘单 项式 把它们的系数、同底数幂分别㉑______，对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的㉒______作为积的一个因式. 单项式乘多 项式 ㉓_______________. 多项式乘多 项式 ㉔___________________. 相乘 指数 第4讲 整式与因式分解 返回目录 11 乘法公式 平方差公式： ㉕________. 几何背景：（2022年版课程标准要求了解） _______________________________________ 续表 第4讲 整式与因式分解 返回目录 12 乘法公式 完全平方公式： ㉖______________; ㉗______________. 几何背景：（2022年版课程标准要求了解） _____________________________________________________________ 续表 第4讲 整式与因式分解 返回目录 13 单项式除以 单项式 把系数与同底数幂分别㉘______，作为商的因式，对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的㉙______作为商的一个 因式. 多项式除以 单项式 用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商㉚ ______. 相除 指数 相加 续表 第4讲 整式与因式分解 返回目录 14 1.不要把同底数幂的乘法与整式的加减相混淆，注意不要出现下面的错 误：， . 2.利用乘法公式时，不要出现下面的错误： ， . 第4讲 整式与因式分解 返回目录 15 4 因式分解 定 义 把一个多项式化成几个整式的㉛____的形式，这种变形叫做多项式的 因式分解. 方 法 （1）提公因式法： ㉜_____________; （2）运用公式法： 平方差公式： ㉝______________; 完全平方公式： ㉞_________, ㉟_________. （3）十字相乘法： ㊱______________. 积 第4讲 整式与因式分解 返回目录 16 步 骤 一提：若有公因式，应先提公因式； 二套：看是否可套用公式（特殊情形考虑十字相乘法）； 三查：检查各因式能否继续分解. 续表 第4讲 整式与因式分解 返回目录 17 因式分解一定要分解彻底，如分解因式 ，若分解的结果为 ，这是不正确的，因为 还能利用平方差公式进行分解，正 确的结果应为 . 第4讲 整式与因式分解 返回目录 18 02 真题再现·聚焦考向 19 1 列代数式、求代数式的值 例1 （1）[2024新疆] 若每个篮球30元,则购买 个篮球需_____元. （2）[2024广州] 若,则 ____. 11 [解析] ,, 原式 . 第4讲 整式与因式分解 返回目录 20 （1）直接列代数式比较困难时，可采用列方程求解的间接方法. （2）当代数式中的字母不能或不易求出具体数值时，要仔细观察所求 代数式与已知条件之间的内在联系，有时需对所求代数式或已知条件做适 当的变形，使变形后可以整体代入求值. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 21 1.[2022长沙] 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满 校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种 读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本.设购买甲种读本 本，则购 买乙种读本的费用为( ) C A.元 B.元 C.元 D. 元 第4讲 整式与因式分解 返回目录 22 2.[2023河北] 根据表中的数据，写出的值为_ _， 的值为____. 结果 代数式 2 7 1 第4讲 整式与因式分解 返回目录 23 2 整式的相关概念及整式的运算 例2 （1）[2024湖南] 下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. （2）[2024河南] 请写出 的一个同类项：_________________. （3）[2024长春] 单项式 的次数是___. （答案不唯一） 3 [解析] 选项A：,原计算错误；选项B： , 正确；选项C：,原计算错误；选项D： ,原计算错误. 故选B. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 24 有关幂的运算性质及整式的运算是中考的必考知识点，正确理解幂的 运算性质、乘法公式是解这类题的关键.解题时，要特别注意避免出现类似 ，，， 的错误. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 25 3.[2024内江] 下列单项式中, 的同类项是( ) A A. B. C. D. 4.[2024黑龙江] 下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 26 5.【几何背景】[2023随州] 设有边长分别为和的类和 类正方形 纸片,长为、宽为的类矩形纸片若干张.如图所示,要拼一个边长为 的 正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张 类纸片.若要拼一个长为 、宽为的矩形，则需要 类纸片的张数为( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 第4讲 整式与因式分解 返回目录 27 [解析] ， 若要 拼一个长为、宽为 的矩形，则需要C类纸片的张数为8.故选C. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 28 3 整式的化简与求值 例3 [2024长沙] 先化简,再求值： ,其中 . 解： . 当时,原式 . 第4讲 整式与因式分解 返回目录 29 整式的化简求值，通常涉及整式的乘除、平方差公式、完全平方公式 以及整式的加减等，在运算过程中，要正确运用乘法法则、去括号法则及 乘法公式，不要出现类似， 的错误. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 30 6.[2024陕西] 先化简,再求值：,其中, . 解：原式 . 当, 时, 原式 . 第4讲 整式与因式分解 返回目录 31 7.[2024通辽] 先化简,再求值： ,其中 , . 解：原式 . 当, 时, 原式 . 第4讲 整式与因式分解 返回目录 32 4 数与式规律探究问题 例4 [2023常德] 观察下列数表（横排为行，竖排为列），按数 表中的规律，分数若排在第行第列，则 的值为 ( ) C A.2 003 B.2 004 C.2 022 D.2 023 [解析] 观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和相等， （，为正整数）在第行第列， 在第2 042行第20 列，，， .故选C. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 33 8.[2024重庆] 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物,如图是这类物质 前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1 种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原 子,……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ( ) B A.20 B.22 C.24 D.26 第4讲 整式与因式分解 返回目录 34 [解析] 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个.当 时, （个）,即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22 个.故选B. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 35 9.[2023岳阳] 观察下列式子：； ； ；；；……依此规律，则第 （ 为正整数）个等式是_________________. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 36 5 因式分解 例5 因式分解： （1）[2024山东] __________. （2）[2024甘肃] _________________. （3）[2024通辽] ____________. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 37 因式分解的关键是选择合适的方法.因式 分解的步骤：一提（提公因式）、二套 （套公式）、三查（检查是否分解彻底）. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 38 10.（1）[2024陕西] 因式分解： _________. （2）[2024赤峰] 因式分解： ________________. [解析] （3）[2024达州] 因式分解： __________. [解析] 第4讲 整式与因式分解 返回目录 39 11.【新课标·代数推理】[2024福建] 已知实数,,,,满足 , . （1）求证： 为非负数； 第4讲 整式与因式分解 返回目录 40 证明：, , , , 则 . ,, 是实数, , 为非负数. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 41 （2）若,,均为奇数,, 是否可以都为整数？说明你的理由. 解：, 不可能都为整数.理由如下： 若,都为整数,其可能的情况有：,都为奇数；, 为整数,且其中至 少有一个为偶数, ①当,都为奇数时, 必为偶数. 又 , , 为奇数, 必为偶数,这与 为奇数矛盾； 第4讲 整式与因式分解 返回目录 42 ②当,为整数,且其中至少有一个为偶数时, 必为偶数. 又 , . 为奇数, 必为偶数,这与 为奇数矛盾. 综上所述,, 不可能都为整数. 第4讲 整式与因式分解 返回目录 43 03 自主选练 44 见配套《自主选练本》 第4讲 整式与因式分解 返回目录 45 46 $$