09 第一部分 数与代数-第二单元 方程（组）与不等式（组）-第8讲 一元二次方程及其应用-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义PPT

第8讲 一元二次方程及其应用 中考突破•数学 1 01 02 03 教材整合·梳理考点 真题再现·聚焦考向 自主选练 2 01 教材整合·梳理考点 3 1 一元二次方程的概念及一般形式 概念 等号两边都是整式，只含有①____个未知数，并且未知数的 最高次数是②___的方程. 一般 形式 ______________________________________________________________ 一 2 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 4 根据一元二次方程的定义求字母系数的取值范围时，要注意二次项系 数不为0的隐含条件. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 5 2 一元二次方程的解法 直接开 平方法 适应范围：（1）当方程缺少一次项时，即方程 ；（2）形如 的 方程. 配 方 法 适应 范围 适用所有一元二次方程，当二次项系数化为1，一次项系数为偶 数时，配方法较简单. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 6 配 方 法 步骤 方法 化二次项系数为1； （2）在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减 去这个数； （3）把方程整理成 的形式； （4）运用直接开平方法求解. 方法 化二次项系数为1； （2）把常数项移到方程的另一边； （3）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成 的形式； （5）运用直接开平方法求解. 续表 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 7 公 式 法 求根 公式 对于一元二次方程，当 时，它的根是 ③_ __________. 步骤 （1）把方程化成一般形式，确定，， 的值； （2）求出 的值； （3）若，则利用求根公式求出， 的值；若 ，则此方程无实数根. 因式分 解法 适应范围：（1）方程缺少常数项，即形如 的方程； （2）方程右边化为0，左边可化为两个一次因式的积的方程. 续表 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 8 （1）应用公式法时，一定要将原方程先化成一般形式； （2）如对于一元二次方程 ，不能两边同时除以 （因不知是不是等于0），否则会漏解（会把 漏掉）. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 9 3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 根的判别 式 关于的一元二次方程 根的判别式为④ _________. 判别式与 根的关系 （1） 方程⑤______________的实数根； 方程⑥____________的实数根； 方程⑦______实数根. 根与系数 的关系 若一元二次方程的两根分别是 ， ，则⑧_ ___， ⑨__. 有两个不相等 有两个相等 没有 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 10 （1）利用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加 上二次项系数不为0这个限制条件. （2）利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式要满足 . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 11 4 一元二次方程的应用 基 本 步 骤 审、设、列、解、验、答. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 12 常 见 类 型 （1）增长（降低）率问题、传播问题： 设为基础量，为结果量，为增长率（或降低率）， 为增长或降低 的次数，则有 .初中阶段，涉及的问题通常增长或降低两 次，因此 ，即⑩______________. 传播问题与变化率问题类似，若开始数量为，每轮感染的数量为 ， 经 2轮传染后的数量为，则有 ，即 . 续表 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 13 常 见 类 型 （2）面积问题： 如图①， ⑪________________； 如图②、图③、图④， ⑫______________. 常 见 类 型 ____________________________________________________________ 续表 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 14 常 见 类 型 （3）利润问题（“每每”型）： 常用公式：利润售价-成本，总利润 每件利润×销售量. “每每型”问题中，单价每涨元，少卖件.若涨价 元，则少卖的数量为 件. （4）握手（单循环赛）与送礼物问题： （ⅰ）若人中每两人之间握手一次（ 队每两队之间比赛一场），握手 总次数为（总比赛场数为 ），则⑬_ __________； （ⅱ）若全班有人，每人向其他人送一份礼物，共送 份礼物，则 . 续表 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 15 02 真题再现·聚焦考向 16 1 一元二次方程的相关概念及解法 例1（1）[2024深圳] 关于的一元二次方程 的一个解为 ,则 ___. 2 （2）[2023无锡] 解方程： . 解：，， ， ， ， ， . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 17 （3）[2024安徽] 解方程： . 解： , , , , . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 18 对于形如 的一元二次方程，我们可以直接将方 程变形为，然后解， ，即得方程的解 为，.例如：例1中第（3）问的方程 ，用此法解 较简单. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 19 1.[2024贵州] 一元二次方程 的解是( ) B A., B., C., D., 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 20 2.先化简，再求值:，其中 的值是方程 的根. 解：原式 . 解方程,得， . 且 ， 且， ， 原式 . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 21 2 一元二次方程根的判别式 例2（1）[2024自贡] 关于的方程 根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 [解析] 关于的方程中,,, , , 方程有两个不相等的实数根.故选A. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 22 （2）[2024广安] 若关于的一元二次方程 有两个不 相等的实数根,则 的取值范围是( ) A A.且 B. C.且 D. [解析] 关于的一元二次方程 有两个不相等的实 数根,解得且 .故选A. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 23 根的判别式的两种常见应用：（1）不解方程，直接判断一元二次方程 根的情况，如第（1）题.（2）根据根的情况，确定某个未知系数的值 （或取值范围），如第（2）题.对于这类题目，一定要注意隐含条件，比如 二次项系数不为0. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 24 3.[2022郴州] 一元二次方程 根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.[2024湖南] 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数 根,则 的值为___. 5.[2024云南] 若一元二次方程无实数根,则实数 的取值范围 是______. 2 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 25 6.[2024广州] 已知关于的方程 有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 解：由题意，得 , 解得 . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 26 （2）化简： . 解： , , . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 27 3 一元二次方程根与系数的关系 例3 [2024遂宁] 已知关于的一元二次方程 . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 28 （1）求证：无论 取何值,方程都有两个不相等的实数根； 解：,, , . , . 无论 取何值,方程都有两个不相等的实数根. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 29 （2）如果方程的两个实数根为,,且,求 的值. 解： 方程的两个实数根为, , , . , 即 , . 整理,得 . . 解得, . 的值为 或1. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 30 利用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有： ; ; ; ; 等.值得注意的是，利用根 与系数的关系解题，要注意 这个条件. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 31 7.[2024眉山] 已知方程的两根分别为,,则 的值为__. 8.[2023怀化] 已知关于的一元二次方程的一个根为 ， 则 的值为____，另一个根为___. 9.[2023岳阳] 已知关于的一元二次方程 有两个 不相等的实数根,，且，则实数 ___. 2 3 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 32 4 一元二次方程的应用 例4 [2023郴州] 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游 客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人. （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 . 由题意,得 ， 解得， （不合题意,舍去）. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 . 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 33 （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月 的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月 份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 解：设5月份后10天日均接待游客人数是 万人. 由题意,得 ， 解得 . 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 34 对于平均增长（降低）率问题，应用公式 可直接列方程， 其中为增长（降低）前的基础数量，为增长（降低）率， 为增长（降低） 后的数量.解决这类问题，还要注意两点：一是设增长（降低）率为 ，而不 设为 ，这样能简化计算；二是要注意根据具体问题的实际意义检验结果 的合理性. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 35 10.[2024云南] 两年前生产 甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步, 现在生产甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为 ,根 据题意,下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 36 11.[2024通辽] 如图,小程的爸爸用一段 长 的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩 形鸭舍,其面积为 ,在鸭舍侧面中间位置留 一个宽的门（由其他材料制成）,则 的长 为( ) C A.或 B.或 C. D. [解析] 设的长为,则的长为 . 由题意,得 , 解得或 （不合题意，舍去）. 故的长为 .故选C. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 37 12.已知关于的方程 ，请解答下列问题： （1）_________________________，______， _______. （或） （2）①求证:无论 取何值，该方程总有实数根； 证明:由（1）得 ， 无论 取何值，该方程总有实数根. ②当 取何值时，该方程有两个相等的实数根? 解：当时， ，此时该方程有两个相等的实数根. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 38 （3）当时，若是此方程的一个根，则 _______;若 ，则另一个根为___. 2 025 2 [解析] 当时，该方程为，即 ， ，.当 时，另一个根为2. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 39 （4）若等腰的一边长，另两边长， 恰好是该方程的两根， 求 的周长. 解：①当，为等腰的两腰长时，，则， ， 解得 . 此时原方程为 ， ，即 . 此时 的三边长分别为3，2，2，能构成三角形， 此时的周长为 ； 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 40 ②当为等腰的腰长时，设 ，代入方程，得 ， ， 此时原方程为 ， ， ， 此时 的三边长分别为3，3，2，能构成三角形， 此时的周长为 . 综上所述， 的周长为7或8. 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 03 自主选练 42 见配套《自主选练本》 第8讲 一元二次方程及其应用 返回目录 43 44 $$