07 第一部分 数与代数-第二单元 方程（组）与不等式（组）-第6讲 一次方程（组）及其应用-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义PPT

第6讲 一次方程（组）及其应用 中考突破•数学 1 01 02 03 教材整合·梳理考点 真题再现·聚焦考向 自主选练 2 01 教材整合·梳理考点 3 1 等式的性质及方程的相关概念 等式的性质 性质1：如果，那么 ①______; 性质2：如果，那么 ②____; 如果，，那么 ③_ _. 方程 含有未知数的④______. 方程 的解 使方程左右两边的值⑤______的未知数的值. 解方程 求方程的解的过程. 等式 相等 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 4 2 一元一次方程 概念 只含有⑥____个未知数，并且未知数的次数是⑦___的整式方程. 解法 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1. 一 1 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 5 （1）去分母时不要漏乘不含分母的项； （2）括号前是负号，去括号时括号内每一项都要变号； （3）移项要变号； （4）将系数化为1时容易出错，如由，错误地得出 （即分子、分母颠倒了）. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 6 3 二元一次方程（组）及其解法 相关 概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ⑧___的方程; 二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的 次数都是⑨___，并且一共有两个方程; 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数 的值; 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解. 1 1 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 7 基本 思想 二元一次方程组 一元一次方程 解法 代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或者方程组中某个未 知数的系数为1或 时，用代入消元法比较简便; 加减消元法：当两个方程中某个未知数的系数相同、互为相反数或 成整数倍数关系时，用加减消元法比较简便. 续表 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 8 4 一次方程（组）的应用 常见题型 数量关系 购买问题 总价 单价×数量 甲单价×甲数量乙单价×乙数量 总价 甲数量乙数量 总数量 销售问题 ①利润 售价-进价（成本价） ②利润率 ③售价标价×折扣（打八折,即标价 ） ④销售额 销售单价×销量 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 9 常见题型 数量关系 工程问题 工作总量 工作效率×⑩__________ 行程问题 路程 速度×时间 储蓄问题 ①利息 本金×利率×期数 ②本息和本金利息本金 （1+利率×期数） 等积问题 （1）等面积问题：平面图形变形前后面积不变； （2）等体积问题：立体图形变形前后体积（容积）不变. 工作时间 续表 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 10 02 真题再现·聚焦考向 11 1 一次方程（组）的解法 例1 解方程： . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 12 去分母时，要注意方程的左、右两边的每一项都要乘最简公分母；去 括号时，要注意去括号法则的正确运用；移项时要注意改变符号. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 13 1.设,, 是实数,下列说法正确的是( ) B A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2.[2024新疆] 解方程： . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 14 例2 [2024浙江] 解方程组： 解：方法 ,得 . 解得 . 把代入①,得 . 解得 . 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 15 方程组的解是 方法 由①,得 .③ 把③代入②,得 ， 解得 . 把代入③,得 . 方程组的解是 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 解二元一次方程组时，要根据未知数的系数灵活选用解法，一般地， 若某个未知数的系数相同、相反或有倍数关系，常选用加减法；若某个未 知数的系数是1或 ，常选用代入法. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 17 3.[2024广西] 解方程组： 解： ,得,解得 . ,得,解得 . 方程组的解为 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 18 4.[2024苏州] 解方程组： 解： ,得,即 . 将代入①,得,解得 , 方程组的解为 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 19 2 一次方程（组）的应用 例3 [2022张家界] 中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后,张家界 到怀化的运行时间由原来的缩短至,运行里程缩短了 .已知高铁 的平均速度比普通列车的平均速度快 ,求高铁的平均速度. 解:设高铁的平均速度为,则普通列车的平均速度为 . 由题意,得 . 解得 . 答:高铁的平均速度为 . 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 20 对于行程问题，要注意根据“路程 速度×时间”及其变形列方程. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 21 5.【数学文化】[2024盐城] 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的 “绳索量竿”问题,大意是：现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比 竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有 多长？该问题中的竿子长为____尺. 15 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 22 6.[2023北京] 对联是中华传统文化的瑰宝，如图所示， 对联装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、 右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的 比是 ，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长 的和的.某人要装裱一副对联，对联的长为 ， 宽为 .若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍， 求边的宽和天头长. （书法作品选自《启功法书》） 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 23 解：设天头长为，地头长为，则左、右边的宽为 . 由题意，得 ， 解得 . . 答：边的宽为，天头长为 . 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 24 7.[2024江西] 如图,书架宽 ,在该书架上按图示方式摆 放数学书和语文书,已知每本数学书厚 ,每本语文书厚 . （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架,求书架上数学书和语文书各有 多少本； 解：设书架上数学书有本,则语文书有 本. 由题意,得 , 解得 . . 答：书架上数学书有60本,语文书有30本. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 25 （2）如果书架上已摆放10本语文书,那么数学书最多还可以摆多少本？ 解：设数学书还可以摆 本. 由题意，得 , 解得 . 答：数学书最多还可以摆90本. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 26 例4 [2024安徽] 乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村有部分 返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植, 两种农作物.种植这两种农作 物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需 投入资金/万元 A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共 60万元,问, 这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 27 解：设种农作物的种植面积是公顷,种农作物的种植面积是 公顷. 由题意,得 解得 答：种农作物的种植面积是3公顷, 种农作物的种植面积是4公顷. 当题目中要求两个未知数，且有两个独立的等量关系时，通常可列二 元一次方程组求解. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 28 8.【数学文化】[2024湖北] 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2 只共值10金,牛2头和羊5只共值8金,问牛和羊各值多少金？设每头牛值 金,每 只羊值 金,可列方程组为 ( ) A A. B. C. D. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 29 9.[2024吉林] 钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有 88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数. 解：设白色琴键的个数为,黑色琴键的个数为 . 由题意,得 解得 答：白色琴键的个数为52个,黑色琴键的个数为36个. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 30 10.已知关于的方程 . （1）若 ,则方程的解是______. （2）若是方程的解,则 ____. （3）若该方程的解与方程的解相同,则 ___. 30 （4）某同学在解该方程时,误将看成了,得到方程的解为,求 的值. 解：由题意,得是方程的解, , 解得 . 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 31 （5）若该方程有正整数解,求整数 的最小值. 解：去分母,得 , 整理,得, . 该方程有正整数解, 必须能被7整除. 又为整数, 的最小值为7, 的最小值为6. 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 32 03 自主选练 33 见配套《自主选练本》 第6讲 一次方程（组）及其应用 返回目录 34 35 $$