题型七 二次函数图象与性质综合题2025年 中考数学复习课件（安徽专版）

题型七 二次函数图象与性质综合题 1 类型1 含参问题 1.已知抛物线 ． （1）当 时： 2025安徽中考 2 ①求该抛物线的顶点坐标，并直接在如图所示的平面直角坐标系中画出该 抛物线. 【答案】当时, , 抛物线的顶点坐标为 . 2025安徽中考 3 画出该抛物线如图所示. 2025安徽中考 4 ②若点是抛物线上一点，点的坐标为，直线 与抛物 线交于点（异于点），请直接用含的式子表示点 的横坐标，并求出 当时 的值. 【答案】点的横坐标为 . ， （关键点）， ， , 或 . . . 2025安徽中考 5 （2）点, 在抛物线上 ，若对于, 的 任意取值，都有，求 的取值范 围． 2025安徽中考 6 【答案】 抛物线开口向下， 抛物线上离对称轴越近的点纵坐标越大. 又,抛物线的对称轴为直线 , 点到直线的距离小于点 到直线 的距离. 由题意知点在点 左侧. 连接,则中点的横坐标为 . 由可知的中点在直线 右侧， 2025安徽中考 7 . , ， ， ， ， . 2025安徽中考 2.新定义:我们把抛物线与抛物线 （其中）称为“伴随抛物线”.例如:抛物线 的“伴随 抛物线”为抛物线 .已知抛物线 的“伴随抛物线”为 . （1）求出抛物线的解析式（用含 的式子表示）及顶点坐标. 【答案】根据“伴随抛物线”的定义可知,抛物线 的函数解析式为 . ， 抛物线的顶点坐标为 . 2025安徽中考 9 （2）过轴上一点,作轴的垂线分别交抛物线,于点, .当 时,求点 的坐标. 【答案】设点 , 则, , . , , 或 . 2025安徽中考 10 对于，其根的判别式 , 此方程无解， 对于 , 解得, , 点的坐标为或 . 2025安徽中考 （3）当时,抛物线的最大值与最小值的差为,求 的值. 【答案】对于抛物线 , 当时, . 当时, ; 当时, . 2025安徽中考 12 ，, ,故需要分两种情况讨论： Ⅰ.当,即 时, 若,即 , 则， , , （不合题意的值已舍去）; 若,即 , 则， , , （不合题意的值已舍去）. 2025安徽中考 13 Ⅱ.当,即 时, ， , , 解得或 ，均不符合题意. 综上所述,的值为或 . 2025安徽中考 14 名师放大招 高分技法 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法 1.代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将各点的横坐标代入解析式， 求出各点的纵坐标，继而比较大小. 2.增减性比较法：利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的 同侧，再利用二次函数的增减性比较大小. 3.距离比较法：根据点到对称轴的距离比较大小，具体如下. 对于二次函数 2025安徽中考 15 ①当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越小， 如图（1）； ②当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大， 如图（2）. 图（1） 图（2） 2025安徽中考 16 3.如图，抛物线与轴交于， 两 点，与轴交于点，点为动点，且，过点作 轴的垂 线，交抛物线于点，交直线于点 ． 2025安徽中考 17 （1）求,的值及抛物线 的顶点坐标. 【答案】将， 分别代入 ， 得解得 ， 抛物线的顶点坐标为， . 2025安徽中考 18 （2）若，求 的值. 2025安徽中考 19 【答案】由（1）可知 . 易知点的坐标为 ， 结合，可得直线 的解析式为 ， , ， ， 若，则 ， 解得， （舍去）， 的值为1. 2025安徽中考 20 （3）平移抛物线得到抛物线，使抛物线 的 顶点为，将抛物线在 轴上方的部分记为图 象，若图象始终在抛物线的下方，求 的取 值范围． 【答案】由,可知抛物线 的解析 式为 . 2025安徽中考 21 当抛物线经过点（如抛物线）或经过点 （如抛物线 ）时，如图所示. 把点的坐标 代入 ， 得 ， 解得， （舍去）. 把点的坐标代入 ， 2025安徽中考 22 得 ， 解得， （舍去）. 综上可知，若图象始终在抛物线的下方， 的取值范围为 . 2025安徽中考 4.已知抛物线的顶点的横坐标比抛物线 的顶点的横坐标大4. （1）求 的值. 【答案】 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点的横坐标为 , , . 2025安徽中考 24 （2）若和都是抛物线上的点，且 ，求 的最小值． 【答案】由（1）可知抛物线 . 和都是抛物线 上的点， ， ， ． ， ， 2025安徽中考 25 . ， 的最小值是 . 2025安徽中考 （3）若点和都是抛物线上的点，且 ，对于某一 个确定的实数，若的最小值为1，求 的最大值． 【答案】 抛物线 ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 . 点和都在抛物线上,且 ， 当取最小值1时，点和 都在对称轴的右侧. 此时， ， ①， ， 2025安徽中考 27 ，解得 ， ， 此时点的坐标为，点的坐标为 . 当点是点关于直线的对称点时， 的值最大. 易知点关于直线的对称点的坐标为 ， 最大时， ， 的最大值为 ． 2025安徽中考 5.在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与 轴交于点 ，，与轴交于点，点 在抛物线上. （1）求出抛物线的函数表达式和 的值. 【答案】将代入 ， 得， ， 抛物线的函数表达式为 . 对于，当时， ， 解得，， . 2025安徽中考 29 （2）点为轴下方的抛物线上一点，过点作轴的平行线，与直线 交于点，若线段的长为，求点 的横坐标. 【答案】设点 . 易知,由,可知直线的函数表达式为 . 对于，令 ， 则，故 . 设的长为 . 2025安徽中考 30 当时， ， 当时，取最大值 . 故此种情况舍去. 当时， .令 ,则, （舍去）. 故点的横坐标为 . 2025安徽中考 （3）点为直线上一动点，横坐标为，将点 向左平移1个单位长度， 得到点，若线段与抛物线恰好只有一个交点，求 的取值范围. 2025安徽中考 32 【答案】易知，则 . 当点落在抛物线上时， ，解得 ， . 若，则线段 与抛物线无交点. 若，则当时，线段 与抛物线恰好只有一个交 点. 若，则当时，线段 与抛物线恰好只有一个交点. 综上，的取值范围为或 . 2025安徽中考 33 6.已知抛物线过点，，点是 轴正半轴上一 点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，点是 轴上一点，其纵坐标 为2，连接 ． （1）求抛物线的解析式. 【答案】将，代入 ， 得 解得 抛物线的解析式为 . 2025安徽中考 34 （2）试判断线段与 的数量关系，并说明理由. 【答案】 ． 理由：根据题意画出符合题意的大致图象如图所示， 2025安徽中考 35 过点作 直线于点 ， ，， 轴， ， ， ，， , , , . 2025安徽中考 （3）点是轴上一点.设以,,, 为顶点的四边形的对角线的交 点为，是否存在点，使得？若存在，请求出 的值；若 不存在，请说明理由. 2025安徽中考 37 【答案】存在. 分两种情况讨论. ①当点在点上方时， , ， , 即 , , 解得， . 2025安徽中考 38 ②当点在线段上时， , ， , , , 解得， （舍去）. 综上可知，的值是2或6或 . 2025安徽中考 39 7.新考法 结合程序框图考查函数 小明利用一次函数和二次函数知识，设 计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为 时，输 出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出 的值为6． 图（1） 图（2） 2025安徽中考 40 （1）直接写出，， 的值． 【答案】，， . （2）小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图象，如图（2）． Ⅰ.当随的增大而增大时，求 的取值范围． 【答案】易知抛物线的对称轴为直线 . 结合图象可知，随的增大而增大时，或 . 2025安徽中考 41 Ⅱ.若关于的方程（为实数），在 时无解， 求 的取值范围． 【答案】方程可化为 . 由方程在时无解，可知当 时，抛物 线与直线 无交点. 当时，， 点 是抛物线的顶点. 当时， . 2025安徽中考 42 画出直线和 的位置，如图（1）所示， 图（1） 分析图象可知，当或时，抛物线与直线 在 的情况下无交点，即方程在 时无解. 2025安徽中考 43 Ⅲ.若在函数图象上有点，（与不重合）的横坐标为， 的横坐标 为．小明对，之间（含， 两点）的图象进行研究，当图象对应 函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出 的取值范围． 【答案】或 . 【解析】解法提示： ， 点，到直线 的距离相等. 2025安徽中考 44 如图（2），将代入，得， . 图（2） 2025安徽中考 45 将代入，得 . 作直线，， ， 分析可知，当点在直线和轴之间的图象上，或在直线 和直 线之间的图象上时（均含边界点），点， 之间的图象对应函数的 最大值与最小值分别为3和2，不随的变化而变化，故 的取值范围为 或 . 2025安徽中考 46 类型2 与几何图形有关 8.在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线 为常数，且 与轴交于点，抛物线的顶点为，且与 轴交 于点, ． 2025安徽中考 47 （1）当点在直线上时，求 的值； 【答案】由抛物线经过坐标原点 ， 可知 , ， 点的坐标是 . 当点在直线上时， . 又 ， . 2025安徽中考 48 （2）当点在直线下方时，求点到直线 距离的最大值； 【答案】设点到直线的距离为 . 当点在直线下方时， ， 配方，得 . 当时， , 点与直线 距离的最大值是1. 2025安徽中考 49 （3）当时，求 的面积. 【答案】将代入，得 ， 解得, ， ， ， . ， 点在直线 上方. 2025安徽中考 50 如图，过点作轴于点，则 ， . ，， ， 2025安徽中考 51 ，解得（舍去）, ， ， ， , ， . 2025安徽中考 9.已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点 ， 抛物线的对称轴为直线 . （1）求， 的值. 【答案】 抛物线与轴交于点， ,且对称轴为 直线 ， 点的坐标为 . 将，分别代入 ， 得 解得 2025安徽中考 53 （2）点是直线下方的抛物线上一动点，过点分别作 轴交直线 于点，轴交直线于点 . 2025安徽中考 54 （ⅰ）求线段 的最大值； 【答案】对于，当时， , , . 又 , . 又轴， 轴， ， . 设直线的表达式为 ， 2025安徽中考 将，分别代入，得 解得 直线的表达式为 . 设， ， 则 . ， 当时， 取最大值2， 的最大值为 . 2025安徽中考 （ⅱ）连接，当线段把的面积分成的两部分时，求点 的 横坐标． 【答案】如图，延长交轴于点 . , ， 2025安徽中考 57 当线段把的面积分成的两部分时， 或 . 设， ， 则， . .当时， ， 整理,得，解得（舍去）, . .当时， , 2025安徽中考 整理,得,解得（舍去）, . 综上可知，当线段把的面积分成的两部分时，点 的横坐标 为或 . 2025安徽中考 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于， 两 点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交 轴于点，顶点为 ． 备用图 2025安徽中考 60 （1）当时，求点 的坐标； 【答案】 , 抛物线的顶点的坐标为 . ,点和点关于直线 对称, . 2025安徽中考 61 （2）连接，，，若为直角三角形，求此时抛物线 所对 应的函数表达式； 【答案】由题意,得抛物线的顶点与抛物线的顶点 关于直线 对称（关键点）, , 抛物线 . 当时,可得 . 2025安徽中考 62 图（1） ①当 时,如图（1）,过点作 轴,垂足 为 . , . ,, . , . 直线轴, , , . , , 2025安徽中考 63 . 又 点在抛物线 上， , 解得或 . 当时,可得,,此时, 重合,舍去. 当 时,符合题意. 将代入抛物线 ,得 . 2025安徽中考 图（2） ②当 时,如图（2）,过点作 轴于点 ,过点作,交的延长线于点 . 同理可得 . , . , , . 又 点在抛物线 上， ,解得或 . 2025安徽中考 65 ,.此时, 符合题意. 将代入抛物线 ,得 . ③易知,当 时,此情况不存在. 综上,抛物线所对应的函数表达式为 或 . 2025安徽中考 （3）在（2）的条件下，若的面积为3，，两点分别在边 ， 上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出 长度的最小值，并简要说明理由． 【答案】长度的最小值为.理由：由（2）知,当 时, ,此时 的面积为1,不合题意,舍去. 2025安徽中考 67 图（3） 如图（3）,当 时,,此时 的面积为 3,符合题意. 由题意可求得 . 取的中点,连接 . 在中可求得 . 在中可求得 . 易知当,,三点共线时,取最小值,最小值为 . 2025安徽中考 68 $$