专题二 分类讨论题(6年6考)(PPT课件)-【追击中考】2025年中考数学（江西专用）

分类讨论题 专题二 江西2024版 （6年6考） 目 录 类型1 预测卷 类型2 类型3 类型4 题组本 3 点的位置不确定的分类讨论情形: 1.点在三角形或四边形中位置的分类讨论:①点在边上(分别在三角形的三条边上，四边形的四条边上讨论);②点在对角线上(四边形有两条对角线，要分两种情况讨论). 类型1 点的位置不确定(2024题12，2020题12，2019题12) 点击返回目录页 4 2.四点中三点共线分四种情况讨论:如A，B，C，D四点中有三点共线，则分A，B，C三点共线;A，B，D三点共线;A，C，D三点共线;B，C，D三点共线. 3.图形折叠后点的位置的分类讨论:①点在原图形的内部;②点在原图形的边上;③点在原图形的外部. 4.点在坐标轴上的分类讨论:①点在x轴正半轴上;②点在x轴负半轴上;③点在y轴正半轴上;④点在y轴负半轴上. 点击返回目录页 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，E为AD上的一个点，AE＝3.若F为矩形ABCD边上的一个点，连接EF，且EF＝5，则BF的长为________.  点击返回目录页 【解题指导】根据题意，得DE＝4，故点F不在 AD上.如图，当点F在AB上，即为F1时，在 Rt△AEF1中，由勾股定理可得AF1的长，从而求 出BF1的长;当点F在BC上，即为F2时，易证四边 形ABF2E为矩形，即可得出结果;当点F在CD上，即为F3时，在Rt△DEF3中，由勾股定理可得DF3的长，再在Rt△BCF3中，由勾股定理可得结果. 【规范解答】1或3或 点击返回目录页 1.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3.P为射线AB上的一 个点，且△BCP的三边之比为1∶2∶，则AP的长为___________.  或10 2.(2024新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A ＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重 合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为__________.  6或12 点击返回目录页 3.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D是BC的中点，P是AB边上的一个点.当四边形ACDP有一组邻边相等时，AP的长是 ____________.  4.在△ABC中，∠A＝∠B＝30°，BC＝6，点P在三角形的边上.若 BP＝2CP，则CP的长为__________________.  2或1或 2或2 点击返回目录页 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，P为x 轴上的一个动点.若BP与∠ABC的两边所组成的角的度数之比为1∶3， 则点P的坐标为___________________________________(参考数据: tan22.5°＝－1).  (4－2，0)或(4，0) 点击返回目录页 6.如图，△ABO是等边三角形，顶点O与坐标原点重合，OA＝6， ☉O的半径是2.若圆上的点P到△ABO的边的中点的距离是， 则点P的坐标是___________________________________.  (3，) 点击返回目录页 7.(2024绥化)在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm.点E在直线AD上，且DE＝2 cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是________ ______________cm. 点击返回目录页 当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下:①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，定长为半径长画弧，若所画弧与直线有交点且交点不是定长的另一端点，则交点即为所求的点，否则满足条件的点不存在;②当定长为底边，找已知直线上满足条件的点时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与直线有交点，则交点即为所求的点，否则满足条件的点不存在. 类型2 等腰三角形的腰和底不确定(2022题12)  点击返回目录页 13 如图所示的是一张矩形纸片ABCD.已知AB＝8，AD＝7，E为AB上的一个点，AE＝5.现要剪下一张等腰三角形纸片AEP，点P在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________.  点击返回目录页 【解题指导】本题中由于等腰三角形AEP的顶角不确定，故需分三种情况进行讨论:①当PA＝PE时，点P在CD边上，AE即为等腰三角形AEP的底边;②当AP＝AE＝5时，△AEP是等腰直角三角形，此时点P在AD边上，由勾股定理求出底边PE的长度即可;③当EP＝AE＝5时，点P在BC边上，由题意可知BE的长度，可用勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP的长度即可. 【规范解答】5或5或4 点击返回目录页 8.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在△ABC的边 上，连接AD.若△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的顶角的度 数为_______________________.  100°或40°或110° 点击返回目录页 9.如图，已知点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点B在x轴正半轴上.若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为___________ __________.  5或2 点击返回目录页 10.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，P为斜边AB上的一个点.若△PAC 为等腰三角形，则AP的长为___________.  11.在Rt△ABC中，AB＝AC＝2.以AC为边在Rt△ABC外部作等腰直角 三角形ACD，则BD的长为___________________.  3或 4或2 点击返回目录页 12.(2024吉安青原区期末)如图，Rt△ABC中，∠A＝20°，∠BCA＝90°，点P在AB上，过点P作PM⊥AC，垂足为M.当△BCP为等腰三角形时，∠CPM的度数为___________________.  40°或70°或55° 点击返回目录页 13.(2024瑞昌一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，AB＝2，∠ABC＝60°，E为BC的中点，F为线段OD上一动 点.当△AEF为等腰三角形时，DF的长为____________________.  3－或3 点击返回目录页 14.(2024瑞金期中)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，点C在第一象限内.若△ABC为等腰直角三角形， 则点C的坐标为___________________________.  (1，3)或(3，2)或 点击返回目录页 直角三角形的直角不确定时需要考虑以下两方面:①从角考虑哪个顶点为直角顶点;②从边考虑哪条边为直角边，哪条边为斜边. 类型3 直角三角形的直角不确定(2023题12) 点击返回目录页 22 如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)得到AP，连接PC，PD.当△PCD是直角三角形时，旋转角α的度数为________.  点击返回目录页 【解题指导】如图，连接AC，取BC的中 点E，连接AE，易证△ABE是等边三角形， 进而可得∠ACD＝90°.由题意可知，点P在 以点A为圆心，AB长为半径的圆上.当点P在 对角线AC上，即为P1时，△P1CD是以C为直角顶点的直角三角形，此时旋转角α的度数为∠BAC的度数;当点P在CA的延长线上，即为 P2时，△P2CD是以C为直角顶点的直角三角形，此时旋转角α的度数 点击返回目录页 为360°－∠BAP2;当点P在BA的延长线上，即为P3时，易证四边形P3ACD是矩形，△P3CD是以D为直角顶点的直角三角形，此时旋转角α为平角;取CD的中点G，以点G为圆心，CD长为直径作☉G，连接AG，根据勾股定理，得AG＝CD＞CD，∴☉A与☉G相离，∴∠DPC＜90°. 【规范解答】90°或270°或180° 点击返回目录页 15.在菱形ABCD中，AB＝5，cos∠ABC＝，AE⊥CD，垂足为E，点 P在对角线BD上.当△APE为直角三角形时，其斜边长为____________.  5或4或 点击返回目录页 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，P为斜边AB上的一个动点(点P不与点A，B重合).过点P分别作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ.当 △APQ为直角三角形时，AP的长为____________.  3或2 点击返回目录页 17.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ACB的 平分线与AB相交于点P，等腰直角三角形DEF的顶点D在射线CP上， 且EF∥AB，连接PE，PF.将△DEF沿CP方向平移，当△PEF为直 角三角形时，∠DPF的度数为____________________.  0°或45°或15° 点击返回目录页 18.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝14，E是AB上的一个点， 且AE＝2，F是AD的中点，P是矩形ABCD的边上任意一点.当△PEF 为直角三角形时，PE的长为_________________.  2或8或8 点击返回目录页 19.(2024上饶玉山一模)在菱形ABCD中，∠ABC＝30°，AC⊥BD， 点E在对角线BD上，∠AED＝45°，P是菱形边上一点.若△AEP是 以AE为直角边的直角三角形，则tan∠APE的值为_______________.  1或 点击返回目录页 20.(2024鹰潭一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，E， F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C 点.当△PEF为直角三角形时，PB的长度为_________________.  3或 点击返回目录页 若等边三角形一个顶点确定，则根据另两个顶点在不同直线位置上分类讨论;若等边三角形一边确定，则根据另一个顶点的不同位置分类讨论;若多边形一边确定，则根据多边形不同位置分类讨论. 类型4 特殊多边形(含三角形)的位置不确定(2021题12) 点击返回目录页 32 如下图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中M，N分别为BE和CF上的动点.若以M，N，D为顶点的三角形为等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为________.  点击返回目录页 【解题指导】设BE，CF交于点O.由题意可知， 可分两种情况讨论:①若点M位于OB(不含点O)上， 连接BD，DF，BF.由正六边形的性质可得BD＝ DF＝BF，则△BDF为等边三角形.易得BD＝ 2CD·cos∠CDB＝2CD·cos30°＝18，∴当点M与点B重合、点N与点F重合时，满足题意，此时等边三角形的边长为18.当点M位于OB(不含点O)上，且与点B不重合时，易知∠MDN＜∠BDF，即∠MDN＜60°，∴此时不存在△MND为等边三角形的情况; 点击返回目录页 ②若点M位于线段OE上，当△MND为等边三角 形时，∠MDN＝60°.如图，作射线DP交线段 CO于点G，将射线DP绕点D顺时针旋转60°， 得到射线DQ，交线段OE于点H，连接GH.当DP 经过点C或点O时，易证△HGD为等边三角形.当 DP不与点O，C重合时，连接OD，易知∠HOD＝∠GCD＝60°.∵∠CDO－∠GDO＝∠GDH－∠GDO，∴∠CDG＝∠ODH. 点击返回目录页 又∵CD＝OD，∴△CDG≌△ODH，∴DG＝DH，∴△HGD为等边三角形.当△MND与△HGD重合时，△MND为等边三角形.易知当DG⊥OC时，△HGD的边长最小，为6×＝9;当点G与点C或点O重合时，△HGD的边长最大，为6. 【规范解答】9或10或18 点击返回目录页 21.以A，B，C，D为顶点的菱形中，AB的长为3，∠ABD＝30°， 则该菱形的面积为_________________.  点击返回目录页 22.定义:有一组邻边相等，并且它们的夹角是 直角的凸四边形叫做“等腰直角四边形”.如图， 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，P是对角线 AC上的一个点，且AP∶PC＝2∶3.过点P作直线 分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFP是“等腰直角四边 形”，则AE的长是________________.  2或3.6或5.2 点击返回目录页 23.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上， tan∠ADB＝，以AD为边作正方形ADEF，连接BE.若AB＝3， 则线段BE的长为_____________.  24.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把 △ABC分割成两个三角形.若其中只有一个是等腰三角形，则这个等 腰三角形的面积是___________________.  2 3.6或4.32或4.8 点击返回目录页 25.(2024江西样卷一)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为 BC边上一点，BE＝3，点P沿着边按B→A→D的路线运动.在运动过 程中，若△PAE中有一个角为45°，则PE的长为_________________.  点击返回目录页 $$