数学(一)-【步步为赢】2024-2025学年高二下学期数学期末综合冲刺卷(人教A版)

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（一） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 知 1.若S为数列a,的前n项和，且S则 ( A.6 6 B. c D.30 命 2.已知等差数列{a.}的前n项为S,bn=2·且b1十b3=17,b2十b=68,则S1o= A.90 B.100 C.110 D.120 3.设等比数列{an}的前n项和为Sm,S2=一1，S=-5,则S。= A.-9 B.-21 C.-25 D.-63 4.函数y=血工的最大值为 x 部 A.e1 B.e C.e2 D.10 5.某箱子的体积与底面边长x的关系为V()=F(0。)(0<<60).则当箱子的体积最 大时，箱子底面边长为 A.30 B.40 C.50 D.60 6.已知离散型随机变量X~B(,p)且Ex)=4,D(x)=g,则+上的最小值为 () 翻 A.2 B.9 c D.4 7.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒 中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X),则P(X=4)的值为() 1 7 N.220 B. c. D. 1 5 1-1 8.下面是2×2列联表： Y X 合计 y ye Z 33 21 54 T2 a 13 46 合计 b 34 则表中a,b处的值应为 ) A.33,66 B.25,50 C.32,67 D.43,56 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题日要求，全部选对的得6分，少选一项扣2分，有选错的得0分) 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,下列数列中一定是等比数列的有 A.(a) B.aa C.(Ig a D.SS2-SS-S2n 10.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是 ( A.y=cos x B.y=In x C.y=e" D.y=r2 1山.设0E[后，引，随机变量的分布列如表所示，则E(g ( 1 2 3 1 in0 12 1 2c0s20 A有最大值号 B有最大值号 C有最小值号 D.无最小值 1-2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.无穷数列{a,}由k个不同的数组成，S,为{an}的前n项和.若对任意的n∈N”,S.∈{2,3}， 则k的最大值为 13.甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法 有 种 14.已知函数y=2+3,当x由2变到1,5时，函数的增量△y= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)设数列{a,}的前n项和为S.,满足(1一q)S,十qa.=1,且q(q一1)≠0. (1)求数列{a}的通项公式； 1-3 (2)若Ss,Sg,S成等差数列，求证：a2,a,as成等差数列. 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=(x一1)lnx一x一1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； 1-4 (2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 17.(本小题满分15分)有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果 100个，其质量（均为1~11kg)频数分布表如下（单位：kg): 分组 [1,3) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) 频数 10 30 40 15 5 以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率. (1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(,σ)，其中：近似 为样本平均数x,σ2≈4，请估计该种植园内质量在(5.5,9.5)内的百分比 1-5 (2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再 从这8个水果中随机抽取2个.若质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得 的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和 数学期望 附：若服从正态分布N(,o),则P(4-oξ<u十o)=0.6827,P(u一2o<<十2a)=0.9545. 1-6 18.(本小题满分17分)在等差数列(an}中，已知a1=1,a3=-5. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和S=一25，求k的值. 1-7 19.(本小题满分17分)尼知函数f)=alnx+2. (1)求f(x)的单调区间： (2②)函数g红)=号x一吉（>0)，求证：当a=1时，fx)的图象不在g(x)的图象的 上方 1-8参考答案与详解 高二下学期期末综合冲刺卷·数学(一) 对于A.# 'a一1 a-1a --1 n1” }0,故B正确;对于C.lg a-lg an-1-1g n 10 an-1 d5 lgan不一定为常数,即 2“:十2 b2十bu= lg,为等差数列,但是 lga-1 2.A [设{a)公差为d, b十b3 2“十2 lga.不一定为等比数列,故C错误;对于D,若a“ 2“d+2+d 68 -4.'d-2,b+b=2“1+ -=2二 (一1)”为等比数列,公比为一1,则S,有可能为0,不 2“1十2“。 17 一定成等比数列,故D错误,故选AB.] “ -2 +2+2d-17,2“-1,aì-0,$no-10a1+ 10×910×9x2-90.故选A.] 10.AD[由题意y=f(x)具有T性质,则存在x1.x2· 使得f(xì)f(x2)=-1.对于选项A,因为f(x) 2 2 3.B [由等比数列性质得S.S -S.S-S. 成等比数 列,即-1×($6+5)=(-5+1)②,.$=-21.故选 对于选项B,因为f(x)-1→0.不存在xi1.x2,使得 B.] fr(xì)f(x2)=-1;对于选项C,因为f(x)=e>0. 不存在x1,x,使得f(x)f(x)=-1;对于选项$ 0 x e时,y0,所以ymax=e-l,因为在定义域内 只有一个极值,所以ymax=e-1.故选A.] f(x)f(x)=4xx=-1.故选AD.] x<60.所以当0 x 40时,V(x)0,此时V(x)单 ##e0# 调递增;当40 x60时,V(x)<0,此时V(x)单调 递减,所以V(40)是V(x)的极大值,即当箱子的体积 #10# 最大时,箱子底面边长为40.故选B. E(x)-np-4 #t}o#,- 6.C [由X~B(n,),则 D()-n$(1-p)-q .E()二 故E(s)有最大值,有最小值了.故选AC.] 12.4 [依题意得,a=S(2,3).S(2,3)且S1 ##&#=)## #-7# (2,3 ,因此a+1=S -S-1,0,1)(nN*). 即数列a。)从第2项起的不同取值不超过3个,进而 而依题意:)→>0,>0,则1-+(+)→+ 可知数列a。)中的项的所有不同取值的个数人<4, 且事实上,取数列{a。)为2,1,0,-1,1,0、-1,1,0, -1....,此时相应的k-4,S(2,3).因此,k的最 4p 甲 大值是4.] 2时取“-”号。 13.80 [由题意可知当丙排在最中间时有CA{}A}-8(种) ###小值为。# 当丙在左侧排一个或三个人时有CAA③}一24(种) 当丙排在两端时有CA一48(种),故共有8十24+ 7.C [由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,故 □_C 48-80(种).] P(X-4)- 14. [△y /(1.5)-f(2)-(1+3)-(+3)一 C。 8.A [由2×2列联表知a十13-46,所以a=33,又b 3-1-1 a+33,所以6-33十33-66.故选A.] 15.(1)[解] 当n-1时,由(1-q)s+qa=1,得a=1. _1 当n2时,由(1-q)S.+qa.=1,得(1-q)S-1+ qa-1-1. P(Y-10)= 两式相减,得an-qaa-1.又因为q(q-1)-0,所以 q0且q1. P(Y-12)- 所以a是以l为首项,a为公比的等比数列 故数列(an的通项公式a.-q”-1. Y的分布列为: #8 0 6 , 12 (2)[证明] 由(1)可知S.-1-. 1-: 1-aaq1-a69_ P 又由题意得S3+S6-2S。,即 1- 1- 2(1-asq) 1- 1& 18.[解](l)由题意,设等差数列a.的公差为d,则 化简得a+a-2a。,两边同时除以q,得a+as-2as. a-aì+(n-1)d. 故a。,as,a成等差数列. 因为a1-1,a--5,可得1+2d--5, 16.[解] (1)由题意知f(x)的定义域为(0,十). 解得d一-3, 所以数列a的通项公式为a=1十(n-1)x (-3)-4-3n. 1在 因为y-lnx在(0,十oo)内单调递增,y-- (2)由(1)可知a:=4-3n,所以s。-[1十(4-3n)] 2 (0.十)内单调递减,所以f(x)单调递增 又/(1)--1<o./(2)-ìn 2-1-ln4-1o. 2 2 又由S--25,可得- 故存在唯一的xo(1,2),使得f(xo)-0 又当x<xo时,f(x)<0,f(x)单调递减, 3,又因为N,所 当x>xo时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 以h-5. 因此,f(x)存在唯一的极值点. 19.[解](1)f(x)-“十x(x>0), (2)由(1)知f(x)f(1)=-2,又f(e②})-e-3>0,所 )。 以f(x)一0在(xo,十oo)内存在唯一实根x=a. 若a0,则f(x)0,f(x)在(0,十oo)上单调递增; 若a0,令f(x)-0,解得x-士-ā, #/()-(-1)n-)_0 得>-. 故一是f(x)-0在(0,xo)上的唯一实根. 由f(x)<0,得o<r<-ā. 从而f(x)的单调递增区间为(一a,十),单调递 综上,f(x)一0有且仅有两个实根,且两个实根互为 减区间为(0,-). 倒数。 综上,当a0时,f(x)在(0,十o)上单调递增, 17.[解] (1)-- 当a<o时,f(x)在(-,十oo)上单调递增, 10×5)-5.5. 在(0,\/-ā)上单调递减 由正态分布知, (2)证明:令(x)一f(x)一g(x). 则。()-1 十r-2r= 1十r2-2r③ (1-x)(2+x十1) 该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为 47.725%. 令(x)-0,解得x-1. (2)由题意知,从质量在[1,3),[3,5),[5,7)的三组水 当0 x1时,(x)0,(x)单调递增; 果中抽取的个数分别为1,3,4. 当xl时,(x)0.(x)单调递减; Y的取值为6,8,10,12. 则P(Y-6)-C]C3. C2 P(Y-8)- 'e(x)<0,即f(x)g(x). C 故a一1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方