17 第二部分 图形与几何-第四单元 线与角、三角形-第15讲 三角形与全等-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义PPT

第15讲 三角形与全等 中考突破•数学 1 01 02 03 教材整合·梳理考点 真题再现·聚焦考向 自主选练 2 01 教材整合·梳理考点 3 1 三角形的分类 按边分 _______________________________________________________________________________________ 按角分 _______________________________________________________________________________ 第15讲 三角形与全等 返回目录 4 2 三角形的边、角关系 三边关系 三角形的任意两边之和③______第三边，任意两边之差 ④______第三边. 内角和定 理 三角形的内角和等于⑤______，如图， . _____________________________ 内外角关 系 （1）三角形的一个外角⑥______与它不相邻 的两个内角的和.如图， . （2）三角形的一个外角⑦______任何一个和 它不相邻的内角.如图，， . 边角 关 系 在同一个三角形中，大边对⑧______，小边对小角. 大于 小于 等于 大于 大角 第15讲 三角形与全等 返回目录 5 3 三角形中的重要线段 图示 性质 角平 分线 _____________________________ （1）⑨__ ； ； . 注：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 中线 _____________________________ ⑩__ ； . 注：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 第15讲 三角形与全等 返回目录 6 图示 性质 高 _____________________________ ； ， . 中位 线 _____________________________ （1）三角形的中位线⑪________第三边且等于第三 边的⑫______，即， ⑬_____； （2）三角形的中位线将三角形分成面积比为 的两 部分. 平行于 一半 续表 第15讲 三角形与全等 返回目录 7 4 全等三角形的性质与判定 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 性质 全等三角形的对应边⑭______，对应角⑮ ______. 相等 相等 第15讲 三角形与全等 返回目录 8 判定 （边边边） 三边分别⑯______的两个三角形 全等.说明三角形具有稳定性. _____________________________ （边角边） 两边和它们的⑰______分别相等 的两个三角形全等. ______________________________ （角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个 三角形全等. _______________________________ （角角边） 两角和其中一个角的对边分别相等 的两个三角形全等. _______________________________ （斜边、 直 角边） ⑱______和一条直角边分别相等 的两个直角三角形全等. _____________________________ 续表 相等 夹角 斜边 第15讲 三角形与全等 返回目录 “”“ ”不能判定两个三角形全等.判定两个三角形全等时，必须有 边的参与；若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 第15讲 三角形与全等 返回目录 10 如图，在和中，已知， . 添加一个条件使得 . （1）添加的条件是_________，依据是“ ”； （2）添加的条件是_________________________，依据是“ ”； （3）添加的条件是_________，依据是“ ”； （4）若 ，添加的条件是________________________，依据 是“ ”. （或） （或） 第15讲 三角形与全等 返回目录 11 02 真题再现·聚焦考向 12 1 三角形三边的关系 例1 [2023长沙] 下列长度的三条线段，能首尾相接组成三角形的是( ) C A.1，3，4 B.2，2，7 C.4，5，7 D.3，3，6 判断三条线段能否组成三角形,只需选择两条较短的线段求和,若这两条 线段的和大于最长线段的长,则这三条线段能组成三角形,否则不能. 第15讲 三角形与全等 返回目录 13 1.[2023衡阳] 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( ) D A.，， B.，， C.，， D.，， 2.【创新考法】[2022益阳] 如图①，将长为6的矩形纸片 沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要 将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中 的值可以 是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 第15讲 三角形与全等 返回目录 14 2 三角形的内角和、内外角关系 例2（1）[2024长沙] 如图,在 中, , ,,则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 第15讲 三角形与全等 返回目录 15 （2）[2023深圳] 如图为商场某品牌椅子的侧面图， ， 与 地面平行， ，则 ( ) A A. B. C. D. 第15讲 三角形与全等 返回目录 16 三角形的内角和定理及其推论是在三角形中进行角度计算和转换的基 本工具，我们要学会灵活运用. 第15讲 三角形与全等 返回目录 17 3.[2024苏州] 如图,.若 , ,则 的度数为( ) B A. B. C. D. 第15讲 三角形与全等 返回目录 18 4.[2023株洲] 《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣 ，一宣有半 谓之欘 ….”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…” 即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩 ）. 问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意 图.若矩，欘，则 ______. 第15讲 三角形与全等 返回目录 19 3 三角形中的重要线段 例3 [2024长沙] 如图,在中,点,分别是, 的中点,连接.若,则 的长为____. 24 三角形的中位线定理在证明两线平行关系和计算 两线段数量关系时有着重要应用，因此，题目中有“中 点”，要学会寻找或构造中位线，从而为解题创造条件. 第15讲 三角形与全等 返回目录 20 5.如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点，；再分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交 于点.连接并延长交于点 ,则下列说法正确的是( ) C A. B.一定经过 的重心 C. D.一定经过 的外心 第15讲 三角形与全等 返回目录 21 6.[2024广安] 如图,在中,点,分别是, 的中点,若 , ,则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 第15讲 三角形与全等 返回目录 22 例4 如图，在中，，的平分线， 相 交于点.若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 第15讲 三角形与全等 返回目录 23 与三角形角平分线夹角相关的四个结论： 情形 图示 结论 两内角平分线 夹角 _________________________________ ，是与 的 平分线 第15讲 三角形与全等 返回目录 24 情形 图示 结论 一内角一外角 平分线夹角 _____________________________________ ，是与 的 平分线 续表 第15讲 三角形与全等 返回目录 25 情形 图示 结论 两外角平分线 夹角 ____________________________________ ，是与 的 平分线 续表 第15讲 三角形与全等 返回目录 26 情形 图示 结论 共顶点角平分 线与高线夹角 ____________________________________ 在中，是高， 是 的平分线 ,即共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半 续表 第15讲 三角形与全等 返回目录 27 7.[2024达州] 如图,在中,,分别是内角,外角 的三等 分线,且,,在中,, 分别是内 角,外角的三等分线,且 , , 以此规律作下去,若 ,则 ______. 第15讲 三角形与全等 返回目录 28 4 全等三角形的性质与判定 例5 [2024长沙] 如图,点在线段上,,, . 第15讲 三角形与全等 返回目录 29 （1）求证： ； 证明：在和 中, . 第15讲 三角形与全等 返回目录 30 （2）若 ,求 的度数. 解：由（1）得 , , , . , . 第15讲 三角形与全等 返回目录 31 1.三角形全等的证明思路 第15讲 三角形与全等 返回目录 32 2.三角形全等的性质是证明线段相等、角相等的常用依据.在三角形中， 遇到证明线段相等或角相等的问题，首先可以考虑判断两条线段或两个角 所在的两个三角形是否全等. 第15讲 三角形与全等 返回目录 33 8.[2023吉林] 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构， 其数学道理是__________________. 三角形具有稳定性 第9题图 9.[2024成都] 如图,.若 , ,则 的度数为______. 第15讲 三角形与全等 返回目录 34 10.[2024牡丹江] 如图,在中,是上一点,,,, 三点共线,请 添加一个条件:_________________________________,使得 . （只添一种情况即可） 或（答案不唯一） 第10题图 第15讲 三角形与全等 返回目录 35 11.[2024南充] 如图,在中,点为边的中点,过点作交 的 延长线于点 . 第15讲 三角形与全等 返回目录 36 （1）求证： . 证明： 点为 的中点, . , , . 在和 中, . 第15讲 三角形与全等 返回目录 37 （2）若,求证： . [答案] 点为的中点, , 直线为线段 的垂直平分线, , 由（1）可知： , , . 第15讲 三角形与全等 返回目录 38 03 自主选练 39 见配套《自主选练本》 第15讲 三角形与全等 返回目录 40 41 $$