安徽省蒙城第一中学2024-2025学年高二下学期数学期末模拟试题

2024～2025学年下学期期末模拟 高二数学 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C C A B B D ABD AC ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 【解析】B 依题意，. 2. 正项等比数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【解析】B 设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 由题， 则，所以， 所以. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【解析】C ，， . 4. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C ，又为中点， 5. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 依题意，：，：， 若两直线平行，则， 解得或. 当时，：，：， 此时两直线重合，不符合. 当时，：，：，符合题意. 所以“”是“”的充要条件. 6. 北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 540 【解析】B 该游客第一天从6种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第二天从剩余的4种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第三天只能品尝最后剩余的2种美食，有种选法． 故该游客在这三天中选择美食的不同选法种数为. 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 【解析】B 由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即， ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即， 对于A，，， ，故A错误； 对于B，为奇数时， ，故B正确； 对于C，，， 所以 ，故C错误； 对于D，，故D错误. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 在中，， 所以， 所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即， 则， 综上：. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 的展开式中二项式系数最大项为 【解析】ABD 的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A正确； 令，得，故B正确； 令，可得，令，得， 则，故C错误； 的展开式中二项式系数最大项为，故D正确. 10. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则 【解析】AC 由函数，可得，则.所以A正确； 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减.所以B错误； 作出的大致图象，如图所示，可得无最大值，有最小值.所以C正确； 又由，， 所以函数有两个零点，则或，所以D错误． 11. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，最小值为22 C. 当时，直线AB的斜率为 D. 当时，点P到直线l的距离的最小值为14 【解析】ACD 对于A，如图设直线的方程为，代入可得：， 由可得， 设，则， 因的中点为，则，故， ，即，则， 于是 ， 故当时，取得最大值为32，故A正确； 对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 设交抛物线于点，因，故， 由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长， 因的中点为，则为梯形的中位线，且， 故此时，即的最小值为15，故B错误； 对于C，由A项得到，因，故得， 解得，故直线的斜率为，故C正确； 对于D，由可得直线经过点，可设直线的方程为， 代入可得：，设，则， 仿照B项作图，则点P到直线l的距离为： ， 故当时，点P到直线l的距离的最小值为14，即D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列.的前项和为，且.若，则______. 【解析】为等差数列， . 13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为__________. 【解析】由题意得随机变量服从正态分布，且，由，所以， 即求的常数项，由二项式定理得常数项为. 14. 已知正四棱锥的底面边长为3，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为__________. 【解析】连接AC，BD，设交点为O，如图建立以O为原点的空间直角坐标系. 因底面边长为3，则，设. 则，，. 因，则，又， 则，则，所以为定值， 因球面上仅有一点满足且，则为球体与线段PO的交点， 则，则球体半径为. 注意到正四棱锥体积为：，其中为四棱锥表面积， 如图，取BC中点为F，连接OF，PF，则. 则，则 又正四棱锥体积为：，则 . 则，则球体表面积为：. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设正项等比数列，，且、的等差中项为． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求． 【解析】（1）设等比数列的公比为，则， 由题意可得，解得， 则. （2）由（1）得，则， 所以，数列为等差数列，所以，， 所以，， 则. 16. 如图，四棱柱的底面是正方形，平面. （1）求点到平面的距离； （2）若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值. 【解析】（1）连接交于点，连接. 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 又，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 因平面，平面，所以， 又，所以. 在中，，所以. 又为的中点，所以且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 故点到平面的距离为. （2）以为原点，分别以分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 由（1）知，平面的一个法向量， 设， 则 设为平面的一个法向量， 由，取，得， 设平面与平面的夹角为， 则有， 解得，即. 17. 甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． （1）分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． （2）记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【解析】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，， 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为． （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，， 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． 18. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意得函数的定义域为，， 则，解得：， ∴， 令，解得：或， 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，极小值为， 当时，函数取得极大值，极大值为. （2）由得， 不等式可变形为， 即，因为，且， 所以函数在上单调递减， 令，， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 因为当时，，所以函数在上单调递减， 所以，所以， 即实数m的取值范围为. 19. 已知椭圆:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点． （1）若椭圆的离心率是，求的值； （2）设的面积是，的面积是，若，时，求的值； （3）若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方． 【解析】（1）因为椭圆的离心率是. 当时，，得； 当时，，得； 所以的值为或； （2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在， ，直线的方程，设． 则. ，直线的方程，设． 则. 由图，， 注意到，则. 又，同理可得 .则 （3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在， ，直线的方程，设． 则 . ，直线的方程，设． 则 . 则 .又在椭圆内部，则，故. 又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方． ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年下学期期末模拟 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册、第二册、第三册. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 2. 正项等比数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 540 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 的展开式中二项式系数最大项为 10. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则 11. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，最小值为22 C. 当时，直线AB的斜率为 D. 当时，点P到直线l的距离的最小值为14 第II卷（选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列.的前项和为，且.若，则______. 13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为__________. 14. 已知正四棱锥的底面边长为3，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设正项等比数列，，且、的等差中项为． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求． 16. 如图，四棱柱的底面是正方形，平面. （1）求点到平面的距离； （2）若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值. 17. 甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． （1）分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． （2）记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 18. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知椭圆:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点． （1）若椭圆的离心率是，求的值； （2）设的面积是，的面积是，若，时，求的值； （3）若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方． ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$