2025年数学中考一轮备考精选 （人教版）考点27概率讲义

考点27概率 【考点导引】 1.能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件． 2．能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率． 3．能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率. 【难点突破】 1. 一般地，如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为． 2. 求概率的常用方法：①列表法：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.当有两个元素时，可以用列表法列举，也可用树形图列举.当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．②树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．需要两步以上完成，一般可用树状图列举出所有可能情况． 【解题策略】 列表法与树状图法： 列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果，在很多问题中，二者是共通的； 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法； 当一次试验要涉及三个或更多个因素时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法． 真题演练 一、单选题 1．（甘肃兰州·中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品．现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是（ ） A． B． C． D． 3．（广东·东莞市东莞中学初中部二模）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（福建省漳州第一中学九年级期中）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（ ） A． B． C． D． 5．（山东日照·中考真题）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于，则它是正五边形，其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（内蒙古赛罕·二模）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现在20岁的动物活到25岁的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（全国·九年级单元测试）从，，0，﹣2，π，这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 __． 8．（江苏·高港实验学校二模）某班从三名男生（含小强）和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选1名，若男生小强参加是_____事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 9．（全国·九年级单元测试）不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是_______． 10．（福建·厦门市松柏中学二模）两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数相等的概率为______． 11．（江苏·泰州中学附属初中三模）有五张不透明的卡片除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则抽到写着无理数的卡片的概率为_________． 三、解答题 12．（吉林·长春市第八十七中学九年级阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 1500 “射中九环以上”的频数 15 49 71 137 264 534 666 1001 “射中九环以上”的频率 0.750 0.613 0.710 0.685 0.660 0.668 0.666 0.667 （1）根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为 　 　．（结果保留两位小数） （2）小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率． 13．（四川内江·中考真题）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 14．（山东阳信·九年级期中）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°． 请根据以上信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图． （2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人． （3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点27概率 【考点导引】 1.能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件． 2．能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率． 3．能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率. 【难点突破】 1. 一般地，如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为． 2. 求概率的常用方法：①列表法：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.当有两个元素时，可以用列表法列举，也可用树形图列举.当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．②树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．需要两步以上完成，一般可用树状图列举出所有可能情况． 【解题策略】 列表法与树状图法： 列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果，在很多问题中，二者是共通的； 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法； 当一次试验要涉及三个或更多个因素时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法． 真题演练 一、单选题 1．（甘肃兰州·中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】 解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的小正方体， 在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个， 可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果， 满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果， 所以所求概率为． 故选：B． 2．（黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品．现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：∵在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品， ∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是：． 故选：D． 3．（广东·东莞市东莞中学初中部二模）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】 解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个， ∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为＝， 故选B． 4．（福建省漳州第一中学九年级期中）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示,列树形图表示所有等可能性，根据概率公式即可求解． 【详解】 解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示，根据题意列树形图得 由树形图得共有30种等可能性，其中两部专著恰好是A、B即《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的有两种等可能性， ∴所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为． 故选：C 5．（山东日照·中考真题）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于，则它是正五边形，其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题； ②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题； ②天气预报说明天的降水概率是，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题； ④若一个多边形的各内角都等于，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题； 真命题有1个， 故选：B． 6．（内蒙古赛罕·二模）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现在20岁的动物活到25岁的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设出生时动物数量为a，用活到25岁的数量除活到20岁的数量即可得出20岁的动物活到25岁的概率． 【详解】 设出生时动物数量为a，则活到20岁的数量为，活到25岁的数量为， ∴现年20岁的这种动物活到25岁的概率是． 故选：C 二、填空题 7．（全国·九年级单元测试）从，，0，﹣2，π，这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 __． 【答案】 【分析】 直接利用概率公式计算得出答案． 【详解】 解：从，0，﹣2，π这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，π这2种可能， ∴抽到的无理数的概率是， 故答案为：． 8．（江苏·高港实验学校二模）某班从三名男生（含小强）和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选1名，若男生小强参加是_____事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 【答案】必然 【分析】 根据男生和女生人数判断即可； 【详解】 选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，如果规定女生选1名，则3名男生都要参加比赛，则小强参加是必然事件； 故答案是必然． 9．（全国·九年级单元测试）不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是_______． 【答案】 【分析】 根据等可能事件的概率公式，直接求解即可． 【详解】 解：∵一共有5个数字，偶数有2个， ∴从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是=2÷5=， 故答案是：． 10．（福建·厦门市松柏中学二模）两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数相等的概率为______． 【答案】 【分析】 画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数相等的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两数相等的结果数为3， ∴两人所写的两个数相等的概率． 故答案为：． 11．（江苏·泰州中学附属初中三模）有五张不透明的卡片除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则抽到写着无理数的卡片的概率为_________． 【答案】 【分析】 根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”，找出无理数的个数，根据概率公式计算即可． 【详解】 依题意，是有理数，无理数只有，1个，共计5张卡片，则抽到写着无理数的卡片的概率为， 故答案为： 三、解答题 12．（吉林·长春市第八十七中学九年级阶段练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 1500 “射中九环以上”的频数 15 49 71 137 264 534 666 1001 “射中九环以上”的频率 0.750 0.613 0.710 0.685 0.660 0.668 0.666 0.667 （1）根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为 　 　．（结果保留两位小数） （2）小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值，选取射击次数较多的几次求均值； （2）利用列表法列出所有可能的情况，找出满足条件的次数，利用概率公式求解． 【详解】 解：（1）“射中九环以上”的概率约为 ， 故答案是：． （2）列表如下 第一次/第二次 中 中 未中 中 中/中 中/中 中/未中 中 中/中 中/中 中/未中 未中 未中/中 未中/中 未中/未中 由图可知，总的情况数是种，满足两次抽取的卡片上都写有“中”的有种，由概率公式： ∴（两次抽取的卡片上都写有“中”）． 13．（四川内江·中考真题）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4） 【分析】 （1）根据动画类人数及其百分比求得总人数； （2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题； （4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：（1）这次被调查的学生人数为（名； （2）喜爱“体育”的人数为（名， 补全图形如下： （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名； （4）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 14．（山东阳信·九年级期中）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°． 请根据以上信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图． （2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人． （3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率． 【答案】（1）见解析；（2），42.5万人；（3） 【分析】 （1）先求出被调查的总人数，再求出骑自行车、电动车的人数和“其他”人数，即可求解； （2）先求出绿色出行在所有交通方式中的频率，再用50万乘以绿色出行在所有交通方式中的频率，即可求解； （3）先根据题意，画出树状图，得到共有20种等可能的情况，其中是1男1女的情况有12种，即可求解． 【详解】 解：（1）被调查的总人数为： （人）， 则骑自行车、电动车的人数为：（人）， “其他”人数为（人） 补全条形统计图如图： （2）绿色出行在所有交通方式中的频率为， 估计50万人口的城市中选择绿色出行的共有（万人）． （3）易知选择“其他”交通方式的有两名女性，三名男性，面树状图如下： 由树状图可知共有20种等可能的情况，其中是1男1女的情况有12种， ∴恰好选到1男1女的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$