18 第二部分 图形与几何-第四单元 线与角、三角形-微专题（三） 四大常考全等模型-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义PPT

微专题（三） 四大常考全等模型 中考突破•数学 1 1 平移型 模 型 图 示 “平移型”的特点是两个三角形一组边共线或部分重合，另两组边分别 平行.其中一个三角形可以看做是另一个三角形平移得到的.常见的模 型图如下： __________________________________________________________________________________________ 解题时，要善于利用公共边的和差变化推出等边；利用平行的性 质推出等角. 微专题（三） 四大常考全等模型 2 1.如图,点是线段的中点,,.求证: . 微专题（三） 四大常考全等模型 3 证明: 点为线段 的中点, . , . , . 在和 中, . 微专题（三） 四大常考全等模型 4 2.[2024内江] 如图,点，，， 在同一条直 线上,,, . （1）求证： ； 证明： , , 即 , 在和 中, . 微专题（三） 四大常考全等模型 5 （2）若 , ,求 的度数. 解：由（1）可知： , , . 微专题（三） 四大常考全等模型 6 2 对称型 模 型 图 示 “对称型”的特点是沿公共边或者公共顶点所在的某条直线折叠可得两个 三角形重合.常见的模型图有如下两类: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 解题时,要注意隐含的公共边和公共角、对顶角. （共边型） （共角型） 微专题（三） 四大常考全等模型 7 3.[2024乐山] 如图,是的平分线,,求证： . 微专题（三） 四大常考全等模型 8 证明：是 的平分线, . 在和 中, , . 微专题（三） 四大常考全等模型 9 4.[2022长沙] 如图，平分，， ，垂 足分别为， . （1）求证： ； 证明：平分，， ， , . 在和 中， . 微专题（三） 四大常考全等模型 10 （2）若，，求四边形 的面积. 解： ， , ， , . ， . . 微专题（三） 四大常考全等模型 11 5.如图,已知,点在上, , ,垂足分别为,.求证: . 证明:, , . , . 在和 中, . 微专题（三） 四大常考全等模型 12 3 旋转型 模 型 图 示 1.共顶点旋转型： 这类题的特点是有公共顶点，绕该顶点旋转可得两个三角形重合.常见 的模型图如下： __________________________________________________________________________________________ 解题时，注意利用重叠角和公共角，找准旋转前后的对应边、对应角. 在旋转模型中，“手拉手模型”与“半角模型”在中考探究性问题中经常 出现. 微专题（三） 四大常考全等模型 13 模 型 图 示 （ⅰ）“手拉手”模型：此模型是旋转的一种特殊形式，通常是顶角相等 的等腰三角形或正方形绕顶角顶点旋转而来，基本图形有以下三种： __________________________________________________________________________________________ “手拉手”模型基本结论：①手拉手全等 ；②拉手线 相等；③交叉时拉手线夹角 顶角（图②中 ）. ① ② ③ 续表 微专题（三） 四大常考全等模型 14 模 型 图 示 （ⅱ）“半角”模型：一个角内包含这个角的半角（如 包含 ， 包含 等）.通常有以下三种特殊情况： ________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 旋转时既可以把半角左边的三角形旋转到右边,也可以把右边的旋转到 左边,灵活变换. 续表 微专题（三） 四大常考全等模型 15 模 型 图 示 2.不共顶点旋转型： 这类题的特点是：所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心 对称点旋转 ，则可得到另一个三角形，两个三角形有一组边共 线，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等．常见图形如 下： ______________________________________________________________________ 续表 微专题（三） 四大常考全等模型 16 6.[2024云南] 如图,在和中,,, . 求证： . 微专题（三） 四大常考全等模型 17 证明： , , 即 . 在和 中, . 微专题（三） 四大常考全等模型 18 7.如图，在中, ,,点和点均在边 上,且 .请猜想,, 满足的数量关系,并写出推理过程. 微专题（三） 四大常考全等模型 19 第7题答图 解:猜想: .推理过程如下: , , . 如答图,过点作,且,连接, . , , 即 . 微专题（三） 四大常考全等模型 20 在和 中, . , . . , , . 微专题（三） 四大常考全等模型 21 在和 中, . . 在中, , . 微专题（三） 四大常考全等模型 22 4 一线三等角型（“K”模型） 模 型 展 示 “一线三等角型”的特点是同一直线上出现三个相等的角，其中两个角 的一边落在该直线上，第三个角的顶点落在该直线上.基本图形有以下 三种： ________________________________________________ 微专题（三） 四大常考全等模型 23 模 型 展 示 __________________________________________________ __________________________________________________ 续表 微专题（三） 四大常考全等模型 24 8.[2023聊城] 如图，在四边形中，点是边 上一 点，且， . 微专题（三） 四大常考全等模型 25 （1）求证： ； 证明： ， ， . 在和 中， ， ， . 微专题（三） 四大常考全等模型 （2）若 ，，求 的面积. 第8题答图 解： ， ， 为等边三角形， . 如答图，过点作于点 ， ， ， . 微专题（三） 四大常考全等模型 27 9.在矩形中，已知.在边上取点，使，连接 ， 过点作，与边或其延长线交于点 . ① ② （1）【猜想】如图①，当点在边上时，线段与 的大小关系为 _________； 微专题（三） 四大常考全等模型 28 （2）【探究】如图②，当点在边的延长线上时，与边交于点 ， 判断线段与 的大小关系，并加以证明； 解： .证明如下： , , . ， ， ， . 微专题（三） 四大常考全等模型 29 在和 中， ， . 微专题（三） 四大常考全等模型 （3）【应用】如图②，若， ，利用探究得到的结论，求线段 的长. 解：，， ， ， ， . ， ，， . 微专题（三） 四大常考全等模型 31 32 $$