第18课时 等腰三角形与直角三角形(练习)(PPT课件)-【追击中考】2025年中考数学（江西专用）

三角形 第四单元　 江西2025版 第18课时　 等腰三角形与直角三角形 1 2 目 录 基础夯实 难点突破 考点扫描 3 考点扫描 等腰三角形的性质与判定(6年4考) 定义 有①_______条边相等的三角形叫做等腰三角形  性质 〔2023题10， 2022题12， 2021题13(2)〕 (1)等腰三角形的两腰长相等，等腰三角形的两个底角相等; (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高②__________(三线合一);  (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴 两 互相重合 点击返回目录页 4 判定 (2021题11) (1)两条边相等的三角形是等腰三角形; (2)两个角相等的三角形是等腰三角形 运用“三线合一”的性质时，一定要注意是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 点击返回目录页 1.等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是(　　) A.50° B.50°或65° C.80°或50° D.65° B 点击返回目录页 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，延长 CA至点E，使得CE＝BC.若∠C＝36°，则图中 的等腰三角形有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 点击返回目录页 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以 点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于另一点 D，连接CD.若BC＝m，BD＝n，则△ADC的周长 是(　　) A.3m＋n B.2m＋2n C.3m D.3m＋2n A 点击返回目录页 等边三角形的性质与判定(6年3考) 定义 ③_______条边相等的三角形是等边三角形  性质 〔2022 题23(2)， 2021题12， 2019题17〕 (1)等边三角形的三条边相等; (2)等边三角形的三个内角都④_______，每一个内角都等于⑤_______;  (3)等边三角形是轴对称图形，每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴 判定 (1)三条边相等的三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是⑥_______的等腰三角形是等边三角形  三 相等 60° 60° 点击返回目录页 9 4.如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°. 若EF＝2，则DF的长为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 D 点击返回目录页 5.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC边上的高， DE∥AC.若AE＝3，则BC的长为__________.  6 点击返回目录页 6.已知两个边长为的等边三角形ABC与BDE按如图所示的方式 放置，且点A，B，D在同一条直线上，连接AE，则AE的长为__________.  3 点击返回目录页 直角三角形的性质与判定(6年2考) 性质 (2023 题5， 2020 题18) (1)直角三角形的两个锐角⑦_______;  (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑧_______;  (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的⑨_______;  (4)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 判定 (1)有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形; (2)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形; (3)两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形 互余 一半 一半 点击返回目录页 13 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是AB边上的高，CE是AB边上的中线，CE ＝5，S△ABC＝20，则CD的长是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 点击返回目录页 8.(北师八下教材第11页例4变式)如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝120°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2 cm，则BC的长为 (　　) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm C 点击返回目录页 勾股定理及其逆定理(6年5考) 勾股定理 (2022题12、题16， 2021题23，2019题8) 直角三角形的两条直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即⑩______________ 勾股定理的逆定理 〔2023题22(2)〕 如果一个三角形的三条边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 a2＋b2＝c2 点击返回目录页 16 9.以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是 (　　) A.3，4，5　　 B.4，6，8 C.5，12，13　　 D.6，8，10 B 点击返回目录页 10.(2024赣州大余期末)如图，数轴上的点A表 示的数是－1，点B表示的数是2，CB⊥AB于 点B，且BC＝2.若以点A为圆心，AC的长为半 径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是(　　) A. －2 C.－1 D.＋1 C 点击返回目录页 11.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，D，E分别是 边AB，BC的中点，点P在DE上，且∠APB＝90°，则PE的长为___________.  －1 点击返回目录页 (2024宜春期末)如图，在△ABC中， AB＝AC，点E在线段AC上，点D在AB的延长线 上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F，过点E作 EH∥AD交BC于点H，作EG⊥BC于点G. (1)求证:HG＝GC; (2)试猜想线段BC与FG的数量关系并证明. 难点突破 等腰三角形的性质与判定 点击返回目录页 20 (1)根据AB＝AC，得∠ABC＝∠C，根据EH∥AD，得∠ABC＝∠EHC，即可得∠C＝∠EHC，则EH＝EC，再根据EG⊥BC即可得证;(2)根据EH＝EC，BD＝CE，得EH＝BD，根据EH∥AD，得∠D＝∠FEH，∠FBD＝∠FHE，利用ASA证明△DBF≌△EHF，得BF＝HF，再根据HG＝GC即可得出结果. 点击返回目录页 21 解:(1)证明:∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∵EH∥AD，∴∠ABC＝∠EHC， ∴∠C＝∠EHC，∴EH＝EC. ∵EG⊥BC，∴HG＝GC. 点击返回目录页 (2)BC＝2FG. 证明:∵EH＝EC，BD＝CE，∴EH＝BD. ∵EH∥AD，∴∠D＝∠FEH，∠FBD＝∠FHE. 在△DBF和△EHF中， ∴△DBF≌△EHF(ASA)，∴BF＝HF. ∵HG＝GC，∴FG＝FH＋HG＝BF＋GC， ∴BC＝2FG. 点击返回目录页 1.如右图，在△ABC中，∠BAC＝102°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC.求∠C的度数. 解:如图，延长DB至点E，使BE＝AB， 连接AE， ∴∠E＝∠BAE， ∴∠ABC＝∠E＋∠BAE＝2∠E. ∵AB＋BD＝DC，∴BE＋BD＝DC， ∴DE＝DC. 点击返回目录页 ∵AD⊥BC，∴AE＝AC，∴∠E＝∠C， ∴∠ABC＝2∠C. ∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴102°＋2∠C＋∠C＝180°， ∴∠C＝26°. 点击返回目录页 (2024上饶信州区期末)如右图，在 等边三角形ABC中，AB＝8，点E在等边三角形 ABC的边BC上，BE＝5，射线CD⊥BC，垂足为 C，P是射线CD上的一动点，F是线段AB上一动 点.当EP＋PF的值最小时，求BF的值. 等边三角形的性质与判定 点击返回目录页 26 作点E关于CD的对称点E'，连接PE'.由轴对称的性质可得PE'＝PE，CE'＝CE，则当P，E'，F三点共线且E'F⊥AB时，PE'＋PF的值最小，即此时EP＋PF的值最小，利用等边三角形的性质得到∠B＝60°，BC＝AB＝8，进而得到∠E'＝30°，CE'＝CE＝BC－BE＝3，据此可得BF的值. 点击返回目录页 27 解:如图所示，作点E关于CD的对称点E'， 连接PE'. 由轴对称的性质可得PE'＝PE，CE'＝CE， ∴EP＋PF＝PE'＋PF， ∴当P，E'，F三点共线且E'F⊥AB时，PE'＋PF的值最小，即此时EP＋PF的值最小. 点击返回目录页 ∵在等边三角形ABC中，AB＝8， ∴∠B＝60°，BC＝AB＝8， ∴∠E'＝30°，CE＝BC－BE＝3，∴CE'＝CE＝3， ∴BE'＝CE'＋BC＝11， ∴BF＝BE'＝. 点击返回目录页 2.如右图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A(－1，0)，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D.求点D的坐标. 解:∵A(－1，0)，∴OA＝1. ∵△ABC为等边三角形，OB⊥AC， ∴OC＝OA＝1，∠ACB＝∠ABC＝60°， ∴AC＝BC＝2. 点击返回目录页 ∵BD⊥AB，∴∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝30°， ∴∠BDC＝∠ACB－∠CBD＝30°， ∴∠BDC＝∠CBD， ∴CD＝BC＝2， ∴OD＝OC＋CD＝3， ∴点D的坐标为(3，0). 点击返回目录页 (1)跨物理学科 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P入射，经过地板MN反射到天花板上形成光斑.中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β.已知天花板与地面是平行的， 且它们之间的距离为3 m.当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离 AB为(　　) A.3 m B.6 m C.(3－3)m D.(6－6)m 直角三角形的性质与判定 D 点击返回目录页 32 (2)(2024吉安吉州区期末)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边 形”.现有如图所示的“垂美四边形”ABCD，对角线AC，BD交于 点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝__________.  20 点击返回目录页 33 (1)如图，由反射易知，△EPA，△FPB是等腰三角形，分别过点E，F作EG⊥PB于点G，FH⊥PB于点H.由题意可知，EG＝3 m，∠EPG＝α＝45°，∴PG＝3 m，∴PA＝2PG＝6 m.同理可求得PB的长，进而求得光斑移动的距离AB; 点击返回目录页 (2)由题意可知，AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°. 由勾股定理，得AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，∴AD2＋BC2＝AB2＋CD2.把AD＝2，BC＝4代入即可得AB2＋CD2的值. 点击返回目录页 3.如图，OC平分∠AOB，CA⊥OA于点A，CB⊥OB于点B，CD∥OB交OA于点D.若OA＝9，OD＝5，求CB的长. 点击返回目录页 解:∵CD∥OB，∴∠COB＝∠DCO. ∵OC平分∠AOB，∴∠DOC＝∠COB，∴∠DOC＝∠DCO，∴CD＝OD＝5. ∵AD＝OA－OD＝9－5＝4，CA⊥OA， ∴AC＝＝3. ∵OC平分∠AOB，CA⊥OA，CB⊥OB， ∴CB＝CA＝3. 点击返回目录页 4.(2024九江期末)如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7 m.当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m.求A1C的距离和这块木板的长度. 点击返回目录页 解:由题意，得BC＝0.7 m，B1B＝1.3 m，AA1＝0.9 m，AB＝A1B1，∴B1C＝B1B＋BC＝2 m. 设A1C＝x m，则AC＝(x＋0.9)m. 由勾股定理，得22＋x2＝0.72＋(x＋0.9)2， 解得x＝1.5，∴A1C＝1.5 m， ∴AB＝＝2.5(m). 故A1C的距离是1.5 m，这块木板的长度是2.5 m. 点击返回目录页 $$