15 第一部分 数与代数-第三单元 函数及其图象-第13讲 二次函数及其应用-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义PPT

第13讲 二次函数及其应用 中考突破•数学 1 01 02 03 教材整合·梳理考点 真题再现·聚焦考向 自主选练 2 01 教材整合·梳理考点 3 1 二次函数的概念、图象与性质 概念 一般地，形如①________________，，是常数， 的函 数叫做二次函数.其中是自变量，，， 分别为函数解析式的二 次项系数、一次项系数和常数项. 函数解 析式 一般式： ； 顶点式： . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 4 图象 _________________________________ ___________________________ 开口方 向 开口②______ 开口向下 向上 续表 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 5 对称轴 直线③_ ____或直线 顶点坐 标 ④_ _____________或 ， 续表 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 6 增减性 当（或）时，随 的增 大而⑤______；当 （或）时，随 的增大而 ⑥______. 当（或）时，随 的 增大而增大；当 （或）时，随 的增大而 减小. 最值 当⑦_ ___________时， 有最 小值⑧_ _____________. 当（或）时， 有最 大值（或 ）. 减小 增大 （或） （或） 续表 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 7 2 求二次函数的解析式 三种形 式 适用条件及求法 一般式 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则 可设所求二次函数的解析式为⑨________________. 顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值 （最小值），则可设所求二次函数的解析式为⑩_______________ __. 交点式 若已知二次函数图象与轴的两个交点的坐标为， ， 则可设所求二次函数的解析式为⑪_____________________. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 8 3 二次函数图象的平移规律 平移方式 解析式变化情况 口诀 向上平移 个单 位 +m 上加下减常数 项 向下平移 个单 位 - m 向左平移 个单 位 （+m） 左加右减自变 量（即 左加 右减） 向右平移 个单 位 （-m ） 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 9 对于一般式的平移，同样是“上加下减常数项，左加右减自变量”，如将 抛物线向右平移 个单位后得到的图象的解析式为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 10 4 二次函数与一元二次方程的关系 关 系 1.若二次函数的图象与 轴有两个交点，则两个交点的 横坐标是相应的一元二次方程 的两个解. 2.一元二次方程根的判别式同样可以用于判断抛物线与 轴有无交点的 情况： （1） 抛物线与 轴有⑫______交点； （2） 抛物线与 轴有⑬______交点； （3） 抛物线与 轴⑭______交点. 两个 一个 没有 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 11 5 二次函数的应用 两种 类型 1.利用二次函数表示实际问题中变量之间的关系，如投球、桥洞等 问题. 2.利用二次函数解决实际问题中的最优化问题（如面积最值、长度最 值、商品利润最值等），其实质就是利用二次函数的图象与性质求 二次函数的最大值或最小值. 注意 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值能解决 相应的实际问题. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 12 在实际问题中求最值时，不一定在抛物线的顶点坐标处取得，因为自 变量的取值往往受到了制约，要注意自变量的取值范围，要在允许的范围 内取值. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 13 02 真题再现·聚焦考向 14 1 二次函数的图象与性质及与系数、方程、不等式的 关系 例1（1）[2024陕西] 已知一个二次函数的自变量 与函数 值 的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ( ) D A.图象的开口向上 B.当时,随 的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 15 （2）[2023娄底] 已知二次函数 的图象如 图所示，给出下列结论：； ； （为任意实数）；④若点 和点在该图象上，则 .其中正确的结论是 ( ) D A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 16 （1）二次函数的很多性质，例如对称轴、顶点坐标、最大（小）值、 增减性等，都可以从顶点式中反映出来. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 17 （2）二次函数 的图象与其系数有如下关系： 字母或代数式 符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 轴 （， 同号） 对称轴在 轴左侧 （， 异号） 对称轴在 轴右侧 经过原点 与 轴正半轴相交 与 轴负半轴相交 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 18 与 轴有唯一交点 与 轴有两个不同交点 与 轴没有交点 （其中 通常取 ，， ） 判断的符号，就是判断 时，函数值 的符号，可由点与 轴的相对位置确 定.当点在轴上方时，；当点在 轴 上时，；当点在 轴下方时， . 续表 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 19 1.[2024包头] 将抛物线 向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点 式为( ) A A. B. C. D. 2.[2023大连] 已知抛物线，则当 时，函数的最大 值为( ) D A. B. C.0 D.2 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 20 3.[2024凉山州] 抛物线经过,, 三点,则 ,, 的大小关系正确的是( ) D A. B. C. D. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 21 4.[2024绥化] 二次函数 的部分图象如图所 示,对称轴为直线 .有下列结论： ；（ 为任意实 数）；；④若 ， 是抛物线上不同的两点,则 .其中正确的结论有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 22 2 二次函数解析式的确定 例2 [2024牡丹江] 如图,二次函数 的 图象与轴交于，两点,与轴交于点,点 的坐标为 ,点的坐标为,连接 . （1）求该二次函数的解析式； 解：把和 代入解析式，得 解得 二次函数的解析式为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 23 （2）点是抛物线在第四象限图象上的任意一点,当的面积最大时, 边上的高 的值为_ ___. 例2答图 [解析] 令,则 , 解得, , 点的坐标为 , . 设直线的解析式为,代入, ,得 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 24 解得 直线的解析式为 . 过点作轴交于点 ,如答图, 设点的坐标为,则点的坐标为 , , , 面积的最大值为 , . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 5.[2023兰州] 一名运动员在 高的跳台进行跳水,身体（看成一点）在空 中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面的高度与离起跳点 的水 平距离之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点的水平距离为 时 达到最高点,当运动员离起跳点的水平距离为时离水面的距离为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 26 （1）求关于 的函数解析式; 解:由题意,得抛物线过和,对称轴为直线 . 设关于的函数解析式为 , 解得 关于的函数解析式为 . （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长. 解:在中,令，得 , 解得或 （舍去）. 运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 27 3 二次函数的实际应用 例3 [2024广东] 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农 产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的 价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出 .市场 调查反映：如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加 .该果商如何定价才 能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元”为人民币） 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 28 解：设该果商定价为每吨万元时每天的“利润”为 万元.由题意，得 . , 当时, 有最大值,最大值为312.5万元, 答：该果商将荔枝定价为每吨4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入” 最大,其最大值为312.5万元. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 29 求二次函数的最值的两种方法：（1）可直接利用公式法求顶点的纵坐 标,即的最大值为 或最小值为 若顶点在已知给定的自变量取值范围内,则函数在顶点处 取得最大值或最小值;若顶点不在已知给定的自变量取值范围内,则根据二次 函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小,从而确 定最值. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 30 6.[2024广西] 如图,壮壮同学投掷实心球,出手（点处）的高度是 ,出 手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是 .若 实心球落地点为,则_ __ . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 31 7.[2024湖北] 学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已 知墙长,篱笆长.设垂直于墙的边长为,平行于墙的边 长为 ,围成的矩形面积为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 32 （1）求与,与 的函数关系式. 解：由题意,得 , . 由,且 , 得 . 由题意,得 , . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 33 （2）围成的矩形花圃面积能否为?若能,求出 的值. 解：由题意,令 , 解得（舍去）或 . 答：当时,围成的矩形花圃的面积为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 34 （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值,并求 出此时 的值. 解： . ,且 , 当时, 取得最大值为800. 答：围成的矩形花圃面积存在最大值,最大值为,此时 的值为20. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 35 8.如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与 轴交于 点,顶点为 . （1）该二次函数的解析式为_______________,函数图象的对称轴是_______ _____,顶点坐标是________. 直线 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 36 （2）若点是抛物线对称轴上的一个动点,当的值最小时,求点 的 坐标. 解：由抛物线的对称性可知,点与点关于抛物线的对称轴直线 对称, 则当点为直线与直线的交点时, 的值最小. 设直线的函数解析式为 , 直线过点, , 解得 直线的函数解析式为 . 当时, , 点的坐标为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 37 （3）若点为线段上一动点,过点作轴的平行线,与抛物线交于点 ,当 线段的长度最大时,求点 的坐标. 解：由（2）可知,直线的函数解析式为 . 设,其中 , 则 , . , , 当时,有最大值 , 此时点的坐标为, . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 38 （4）若点是对称轴上的一动点,当的周长最小时,求点 的坐标. 解：的周长为,为定值, 当 取得最小值 时, 的周长取得最小值. 由抛物线的对称性可知,点与点关于直线对称,设交直线 于 点,则此时 的值最小. 直线的解析式为 . 当时, , 点的坐标为 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 39 （5）在第四象限的抛物线上有一点,求四边形 的面积的最大值及此 时点 的坐标. 解：如答图,连接,, . 第8题答图 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 40 点 在第四象限的抛物线上, 可设 , , 故当时,四边形的面积最大,最大值为,此时点的坐标为 , . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 （6）连接,若点为直线下方抛物线上一动点,过点作的平行线 ,交 线段于点,在直线上是否存在点,使得以,,, 为顶点的四边形为菱 形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 42 解：存在. 设,其中 . , , , , . , 当时,以,,, 为顶点的四边形为平行四边形. 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 43 ①当时,平行四边形 为菱形, , 解得（舍去）或 . , ； ②当时,平行四边形 为菱形, ,解得或 （舍去）, , . 综上所述,点的坐标为或 . 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 44 03 自主选练 45 见配套《自主选练本》 第13讲 二次函数及其应用 返回目录 46 47 $$