30 第二部分 图形与几何-第五单元 四边形-微专题（十） 正方形中的常见模型-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义PPT

微专题（十） 正方形中的常见 模型 中考突破•数学 1 1 “十字形”型 模型 图示 _________________________________________________________________________________________ 基本 结论 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段 （如：图①中的线段与，图②中的线段与 ，图③中的线 段与，图④中的线段与 ）满足：若垂直，则相等. 微专题（十） 正方形中的常见模型 2 1.已知四边形 是正方形. 【探究】 （1）点,分别是边,上一点,连接,,若点,分别从, 两点同时 出发,以相同的速度在直线, 上移动. 微专题（十） 正方形中的常见模型 3 ①如图①,当点自点向点、点自点向点移动时,请写出与 的关 系,并说明理由. ① 微专题（十） 正方形中的常见模型 4 解：, .理由如下: 设与交于点 （图略）. 四边形 是正方形, , . 由题意,易知 , , , . , , , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 5 ②如图②,当点,分别移动到边, 的延长线上时,①中的结论还成立吗? （请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明） ② 解：成立. 微专题（十） 正方形中的常见模型 6 ③ （2）如图③,点是上一点,连接,取的中点,过点 作 交于点,交于点 . 微专题（十） 正方形中的常见模型 7 ①求证: ; 证明:证法一:如答图①,将平移到处,则, . 第1题答图① , , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 四边形 是正方形, , , , . 在和 中, , , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 第1题答图② 证法二:如答图②,过点作于点 . 四边形 是正方形, , , , 四边形 是矩形, , . , , . , 微专题（十） 正方形中的常见模型 10 . 在和 中, , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 ②连接,若,则 的长为___. 微专题（十） 正方形中的常见模型 12 （3）如图④,与相交于点,若 ,,求 的长. ④ 微专题（十） 正方形中的常见模型 13 第1题答图③ 解：如答图③,分别过点,作, ,垂足分别为 ,,易知 . 设与,分别相交于点, , 易知 , . , , , ,即 . 在和 中, , . , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 14 【应用】 ⑤ （4）如图⑤,取的中点,连接.过点作交 于 点,连接,.若,则四边形 的面积为___. 9 ⑥ （5）如图⑥,将正方形纸片沿过点,的直线折叠,点 的对应点恰好落在上,点的对应点为点.若 , ,则线段 的长为______. 微专题（十） 正方形中的常见模型 15 （6）如图⑦,点是边上一动点（不与点,重合）,点是 的中点,过点 作交于点,交于点,连接交于点 .用等式表示线段 ,, 之间的数量关系,直接写出结论. ⑦ 解： . 微专题（十） 正方形中的常见模型 16 2 正方形的“三垂线”模型 模 型 图 示 _________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ① ② 微专题（十） 正方形中的常见模型 17 基 本 结 论 （1）如图①，已知正方形，过点，两点分别向过点 的直线 作垂线，垂足分别为，，则 . （2）如图②，在正方形中，若 ，平分 ， ，则.过点作 的垂线，构造一线三直角 （即三垂线模型），可得 . 续表 微专题（十） 正方形中的常见模型 18 2.某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片 段，完成所提出的问题. 四边形是边长为4的正方形，点是射线 上的动点， ，且交正方形外角的平分线于点 . ① 【探究1】当点是 的中点时，如图①，发现 ，这需要证明与 所在的两个三角形全等，而 与显然不全等，考虑到点是 的中点，取 的中点，连接，证明与 全等即可. 微专题（十） 正方形中的常见模型 19 【探究2】 （1）如图②，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（不与点, 重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“ ”仍然成立吗？如 果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由. ② 微专题（十） 正方形中的常见模型 20 第2题答图① 解：成立.证明如下： 如答图①，在上截取，连接 . ， ， . ， ， ， . ，， . 在和 中， ， 微专题（十） 正方形中的常见模型 21 （2）如图③，如果点是边 的延长线上的任意一点，其他条件不变，请 你画出图形，并判断“ ”是否成立?____（填“是”或“否”）. 是 ③ 微专题（十） 正方形中的常见模型 22 第2题答图② [解析] 成立.证明如下： 如答图②，在的延长线上取一点，使 ， 连接 ， ， . 平分， ， . 四边形 是正方形， ， ， 即 ， , ， ， . 微专题（十） 正方形中的常见模型 23 【探究3】 （3）连接交直线于点，连接，试探究线段,, 之间的数量关 系，并说明理由. 解：分两种情况： ①如答图③，当点在上时，延长到点，使,连接 . 第2题答图③ 微专题（十） 正方形中的常见模型 24 四边形 是正方形， ， , ， ， ， . 又， ， ， ， 微专题（十） 正方形中的常见模型 25 ， . 又， ， ， ， ， ; 微专题（十） 正方形中的常见模型 ②如答图④，当点在的延长线上时，在上截取，使 . 第2题答图④ 同理可证 ， ， . ， 微专题（十） 正方形中的常见模型 27 . 由①知， ， ， ， 又， ， ， . ， ,即 . 综上所述,当点在上时,;当点在 的延长线上时, . 微专题（十） 正方形中的常见模型 【探究4】 （4）当时，此时 的面积为________. 或 微专题（十） 正方形中的常见模型 29 3 正方形的“半角”模型 模 型 图 示 _______________________________________________________________________________ 基 本 结 论 （1）如图①，在正方形中，若 ，则 ；的周长为正方形边长的2倍； 平 分，平分； . （2）如图②，在正方形中，若 ，则 ， . 微专题（十） 正方形中的常见模型 30 3.[2024乐山改编] 在一堂平面几何专题复习课上,刘老师先引导学生解决了 以下问题： 【问题情境】 如图①,在中, ,,点，在边 上,且 ,,,求 的长. 解：如图②,将绕点逆时针旋转 得到,连接 . 由旋转的特征，得,,, . , , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 31 , ,即 ， . 在和 中, ,, , ____. . 续表 微专题（十） 正方形中的常见模型 32 又 , 在 中,②____. , , ___ . __________________________________________________________________________________________ 续表 微专题（十） 正方形中的常见模型 33 【问题解决】 上述问题情境中,“①”处应填：________________；“②” 处应填：__________________；“③”处应填：___. 5 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究,只要我 们抓住了变化中的不变量,就能以不变应万变. 微专题（十） 正方形中的常见模型 34 【知识迁移】 如图③,在正方形中,点,分别在边, 上,满足 的周长等于正方形的周长的一半,连接,,分别与对角线 交于,两点.探究,, 的数量关系并证明. 微专题（十） 正方形中的常见模型 第3题答图 解： ,证明如下： 如答图,将绕点逆时针旋转 ,得到,过点 作交边于点,连接 . 由旋转的特征，得,, . 由题意，得 , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 36 在和 中, , . 又为正方形 的对角线, . , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 37 在和 中, , , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 38 在和 中, , . 在中, , . 微专题（十） 正方形中的常见模型 39 【拓展应用】 如图④,在矩形中,点,分别在边, 上,且 .探究,, 的数量关系：____________________ （直接写出结论,不必证明）. 【问题再探】 如图⑤,在中, ,,,点, 在边上,且 .设,,直接写出与 的函数关系式. 解：与的函数关系式为 . 最后,刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中,学会用数学的眼 光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界. 微专题（十） 正方形中的常见模型 40 41 $$