数学(二)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知数列{an}的前n项和S=n十2n,则数列 1 的前6项和为 ( an·a+i C.li D. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm1=一2，Sm=0,Sm+1=3,m>2,m∈N”,则m= 知 ( A.3 B.4 C.5 D.6 3.在等比数列{a,}中，aas是方程r+6x十2=0的根，则2的值为 A. 2+√2 2 B.-√2 C.√2 D.一√2或2 4.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=F(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的 是 部 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 名 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 5.设函数f(x)的定义域为R,x。(x。≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 翻 A.一x。是一f(一x)的极小值点 B.对任意x∈R,f(x)≤f(xo) C.一x,是f(一x)的极小值点 D.x。是一f(x)的极大值点 6.离散型随机变量X可能取值为1,2,3,4，P(X=k)=ak十b(k=1,2,3,4),又E(X)=3, 则3a十b= ( Λ.10 C.5 D. 15 2-1 7.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码 并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概 率是 A品 B器 c 4 D.625 8.根据一位母亲记录儿子3~9岁的身高数据，建立儿子身高y(单位：cm)对年龄x(单位： 岁)的线性回归方程为y=7.19x十73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，下列有关 叙述正确的是 A.身高一定为145.83cm B.身高大于145.83cm C.身高小于145.83cm D.身高在145.83cm左右 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分)》 x,x≥a, 9.已知函数f(x)= 则 4x3-3x,x<a, A,若f(x)有两个极值点，则a=0或号<a<1 且若f)有极小值点，则。>号 C若f(x)有极大值点，则a>- D.使f(x)连续的a有3个取值 10.对任意实数x,有(2x-3)°=a。十a,(x-1)十a,(x-1)+a(x-1)3+…十a,(x-1)°， 则下列结论成立的是 A.a,=-144 B.a。=1 C.a。十a1+a2十…+ag=1 D.a-a1十a2-a3+…-a,=-39 11.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子 里随机取出n(1≤n≤6，n∈N')个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到 的红球个数为个，则随着n(1≤n≤6，n∈N·)的增加，下列说法正确的是 A.E()增加 B.D()增加 C.D()减小 D.E()减小 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N),则a,|+a2|十…+a1s|= 13.若(2x十3)3=a+a1(x+2)+a2(x+2)2十a(x+2)3,则a。+a1+2a2+3a3= 14.已知f(x)=xe,则f(1)=2e.若过点A(a,0)的任意一条直线都不与该曲线C相切， 则a的取值范围是 2-2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分已知S为正项数列a,的前n项和，且满足S=4+24.(u∈N"). (1)求a1,a2,a3,a4的值； (2)求数列{a,}的通项公式. 2-3 16.(本小题满分15分)已知(1-2x+3x2)7=a。十a1x十a2x2+…+a1ax3+a14x4. 求：(1)a1十a2十…+a14: (2)a1十a3十a5十.+a13· 2-4 17.(本小题满分15分)某工厂的一台某型号机器有两种工作状态：正常状态和故障状态 若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了 该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示的频率 分布直方图.由统计结果可以看出，这种产品的质量指标值服从正态分布V(,。),其 中：近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x,σ近似为这1000个产品的质量 指标值的方差（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.若产品的质量指标值全 部在（红一3，：十3σ）之内，就认为机器处于正常状态，否则认为机器处于故障状态. 频率 频数 组用 0.030 20 0.024 18 0.020 15 12 888 0.004 时间 质量指标值 (第天) 0354556的758595105 1 23 4567 图1 图2 (1)下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值： 294555636773788793113 请判断该机器是否出现故障？ 2-5 (2)若机器出现故障，有两种检修方案可供选择： 方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元； 方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元 现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型 号机器近100单常规检修在第(i=1,2,…,7)天检修的单数，得到如图2所示的柱状 图，将第i天常规检修单数的频率代替概率.已知该机器正常工作一天可收益200元，故 障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？ 附：√188≈13.71，/208≈14.42，√228≈15.10. 2-6 18.(本小题满分17分)已知{a,}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1, a14=b. (1)求{am}的通项公式； (2)设cn=an十bn,求数列{cm}的前n项和. 2-7 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=alnx+号r-(1+a)x,a∈R (1)当a=1时，求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若对任意的x∈(e,十o∞)都有f(x)>0成立，求a的取值范围. 2-8高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） 9.CD[作出函数y=x和y= -3a 1.A[数列{aw}的前n项和Sn=n2十2，Sm-1=n2一1， 4x3-3x的图象，如图所示. 两式作差得到am=21十1. 对于选项A,若f(x)有两个 dm+n+[2] 1 板值点，则a=0或a>2' 、1 裂项泉和得到S=(日日十…)-品长选入] 所以选项A错误：对于选项 B,当a=0时，x=0是函数 2.C[:{an}是等差数列，Sm-1=-2,Sm=0, f(x)的极小值，点，所以选项B .am=Sm-Sm-1=2. 错误：对于选项C,由图易知正确；对于选项D,使f(x)连 又Sm+1=3,.am+1=Sm+1-Sm=3, 续的a有3个取值，即一1,0,1，所以选项D正确.故选 .d=am+1-am=1. CD.] 又Sm="a十am)-m(a+2) =0 10.ACD[对任意实数x, 2 2 有(2x-3)9=ao十a1(x-1)+a2(x-1）)2+a3(x-1)3+… ∴.a1=-2,am=-2+(m1）·1=2,.m=5.故 +ag(x-1)9=[-1+2(x-1)]9, 选C.] .a2=-C号×22=-144，故A正确： 3.B[设等比数列{an}的公比为g,因为ag,a15是方程x2+ 令x=1,可得a0=一1，故B不正确： 6r+2=0的根，所以a3·a15=a=2,a3十a15=-6,所 令x=2,可得a0十a1十a2十…十ag=1,故C正确： 以a4<0,a15<0,则ag=-反，所以2a6-=4g 令x=0,可得a0一a1十a2一一ag=一39，故D正 ag ag 确.故选ACD,] -√2.故选B.] 11.BD[依题意，从乙盒子里随机取出n个球，含有红 4,D[由题图可知，当1<x<2时，f(x)>0, 球个数X服从超几何分布，即X~H(6,3,n), 当2<x<4时，f(x)<0, 当4<x<5时，f(x)>0, 中PX=利-CC来中AENk3且S ∴x=2是画数f(x)的极大值点，x=4是函数f(x) E(X=3n-” 的极小值点，故A,B,C正确，D错误.故选D.] 62 5.A[对于A,函数一f(-x)与函数f(x)的图象关于 故从甲金中取球，相当于从含有艺十】个红球的 原点对称，因此一x0是一f一x)的极小值点：对于B, 极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域 n十1个球中取一球，取到红球个数为个， 上f(xo)是否最大：对于C,函数f(-x)与函数f(x) 故P(E=1)=- 1+1 的图象关于y轴对称，因此一x0是f(一x)的极大值 n+122n+2' 点：对于D,函数f(x)与函数一f(x)的图象关于轴 随机变量专服从两点分布，所以E()=P(=1) 对称，因此z0是一f(x)的极小值点.故进A.] 6.B[依题意知：E(X)=1×(a+b)+2(2a+b)+ 名十2十2随着n的增大，B减小： 3(3a+b)+4(4a+b)=a+b+4a+2b+9a+3b+ Dg)=(侵+十2)（合2）随者n的增大， 1a十46=30a+10=3,所以3a十6=是故选B] D(E)增大.故选BD.] 7.B[由题意知，首先做出摸一次中奖的概率，从6个 12.130[由aw=2n-10(n∈N”)知{an}是以-8为首项，2 球中摸出2个，共有C=15种结果，两个球的号码之 为公差的等差数列，又由an=21一100得n5,'.n≤ 积是4的倍数，共有(1,4)，(3,4)，(2,4)，(2,6)，(4， 5时，aw≤0，当n>5时，am>0,.a1+|a2十…十 5.46)6种结装援一次中奖的概率是是-号4 a1s|=-(a1十a2十a3十at)+(a5十a6十…十a15)= 20+110=130.] 个人摸奖相当于发生4次试验，且每一次发生的概率 13.5[:(2x+3)3=a0十a1(x+2)+a2(x+2)2+ 是号，“有4人参与摸关，格好有3人获奖的概率是 a3(x+2)3, Cx(号)'×音-器故选B] 2+3=[2(+受]°=8·[+2-] 8.D[用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计 -8[-g+是u+2)-是x+2+x+29] 值.当x=10时，y=145.83,只能说身高在145.83cm .aa=-1,a1=6,a2=-12,a3=8,a0十a1十2a2十 左右.故选D.] 3a3=5.] 3 14.(-4,0)[f(x)=(x+1)e,∴.f(1)=2e,设点 X的分布列为： B(.x0,x0e)为曲线C上任意一点. X 20040060080010001200 1400 y'=e2十xe=(x十1)e,则曲线C在，点B处的切 P 0.070.180.250.200.150.12 0.03 线方程为y一x0e'o=(xo十1)eo(x-xo),根据题 数学期望E(X)=200×0.07十400×0.18+600× 意，切线1不经过点A,则关于xo的方程0一0e'= 0.25+800×0.20+1000×0.15+1200×0.12+ (x0十1)eo(a-x0),即x6-ax0-a=0无实根. 1400×0.03=732元， ∴.△=a2+4a<0,解得-4<a<0. 故工厂需要支付检修费和损失收益之和为200十732 .a的取值范围是（一4,0）.] 932元， 15.[解])由S,=2a2+名4，(u∈N),可得a1- 900<932,∴.当机器出现故障时，选择加急检修更 为适合 2i+74解得a=1: 18.[解](1)设数列{am》的公差为d,{bn}的公比为q S=a十ag=7+7e,解得ag=2: 1b2=b1g=3,mb1=1, 由 得 b3=b1g2=9,q=3. 同理，a3=3,a4=4. .{bn}的通项公式bn=b1g”-1=3”-1. ① 又a1=b=1,a14=b1=3-1=27, ∴.1+(14-1)d=27,解得d=2. 当≥2时，S1=-1十7-1 1 © ∴.{an}的通项公式an=a1十(n-1)d=1+(n-1)× ①-②得(an-an-1-1)(am十aw-1)=0, 2=2n-1(n∈N·). 由于an十an-1≠0， (2)设数列{cm}的前1项和为Sm 所以an一an-1=1, :cn=aw十b=2n-1十3w-1, 又由(1)知a1=1, ∴.Sn=c1十c2十c3十…+cn 故数列{am》是首项为1，公差为】的等差数列，故 =2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+ an=n. 2m-1+3”-1=21+2+…+0)-n+39X1=32 1-3 16.[解](1)令x=1,得ao十a1十a十+a11=27. 令x=0,得a0=1,所以a1十a2+…+a1= =2×m+1Dn-m+3”。1 2 2 27-1=127 =n2+301 (2)由(1)得a十4十a2+…十a14=27,① 2 令x=-1得a0-a1十a2-…-a13十a11=62,② 即数列{cm的前n项和为n2+3”。一」 21 由①-②得2(a1十a3+5+…+a13）=27-67. 27-67 所以a1十a3十a5十…十a13= 19.[解]q)当a=1时f)=lx+72-2z, 2 =-139904. 17.[解](1)由题图1可估计1000个产品的质量指标 f)=-2中，f)=0f=-2 值的平均数工和方差s2分别为 元=40×0.04+50×0.08+60×0.24+70×0.30+ 所以所泉切线方程为y一一是 80×0.20+90×0.10+100×0.04=70, (2)f(x)=2-（a+1)x+a-(x-1)(x-a s2=(-30)2×0.04+(-20)2×0.08+(-10)2× 0.24+02×0.30+102×0.20+202×0.10+302× 当a=1时，f(x)在(0，十o∞)递增： 0.04=188, 当a≤0时，f(x)在(0,1)递减，在(1，十∞)递增： 当0<a<1时，f(x)在(0，a)递增，在(a,1)递减， u=70,0=√188≈13.71， 在(1，十o∞)递增： …μ-3G≈28.87,4+3g≈111.13， 当a>1时，f(x)在(0,1)递增，在(1，a)递减，在(a, ∴.产品的质量指标值允许落在的范国为(2887,11.13)， 十o∞)递增. 又抽取产品质量指标值出现了113，不在(28.87,111.13)之 内，故可判断该机器处于故障状态 (3)由fr>0得(x-lnxa<r-x (2)方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为 700+200=900元： 设y=x-lnx,y=1,于是y=x-lnr在(0,1) 方案二：设损失收益为X元，则X的可能取值为 递减，在(1，+o∞)递增，最小值为1，所以Hx∈(e, 200,400,600,800,1000,1200,1400, +oo),r-In r>0. A[BX)=-+日-号B=E2X+3) 于是只要考虑Hx∈(e,十o∞)，a< x-In x 2E(X)+3=- +3=子故选A] 设g(x)= 7.D[从18人中任选3人共有Cg=816(种)选法，其 x-Inx' 中3个的编号能组成以3为公差的等差数列的情况共 2(xDx+2-2n g'(x)= (x-In x)2 有12种，所以所求概率为丽故选D.] 设h(x)=x+2-21nx,h'(.x）=二2，于是h(x) 8.C[由题图①可知，x与y负相关.由题图②可知，u x 与v正相关.故选C.] x+2-2lnx在(e,十oo)道增，h(x)>h(e)=e>0, (2m-1)(a1+a2r-1) 所以g(x)在(e,十o∞)递增，于是a≤g(e)= 9.ACD e2-2e ,[由题意可得T2n一 ,S2m-1 2 (21-1)(b1+b2m-1) 2(e-1) 2 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（三） 6a=an,则 S2n-1= 3(2-1)+39 (2n-1)hn (21-1)+3 1.B[当n=1时，S1=2a1-1=a1,∴.a1=1, T2一1 当n≥2时，an=Sm一Sm-1=2an一2an-1, 3n+18=3+15 1十T n十1 an=2an-1,因此aw=2”-1.故选B.] 2.A[依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑 由于公为基数，则n十1为15的正约数，时十1的可 的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列， 能取值有3,5,15， 则这个同学7天-共将跑500X7+75×20 因此，正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD.] 10.ACD[令f(x)=x2-1,g(x)=lnx,f(1)=g(1) 39200(m).故选A.] =0,f(1)=2,g'(1)=1,A正确，B错误. 3.D[设等比数列{aw}的首项为a1,公比为g(g≠0)，因 为前1项的和为9，积为，所以 1=9,且 f)=2x∈R,R)=∈(0，+o).存在fD 1一4 =g(2).C正确 a2 a3 令F(x)=fx)-gx),则F(x)=2x-,故F(x) a11-g),1 a 11 1-9 aig3 =2.故选D.] 在(0，写)上单调造减，在（停+）上单调超增，而 4.B[依题意可设g(x)=f(x)一2x-4,所以g(x)= F(号）+h2<0.F(侵)>fe=2-20, f(x)-2>0.所以函数y=g(x)在R上单调递增，又 D正确.故选ACD.] 因为g(一1)=f(一1)+2-4=0.所以要使g(x) f(x)-2x-4>0,即g(x)>g(-1),只需要x>-1. 11,AB[依题意，1=1-3×5=亏： 12 故选B.] 所以Ecg)=专(2 sin sin+3 os asin+3 Bsin+ 5.A[对于A选项，当-2<x<号时，f(x)>0,当 合<r<2时f)<0,号为f)的板大值点，A选 号c=号(oos ain p叶sn6ms+号(sin asin月 项正确： 十=子in(a十n+ 5cos(a-B). 对于B选项，当x<-2时，f(x)<0,当-2<x<2 所以当a十月=吾+2k,a-月=2kx(k∈Z),即 时，f(x)>0,一2为f(x)的极小值点，B选项错误： 十2k a-1 对于C选项，当？<<2时，f(x)<0,当>2时， “∈时，B)取得最大值号+号-1 f(x)>0,2为f(x)的极小值点，C选项错误： 对于D选项，由于函数y=f(x)为可导函数，且 则E(e)≤1.故选AB.] f(售)<0，号不是fx)的极值点，D选项错误.故选 12.75[:a3m=2n-2ama3m+1=aw十1，a3w+2=aW一： 4=1,a2=2,.ag=2-2a1=2-2=0,44=a1+1=2, A.] a5=a1-1=0, 5