第25课时 圆的有关性质(练习)(PPT课件)-【追击中考】2025年中考数学（江西专用）

圆 第六单元　 江西2025版 第25课时　圆的有关性质 1 2 目 录 基础夯实 难点突破 考点扫描 3 考点扫描 与圆有关的概念及圆的性质(6年1考) 圆的 有关 概念 (2023 题6) 圆的 定义 动态法 在同一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆 静态法 圆是到定点的距离①_______定长的所有点组成的图形  等于 点击返回目录页 4 圆的 有关 概念 (2023 题6) 弦 连接圆上任意两点的②_______叫做弦  劣(优) 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，其中小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧 圆心角 顶点在③_______，并且角的两边都与圆相交的角  圆周角 顶点在④_______，并且角的两边都与圆相交的角  线段 圆心 圆上 点击返回目录页 性 质 轴对称 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条⑤_______所在的直线  中心 对称 圆是中心对称图形，具有旋转不变性，对称中心是⑥_______ 等弧不是弧长相等的弧， 而是能够完全重合的弧 直径 圆心 点击返回目录页 1.(2024南昌期末)如图，线段AC过圆心O，交☉O于B，C两点，线段AE交☉O于D，E两点，且AD＝OB，∠A＝30°，则∠EOC的度数是__________.  90° 点击返回目录页 圆周角定理与推论及弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系(6年3考) 圆周角定 理与推论 〔2022题19(1)， 2021题21， 2019题15〕 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑦ _______ 推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是⑧_______ 一半 直径  点击返回目录页 8 弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系 定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论:在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的圆周角相等 由于一条弦(直径除外)所对的弧有优弧、劣弧之分，因此，所对的圆周角也有两种情况:①优弧所对的圆周角是钝角;②劣弧所对的圆周角是锐角.这一组圆周角互补，一条弧只对应一个圆心角，却对应无数个圆周角 点击返回目录页 2.(2024宜春期末)如图，在☉O中，∠CBD＝15°， ∠BAC＝20°，则∠BDO＝(　　) A.70° B.55° C.45° D.35° B 点击返回目录页 3.(人教九上教材第89页题3变式)如图，在☉O中，，连接 OB，OC.若∠ACB＝75°，则∠BOC的度数为__________.  60° 点击返回目录页 垂径定理及其推论(6年1考) 垂径定理 (2024题12) 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的⑨ _________ 推论 平分弦(不是直径)的直径⑩_________于弦，并且 ⑪_______这条弦所对的两条弧  (1)在使用垂径定理的推论时注意“弦非直径”这一条件.因为所有的直径都互相平分，但互相平分的直径不一定垂直;(2)由弦心距、半径、弦的一半构成的直角三角形，常用于求未知线段或角.为了构造这个直角三角形，常作半径或弦心距，利用勾股定理求未知线段的长 两条弧 垂直 平分 点击返回目录页 12 4.如图，AB是☉O的直径，OD垂直弦AC于点D， DO的延长线交☉O于点E.若AC＝4，DE＝4， 则BC的长是(　　) A.1 B. C.2 D.4 C 点击返回目录页 5.把半径为5 cm的球放在长方体纸盒内，球的 一部分露出盒外，其截面如图所示.若CD＝ 8 cm，则EF的长为(　　) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm D 点击返回目录页 圆内接四边形 定 义 如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做这个圆的⑫_______四边形，这个圆叫做这个四边形的⑬_______圆  性 质 圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角 内接 外接 点击返回目录页 15 6.(北师九下教材第84页题3变式)如图，圆内接 四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于 点E，F.若∠A＝58°，∠E＝30°，则∠F的 度数为(　　) A.30° B.32° C.34° D.58° C 点击返回目录页 7.(2024高安期末)如图，四边形ABCD内接于 ☉O，且AB为直径，∠ADC＝120°.若AC＝ 3，则☉O的直径等于(　　) A.6 B. C.2 D.5 C 点击返回目录页 如右图，AB，CD是☉O的直径，弦 BE⊥CD，垂足为F，点G在CD上，且CG＝AE. (1)求证:AG＝BC; 难点突破 圆周角定理及推论 (1)连接EC，可证四边形 AGCE是平行四边形，可得EC＝AG，又由EC ＝BC，可证AG＝BC. 点击返回目录页 18 证明:(1)如图，连接CE. ∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°. ∵BE⊥CD，CD是☉O的直径， ∴∠OFB＝∠AEB＝90°，， ∴AE∥CG，EC＝BC. ∵CG＝AE，∴四边形AGCE是平行四边形， ∴AG＝EC，∴AG＝BC. 点击返回目录页 19 (2)若BC＝2，OG＝1，求☉O的半径. (2)设☉O的半径为r，在Rt△OBF和Rt△BCF中，可根据勾股定理列出方程求解. 解:(2)设☉O的半径为r. 由(1)可知四边形AGCE是平行四边形， ∴AE＝CG＝OC＋OG＝r＋1. ∵BE⊥CD，∴F是BE的中点. 点击返回目录页 又∵O是AB的中点，∴OF＝AE＝(r＋1)，∴CF＝OC－OF＝r－(r＋1)＝(r－1). 在Rt△OBF中，BF2＝OB2－OF2＝r2－， 在Rt△BCF中，BF2＝BC2－CF2＝(2)2－，∴r2－＝(2)2－， 解得r1＝5，r2＝－4(不符合题意，舍去)， ∴☉O的半径为5. 点击返回目录页 (2024上饶广信区期末)如右图， AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，E是CD的中 点，已知CD＝6，AE＝1. (1)求证:CD⊥AB于点E; (2)求☉O的半径. 垂径定理及推论 (1)根据垂径定理的推论，即可得证;(2)设圆的半径为r，利用勾股定理列出方程进行求解即可. 点击返回目录页 22 解:(1)证明:∵E是CD的中点，∴CE＝DE.又∵AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，∴CD⊥AB于点E. (2)如图，连接OC，OD.设圆的半径为r，则OC＝ OA＝r，OE＝OA－AE＝r－1.∵E是CD的中点， ∴CE＝CD＝3.由(1)知，CD⊥AB，∴在Rt△CEO 中，由勾股定理，得CE2＋OE2＝OC2，即32＋ (r－1)2＝r2，解得r＝5.故☉O的半径为5. 点击返回目录页 23 如图，四边形ABCD内接于 ☉O，AC是☉O的直径，，延长 AD交BC的延长线于点E. (1)求证:∠ACD＝∠ECD; (2)当AB＝8，CD＝5时，求AD的长. 圆内接四边形的性质 点击返回目录页 24 (1)根据圆内接四边形的性质得到∠BAD＋∠BCD＝180°，利用同角的补角相等得到∠BAD＝∠ECD，再根据圆周角定理的推论得到∠ACD＝∠BAD，从而得出结论;(2)根据圆周角定理的推论得到∠B＝∠ADC＝90°，再证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质得到.设DE＝5x，则BE＝8x，接着证明AD＝DE＝5x，则AB＝6x＝8，解方程，然后计算5x即可得到AD的长. 点击返回目录页 25 解:(1)证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＋∠ECD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD. ∵，∴∠ACD＝∠BAD， ∴∠ACD＝∠ECD. 点击返回目录页 (2)∵AC是☉O的直径， ∴∠B＝∠ADC＝90°， 则∠EDC＝90°＝∠B. 又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA， ∴. 设DE＝5x，则BE＝8x. ∵∠ACD＝∠ECD，CD⊥AE， 点击返回目录页 ∴∠CAE＝∠E，∴AC＝EC， ∴AD＝DE＝5x，∴AE＝10x， ∴AB＝＝6x，即6x＝8， 解得x＝， ∴AD的长为5x＝. 点击返回目录页 $$