第21课时 锐角三角函数及其应用(练习)(PPT课件)-【追击中考】2025年中考数学（江西专用）

三角形 第四单元　 江西2025版 第21课时　 锐角三角函数及其应用 1 2 目 录 基础夯实 难点突破 考点扫描 3 考点扫描 锐角三角函数(6年1考) 正弦 sinA＝   余弦 cosA＝＝①_____ 正切(2024题11) tanA＝＝②_____   点击返回目录页 4 (1)锐角三角函数是在直角三角形中定义的; (2)sinA，cosA，tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位;(3)锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关 点击返回目录页 1.(2024抚州期末)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3， 那么下列各式正确的是(　　) A.sinA＝ B.tanA＝ C.tanB＝ D.cosB＝ 2.(人教九下教材第84页题2变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°.若sinA ＝，BC＝4，则AB＝__________.  C 6 点击返回目录页 特殊角的三角函数值   30° 45° 60° sinα ③_____ cosα ④_____ tanα 1 ⑤_____ 点击返回目录页 7 3.(2024南昌西湖区模拟)计算:tan45°＋4cos30°sin45°－tan60°＝______.  点击返回目录页 1.直角三角形的边角关系(图参考考点1例图) 解直角三角形 两锐角关系 ∠A＋∠B＝90° 三边关系 a2＋b2＝c2 边角关系 sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝， tanB＝⑥_______   点击返回目录页 9 2.解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一条直角边和一个锐角(a，∠A)   ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝) 已知斜边和一个锐角(c，∠A) ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝) 点击返回目录页 已知条件 图形 解法 已知两条直角边(a，b)   c＝，由tanA＝求∠A，∠B＝90°－∠A 已知斜边和一条直角边(c，a) b＝，由sinA＝求∠A，∠B＝90°－∠A 点击返回目录页 4.(北师九下教材第120页题4变式)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠B的度数 为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° B 点击返回目录页 5.(人教九下教材第78页题2变式)如图，电线杆 CD的高度为3 m，两根拉线AC与BC互相垂直， 点A，D，B在同一条直线上，∠CAB＝α，则 拉线BC的长度为(　　) A. C.3cosα D. D 点击返回目录页 (2024题19，2023题19，2022题20，2021题20，2020题20，2019题20) 解直角三角形的实际应用(6年6考) 概念 定义 图形 方 向 角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向所成的角(一般指锐角)，通常表示成北(或南)偏东(或西)多少度，方向角的角度在0°~90°.如图，点A，B，C关于点O的方向角分别为北偏东30°，南偏东60°，北偏西45°(也称西北方向)   点击返回目录页 14 概念 定义 图形 仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑦______，视线在水平线下方的角叫⑧________   仰角 俯角 点击返回目录页 概念 定义 图形 坡度 (坡 比)、 坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示.坡面与水平面的夹角叫坡角，用字母α表示.i＝⑨_______＝    tanα 点击返回目录页 6.如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已 知细绳从悬挂点O到球心的距离为40 cm，小球在 左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74°， 那么小球在最高和最低位置时的高度差为_____cm (参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).  8 点击返回目录页 (1)如图，☉O是△ABC的外接圆，OB＝，BC＝4， 则tanA的值为_________.  难点突破 锐角三角函数 点击返回目录页 18 (2)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点 (小正方形的顶点)上，则∠O的正弦值为_________.  点击返回目录页 19 (1)如图①，连接OC，作OD⊥BC于点D.由OB＝OC，OD⊥BC，可得∠BOD＝∠BOC，BD＝BC＝2.在Rt△OBD中，OD＝＝3.根据∠A＝∠BOC，可得∠BOD＝∠A，进而求得tanA的值; 点击返回目录页 (2)如图②，过点O作OE⊥BA的延长线于点E，过点A作AC⊥OB于点C.根据勾股定理求出OA，OB的长，再利用“等面积法”求出AC的长，进而利用三角函数的定义即可求出∠O的正弦值. 点击返回目录页 命题角度1　以三角形为背景的实际应用 图①是鹤壁市玄天洞石塔，是河南省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地区保存最完整的大型青石塔.某数学社团打算运用“解直角三角形”的知识来计算石塔的高度AB，如图②，先将无人机竖直上升至30 m高的点P处，在点 P处测得石塔顶端A的俯角为25°，将无人 机沿水平方向继续飞行7.5 m到达点Q，在 点Q处测得塔底端B的俯角为45°.求石塔的 高度AB(结果保留一位小数，参考数据: ≈1.41，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91， tan25°≈0.47). 解直角三角形的应用 点击返回目录页 22 如图，延长BA交PQ的延长线于点C.根据题意可得，BC⊥PQ，PQ＝7.5 m，BC＝30 m.在Rt△BCQ中，利用锐角三角函数的定义求出CQ的长，从而求出PC的长，再在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答. 点击返回目录页 23 解:延长BA交PQ的延长线于点C，如图. 由题意，得BC⊥PQ，PQ＝7.5 m，BC＝30 m. 在Rt△BCQ中，∠CQB＝45°， ∴QC＝＝30 m， ∴PC＝PQ＋QC＝7.5＋30＝37.5(m). 在Rt△APC中，∠CPA＝25°， ∴AC＝PC·tan25°≈37.5×0.47＝17.625(m)， ∴AB＝BC－AC＝30－17.625≈12.4(m). 故石塔的高度AB约为12.4 m. 点击返回目录页 (链接江西中考2023题19) 1.某避暑基地为遮阳和防雨的游客们搭建了一种遮阳伞.如下图，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB所在直线，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制遮阳伞的 开合.已知AC＝AD＝2 m，BF＝2.5 m， CD⊥AB(结果精确到0.1 m，参考数据: sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈ 2.75，≈1.41). 点击返回目录页 (1)白天时打开遮阳伞，若∠α＝70°，求遮阳伞的宽度CD; 解:(1)在Rt△ADO中，∠OAD＝70°，AD＝2 m， ∴sin70°＝， ∴OD≈2×0.94＝1.88(m)，∴CD＝2OD≈3.8 m. 故遮阳伞的宽度CD约为3.8 m. 点击返回目录页 (2)傍晚时收拢遮阳伞，∠α从70°减少到45°，求点E下降的高度(不考虑EF的长). 解: (2)如图，过点E作EG⊥AB于点G，则四边形GEFB是矩形， ∴GE＝BF＝2.5 m. 在Rt△AEG中，tanα＝. 当∠α＝70°时，AG＝≈≈0.91(m); 当∠α＝45°时，AG＝＝2.5(m). 2.5－0.91≈1.6(m). 故点E下降的高度约为1.6 m. 点击返回目录页 命题角度2　以四边形为背景的实际应用 图①是一种自卸货车，图②、图③是该货车的抽象示意图，车厢是矩形ABCD，车厢BC长为4 m，车厢底部BC离地面1.1 m，卸货时车厢绕着点O旋转，点O距车尾的距离OB为1 m，车厢前方挡板EF长为0.5 m，EC高为2 m，EF⊥EC.当车厢绕点O旋转27°时可以完成卸货，如图③. 点击返回目录页 (1)求卸货时点C经过的路径长(结果保留π); (2)已知仓库的高度为5 m，试判断该货车在仓库内能否安全完成卸货，并说明理由(结果精确到0.1 m，参考数据:sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51). 点击返回目录页 (1)由已知可得OC＝3，根据弧长公式可计算点C经过的路径长; (2)如图，过点C作地面的垂线，垂足为N，过点O作OG⊥CN于点G，延长EF交NC的延长线于点M.解直角三角形可求出MN的长，与货车卸货高度、仓库的高度相比较，即可得出结论. 点击返回目录页 解:(1)∵BC＝4，OB＝1，∴OC＝4－1＝3. ∵当车厢绕点O旋转27°时可以完成卸货， ∴卸货时，点C经过的路径长为(m). 点击返回目录页 (2)能安全完成卸货. 理由:如图，过点C作地面的垂线，垂足为N，过点O作OG⊥CN于点G，延长EF交NC的延长线于点M. 由题意，得GN＝1.1 m，∠BCD＝90°，∠COG ＝27°，EC＝2 m，∴∠OCG＋∠ECM＝90°. ∵OG⊥CN，即∠OGC＝90°， ∴∠OCG＋∠COG＝90°，∴∠ECM＝∠COG＝27°. 点击返回目录页 在Rt△OCG中，CG＝OC·sin27°≈3×0.45＝1.35(m). 在Rt△ECM中，CM＝≈≈2.25(m)， ∴MN＝GN＋CG＋CM＝1.1＋1.35＋2.25＝4.7(m). ∵4.7＜5，MN高于货车卸货高度， ∴该货车在仓库内能安全完成卸货. 点击返回目录页 (链接江西中考2022题20) 2.红色文化 图①是中国社会主义青年团第一次全国代表大会纪念馆广场的主雕塑，将其抽象为如图②所示的平面示意图，四边形EFMN，DCKL为两个全等的平行四边形基座，基座上方承托着一面团旗.已知∠F＝70°，EF＝5.74 m，雕塑总高(点A到EN的距离)为9.9 m，基座上的团旗柱AG＝4.79 m，点E，N，L，D在同一水平线上(结果精确到0.1 m，参考数据:sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75). 点击返回目录页 (1)求平行四边形基座的高度; 解:(1)如图，过点F作FP⊥EN，交NE的延长线于点P. ∵四边形EFMN为平行四边形， ∴FM∥EN. 又∵∠EFM＝70°， ∴∠FEP＝∠EFM＝70°. 在Rt△EFP中，EF＝5.74 m，∠FEP＝70°， ∴PF＝EF·sin70°≈5.4 m. 故平行四边形基座的高度约为5.4 m. 点击返回目录页 (2)请通过计算说明团旗柱AG与斜面MN的位置关系. 解: (2)如图，过点A作AQ⊥FM于点Q. ∵雕塑总高为9.9 m，PF＝5.4 m， ∴AQ＝9.9－5.4＝4.5(m). 在Rt△AGQ中，sin∠AGQ＝≈0.94， ∴∠AGQ＝70°. ∵∠EFG＝70°＝∠AGQ，∴AG∥EF. ∵四边形EFMN为平行四边形， ∴EF∥MN，∴AG∥MN. 点击返回目录页 命题角度3　以圆为背景的实际应用 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道:“水能利物，轮乃曲成.”如下图，半径为3 m的筒车☉O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A，B，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2 m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间. 古代数学文化 点击返回目录页 (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点? (1)连接OA，求出∠AOC的度数以及旋转速度即可解决问题. 点击返回目录页 解:(1)如图，连接OA. 由题意，得筒车每秒旋转360°×÷60＝5°. 在Rt△ACO中，cos∠AOC＝， ∴∠AOC≈43°， ∴＝27.4(s). 故经过27.4 s，盛水筒P首次到达最高点. 点击返回目录页 (2)若接水槽MN所在直线是☉O的切线，且与直线AB交于点M，OM＝8 m，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上? (2)当点P在MN的延长线上时，连接OP，解直角三角形求出∠POM，∠COM，进而得到盛水筒P与最高点之间的弧所对圆心角的度数即可解决问题. 点击返回目录页 解:(2)如图，当点P在MN的延长线上时， 此时P是切点，连接OP，则OP⊥MN， 延长CO交☉O于点H. 在Rt△OPM中，cos∠POM＝， ∴∠POM≈68°. 在Rt△COM中，cos∠COM＝， ∴∠COM≈74°， ∴∠POH＝180°－∠POM－∠COM＝180°－68°－74°＝38°， ∴需要的时间为38÷5＝7.6(s). 故盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6 s恰好在直线MN上. 点击返回目录页 3.为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚.图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32 cm，∠ABC＝64°，BC＝60 cm，坐垫E与点B的距离BE为10 cm. 点击返回目录页 (1)求坐垫E到地面的距离; 解:(1)如图，过点E作EG⊥CD于点G，则∠EGC＝90°. ∵BC＝60 cm，坐垫E与点B的距离BE为10 cm， ∴CE＝70 cm. ∵∠ABC＝64°，AB∥CD， ∴∠ECD＝64°， ∴EG＝EC·sin64°≈70×0.90＝63(cm). 点击返回目录页 由题意知，CD∥l，CF⊥l，l与☉D相切，车轮半径为32 cm， ∴CF＝32 cm， ∴坐垫E到地面的距离为63＋32＝95(cm)，即坐垫E到地面的距离为95 cm. 点击返回目录页 (2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为84 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05). 点击返回目录页 解: (2)如图，延长CE至点E'，过点E'作E'G'⊥CD交CD的延长线于点G'，则∠E'G'C＝90°. ∵小明的腿长约为84 cm， ∴E'G'＝84×0.8＝67.2(cm). 由(1)知，∠ECD＝64°， ∴CE'＝≈≈74.67(cm)， ∴EE'＝CE'－CE＝74.67－70＝4.67≈4.7(cm). 点击返回目录页 46 $$